Chuyên đề I: Tính chia hết trên tập số nguyên

CHUYÊN ĐỀ I : TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN LÝ THUYẾT CHIA HẾT A/VẤN ĐỀ 1: Tính chia hết I /Định nghĩa 1:Với hai số nguyên a và b ,ta nói rằng a chia hết cho b (b 0) nếu tồn tại số nguyên k sao cho a = kb kí hiệu : a a = kb Hay a là bội của b kí hiệu a B(b) Hoặc a b Hay b là ước của a kí hiệu b Ư(a) Hoặc b\ a 2/Phép chia có dư : Với cặp số nguyên a và b (b 0) tôn tại cặp số nguyên q,r duy nhất sao cho : a = bq + r ( 0 r < Tức là : b = 2/Định nghĩa 2: Một số nguyên dương p > 1 được gọi là số nguyên tố nếu nó chỉ có hai ước số là 1 và p II/ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍNH CHIA HẾT 1) Nếu a,b nguyên dương mà a b ,thì a b 2)Tập hợp các ước của 1 là 1 và –1 3) Nếu ai b với mọi i = thì (a1 + a2 + a3 +.......+ an) b 4) Nếu ai b với mọi i = Nếu ak b 5) Nếu b \ a thì b\(-a) ; -b \ a ; -b \ -a ; \ 6)Với a,b Z , Néu b \ a và a\ b thì a = b 7)Với a , b, c Z nếu a\b và b\c thì a\c 8) Với a1 ,a2 ,...., an Z và nếu b \a1 ; b \ a2 ,......., b\ an thì với x1, x2 , ........., xn Z ta có b \a1x1 + a2x2 + ......+ anxn B/ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT 1/Định nghĩa 1 : Số nguyên d được gọi là ước chung của các số nguyên a1 ,a2......, an nếu d là ước của mỗi số đó 2/Định nghĩa 2: Nếu d ước chung lớn nhât của hai số a ,b kí hiệu ƯCLN(a,b) hay d = (a,b) là số nguyên dương lớn nhất mà cả a, b đều chia hết cho nó 3/Ước chung d của các số nguyên a1 ,a2......, an được goi là ước chung lớn nhât nếu d là Bội của mọi ướpc chung của số đó a1 ,a2......, an Kí hiệu : d = ( a1 ,a2......, an ) Một số tính chất của ƯCLN : Tập hợp các ước chung của a1 ,a2......, an trùng với tập các ước của ƯCLN của các số đó Nếu d = ( a1 ,a2......, an ) thì tôn tại các số nguyên x1, x2 , ........., xn sao cho d = a1x1 + a2x2 + ......+ anxn Đặc biệt : ( a1 ,a2......, an ) = 1 khi và chỉ khi tồn tại các số nguyên x1, x2 , ........., xn sao cho : 1 = a1x1 + a2x2 + ......+ anxn Trường hợp này các số a1 ,a2......, an được gọi là nguyên tố cùng nhau Để tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên ta dùng thuậttoán ƠCLIT Nếu a = bq0 + r1 ; 0 < r < b b = r1q1 + r2 r1 = r2q2 + r3 ......................... ........................ rn –1 = rnqn ƯCLN( a,b) = ( b, r1) = .............= ( rn –1, rn ) = rn NHỮNG HẰNG ĐĂNG THỨC ĐÁNG NHỚ NHỊ THỨC NEUTON ( a + b)n = an + nan-1b + +.....................+ bn 1/(a + b + c)2 = a2+b2 + c2 + 2ab +2 bc + 2ac 2/ an - 1 = (a –1)(an-1 + an-2 + ...........+ a + 1) an –1 a – 1 3/ an - bn (a – b )( an –1 + an-2b + ..................+ bn-1) 4/ an + bn ( a + b) nếu n lẻ với a,b Z , n N 5/(a + b )n = B(a) +bn 6/(a + 1)n = B(a) + 1 7/ (a –1)2n = B(a) +1 8/ ( a – 1)2n+1 = B(a) - 1 1/Bài tập áp dụng 8xn-1.2xn + 1 + 8xn + 1.( -3xn + 2) (a + b + c)( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac) Chứng minh rằng : (a + b + c)( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac) = a3 + b3 + c3 – 3abc Thay a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc d)Chứng minh rằng: an – bn = (a – b)(an-1 +an-2b +an-3b2.+.......+ abn-2 +abn-1) Áp dụng : Cho A = 11100 – 1 Chứng minh rằng: a) A 10 b) A1000 e)Tính giá trị biểu thức : A = x5 - 5x4 + 5 x3 – 5x2 + 5x – 1 với x = 4 f) Cho A = 29 + 299 .Chứnh minh rằng : A M 100 Ví dụ :(KT) Bài 1: Cho các số a,b,c thoả mãn : a + b +c = 0 (1) và a2 + b2 + c2 =1 (2) Tính a4 + b4 + c4 Bài2 :Chứng minh rằng nếu : và a + b+ c = 2abc Thì : Bài 3:Chứng minh rằng tích 4 số tự nhiên liên tiếp côngvới 1 là một số chính phương Bài 4 :Chứng minh rằng : A = 11n+2 + 122n+1 133 với nN Bài 5 :CMR mọi số tự nhiên n thì 16n – 1 17 khi và chỉ khi n chẵn Bai6:Tìm số dư khi chia 2100 cho a) cho 9 b) cho 25 c) cho 125 Bài 7/ Tìm ba chữ số tậïn cùng của 2100 Bài 8: CMR : 251 chia hết cho 7 Bài9 : CMR 270 + 370 chia hết cho 13 Bài 10: Tìm số dư khi chia 21994 cho 7 , 31993 cho 7 Bài 11: CMR : x95 + x94 + . . .+ x2 + x + 1 chioa hêt cho x31 + x30 + . . .+x + 1 Bài 12 : Giá trị tự nhiên nào của n thì : ( x + 1 )n + xn + 1 Chia hết cho x2 + x + 1