Chuyên đề Lượng giác 11 cơ bản và nâng cao

TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT: 0978421673 -TP HUẾ TRUNG TÂM BDKT VÀ LTĐH . ĐC: 36/73 NGUYỄN HOÀNG CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC 11 Cơ bản và nâng cao Hueá, thaùng 7/2012 * Phân loại và phương pháp giải bài tập * Các bài tập được sắp xếp từ cơ bản đến nâng cao * Các bài toán luyện thi đại học * Đề thi đại học các năm TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT: 0978421673 -TP HUẾ Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 1 PHẦN 1: CHƯƠNG MỞĐẦU NHẮC LẠI CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC HỆ THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác: cos sin tan ' cot OP a OQ a AT a BT a     Nhận xét:  , 1 cos 1; 1 sin 1a a        tana xác định khi ,2a k k Z     ,  cota xác định khi ,a k k Z  2. Dấu của các giá trị lượng giác: Cung phần tư Giá trị lượng giác I II II IV sina + + – – cosa + – – + tana + – + – cota + – + – 3. Hệ thức cơ bản: sin2a + cos2a = 1; t anx.cot 1x  2 2 2 2 1 11 tan ; 1 cotcos sina aa a    cosinO cotang sin tan g p A MQ B T'  T TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC.ĐC: 36/73 NGUYỄN HOÀNG Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 2 4. Cung liên kết: Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau cos( ) cosa a  ( ) sinsin a a  sin cos2 a a       sin( ) sina a   cos( ) cosa a   cos sin2 a a       tan( ) tana a   tan( ) tana a   tan cot2 a a       cot( ) cota a   cot( ) cota a   cot tan2 a a       Cung hơn kém  Cung hơn kém 2  sin( ) sina a   sin cos2 a a       cos( ) cosa a   cos sin2 a a        tan( ) tana a  tan cot2 a a        cot( ) cota a  cot tan2 a a        TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT: 0978421673 -TP HUẾ Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 3 5. Baûng giaù trò löôïng giaùc cuûa caùc goùc (cung) ñaëc bieät Đường tròn lượng giác 0 6  4  3  2  2 3  3 4   32  2 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 sin 0 12 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 –1 0 cos 1 32 2 2 1 2 0 1 2 2 2 –1 0 1 tan 0 33 1 3 3 –1 0 0 cotg 3 1 33 0 3 3 –1 0 - 3 -1 - 3 /3 (Ñieåm goác) t t' y y' xx' uu' - 3 -1 - 3 /3 1 1 -1 -1 -/2  5/6 3/4 2/3 -/6 -/4 -/3 -1/2 - 2 /2 - 3 /2 -1/2- 2 /2- 3 /2 3 /22 /21/2 3 /2 2 /2 1/2 A /3 /4 /6 3 /3 3 B /2 3 /3 1 3 O TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC.ĐC: 36/73 NGUYỄN HOÀNG Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 4 II. CÔNG THỨC CỘNG Công thức cộng: III. CÔNG THỨC NHÂN 1.Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina.cosa 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a      2 2 2 tan cot 1tan2 ; cot 2 2cot1 tan a aa a aa   2. Công thức hạ bậc: 3. Công thức nhân ba: 4. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan 2 a : Đặt: tan ( 2 )2 at a k    thì: 2 2sin 1 ta t  ; 2 2 1cos 1 ta t   ; 2 2tan 1 ta t  IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔ I 1. Công thức biến đổi tổng thành tích: 3 3 3 2 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos 3tan tantan3 1 3tan a a a a a a a aa a       sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a   sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a   cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b   cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b   tan tantan( ) 1 tan .tan a ba b a b    tan tantan( ) 1 tan .tan a ba b a b    Hệ quả: 1 tan 1 tantan , tan4 1 tan 4 1 tan x xx xx x                  2 2 2 1 cos2sin 21 cos2cos 21 cos2tan 1 cos2 aa aa aa a     TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT: 0978421673 -TP HUẾ Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 5 sin sin 2sin .cos2 2 a b a ba b    sin sin 2cos .sin2 2 a b a ba b    cos cos 2cos .cos2 2 a b a ba b    cos cos 2sin .sin2 2 a b a ba b     sin( )tan tan cos .cos a ba b a b   sin( )tan tan cos .cos a ba b a b   sin( )cot cot sin .sin a ba b a b   sin( )cot cot sin . b aa b a sinb   sin cos 2.sin 2.cos4 4a a a a                 sin cos 2 sin 2 cos4 4a a a a                  2. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång: 1cos .cos cos( ) cos( )21sin .sin cos( ) cos( )21sin .cos sin( ) sin( )2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b                   TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC.ĐC: 36/73 NGUYỄN HOÀNG Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 6 CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Hàm số y=sinx - Có tập xác định D   - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 ,  sin 2 sinx k x  . - Do hàm số siny x là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên đoạn có độ dài 2 , chẳng hạn trên đoạn ;    Khi vẽ đồ thị của hàm số siny x trên đoạn ;    ta nên để ỷ rằng : Hàm số siny x là hàm số lẻ, do đó đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Vì vậy, đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số siny x trên đoạn 0;   Bảng biến thiên: x 0 2   siny x 1 0 0 Đồ thị hàm số siny x trên đoạn 0;   TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT: 0978421673 -TP HUẾ Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 7 Lấy đối xứng phần đồ thị này qua gốc tọa độ lập thành đồ thị hàm số siny x trên đoạn ;    Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những đoạn có độ dài 2 ,4 ,6 ,...   thì ta được toàn bộ đồ thị hàm số siny x . Đồ thị đó được gọi là một đường hình sin Hàm số siny x đồng biến trên khoảng ;2 2       và nghịch biến trên khoảng 3;2 2       . Từ đó do tính tuần hoàn với chu kì 2 , hàm số siny x đồng biến trên khoảng 2 ; 22 2k k          và nghịch biến trên khoảng 32 ; 22 2k k         8 6 4 2 2 4 6 8 5π 4π 3π 2π π π 2π 3π 4π 5π TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC.ĐC: 36/73 NGUYỄN HOÀNG Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 8 2. Hàm số y=cosx - Có tập xác định D   - Là hàm số chẵn - Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 . - Do hàm số osy c x là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên đoạn có độ dài 2 , chẳng hạn trên đoạn ;    Khi vẽ đồ thị của hàm số osy c x trên đoạn ;    ta nên để ý rằng : Hàm số osy c x là hàm số chẵn, do đó đồ thị của nó nhận trục tọa độ làm trục đối xứng. Vì vậy, đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số osy c x trên đoạn 0;   Bảng biến thiên: x 0 2   siny x 1 0 -1 Đồ thị hàm số osy c x trên đoạn 0;   Lấy đối xứng phần đồ thị này qua trục tọa độ lập thành đồ thị hàm số osy c x trên đoạn ;    TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT: 0978421673 -TP HUẾ Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 9 Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những đoạn có độ dài 2 ,4 ,6 ,...   thì ta được toàn bộ đồ thị hàm số osy c x . Đồ thị đó được gọi là một đường hình sin 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7π 2 3π 5π 2 2π 3π 2 π π 2 π 2 π 3π 2 2π 5π 2 3π 7π 2 Hàm số cosy x đồng biến trên khoảng  ;0 và nghịch biến trên khoảng  0; . Từ đó do tính tuần hoàn với chu kì 2 , hàm số siny x đồng biến trên khoảng  2 ; 2k k    và nghịch biến trên khoảng  2 ; 2k k   3. Hàm số y=tanx - Có tập xác định là \ |2D k k          ; - Có tập giá trị là  ; TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC.ĐC: 36/73 NGUYỄN HOÀNG Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 10 - Là hàm số lẻ; - Hàm số tuần hoàn với chu kỳ  ,  tan tanx k x  ; Do hàm số tany x là hàm tuần hoàn với chu kỳ  nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên đoạn có độ dài  , chẳng hạn trên đoạn ;2 2       Khi vẽ đồ thị của hàm số tany x trên đoạn ;2 2       ta nên để ý rằng : Hàm số tany x là hàm số lẻ, do đó đồ thị của nó nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Vì vậy, đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số tany x trên đoạn 0; 2      Bảng biến thiên: x 0 4  2  tany x Đồ thị hàm số tany x trên 0;   1  0 TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT: 0978421673 -TP HUẾ Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 11 Lấy đối xứng phần đồ thị này qua gốc tọa độ lập thành đồ thị hàm số tany x trên đoạn ;2 2       Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những đoạn có độ dài ,2 ,3 ,...   thì ta được toàn bộ đồ thị hàm số tany x . 8 6 4 2 2 4 6 8 4π 7π 2 3π 5π 2 2π 3π 2 π π 2 π 2 π 3π 2 2π 5π 2 3π 7π 2 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC.ĐC: 36/73 NGUYỄN HOÀNG Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 12 Hàm số tany x đồng biến trên khoảng ;2 2       . Từ đó do tính tuần hoàn với chu kỳ  nên hàm số tany x đồng biến trên khoảng ;2 2k k          Đồ thị hàm số tany x nhận mỗi đường thẳng 2x k    làm một đường tiệm cận (đứng) 4. Hàm số y=cotx - Có tập xác định là  \ |D k k   ; - Có tập giá trị là  ; - Là hàm số lẻ - Hàm số tuần hoàn với chu kỳ  ,  cot cotx k x  Do hàm số coty x là hàm tuần hoàn với chu kỳ  nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên đoạn có độ dài  , chẳng hạn trên đoạn 0;   Bảng biến thiên: x 0 2   coty x Đồ thị hàm số coty x trên 0;   0   TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT: 0978421673 -TP HUẾ Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 13 Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những đoạn có độ dài ,2 ,3 ,...   thì ta được toàn bộ đồ thị hàm số coty x . 8 6 4 2 2 4 6 8 5π 2 2π 3π 2 π π 2 π 2 π 3π 2 2π 5π 2 g x( ) = 1tan x( ) Hàm số coty x nghịch biến trên khoảng  0;  . Từ đó do tính tuần hoàn với chu kỳ  nên hàm số coty x đồng biến trên khoảng  ;k k   Đồ thị hàm số coty x nhận mỗi đường thẳng x k  làm một đường tiệm cận (đứng) TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC.ĐC: 36/73 NGUYỄN HOÀNG Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 14 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP DẠNG 1: TẬP XÁCĐỊNH Phương pháp: Để tìm tập xác định của hàm số ta cần lưu ý các điểm sau:  ( )u x có nghĩa khi và chỉ khi ( ) 0u x   ( )( ) u x v x có nghĩa khi và chỉ ( ) 0v x   1 sin 1 ; 1 cos 1x x       tan x có nghĩa khi và chỉ khi 2x k     cot x có nghĩa khi và chỉ khi x k  BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a/ 2sin 1 xy x      b/ siny x c/ 2 siny x  d/ 21 cosy x  e/ 1sin 1y x  f/ tan 6y x       g/ cot 3y x       h/ sincos( ) xy x  i/ y = 1 tan 1x  Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 21 cot) tan 2 ; )4 1 sin3 tan2 tan5) cot 3 ; )sin 1 6 sin 4 cos3 xa y x b y x x xc y x d yx x x                   TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT: 0978421673 -TP HUẾ Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 15 DẠNG 2: TÍNH CHẴN-LẺ Phương pháp: Giả sử ta cần xét tính chẵn, lẻ của hàm số ( )y f x  Tìm tập xác định D của hàm số; kiểm chứng D là tập đối xứng qua số 0 tức là ,x x D x D     (1)  Tính ( )f x và so sánh ( )f x với ( )f x - Nếu ( ) ( )f x f x  thì ( )f x là hàm số chẵn trên D (2) - Nếu ( ) ( )f x f x   thì ( )f x là hàm số lẻ trên D (3) Chú ý: - Nếu điều kiện (1) không nghiệm đúng thì ( )f x là hàm khoong chẵn và không lẻ trên D - Nếu điều kiện (2) và (3) không nghiệm đúng, thì ( )f x là hàm không chẵn và cũng không lẻ trên D . Lúc đó, để kết luận ( )f x là hàm không chẵn và không lẻ ta chỉ cần chỉ ra điểm 0x D sao cho 0 00 0 ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x f x       Bài 1. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số: a/ y = sin2x b/ y = 2sinx + 3 c/ y = sinx + cosx d/ y = tanx + cotx e/ y = sin4x f/ y = sinx.cosx g/ y = sin tansin cot x x x x   h/ y = 3 3 cos 1 sin x x  i/ y = tan x TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC.ĐC: 36/73 NGUYỄN HOÀNG Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 16 DẠNG 3: TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Phương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm số ( )y f x trên tập D Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D  R).          0 0 ( ) ,max ( ) : ( )D f x M x DM f x x D f x M          0 0 ( ) ,min ( ) : ( )D f x m x Dm f x x D f x m BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a/ y = 2sin 14x       b/ 2 cos 1 3y x   c/ siny x d/ 24sin 4sin 3y x x   e/ 2cos 2sin 2y x x   f/ 4 2sin 2cos 1y x x   g/ y = sinx + cosx h/ y = 3 sin2 cos2x x i/ y = sin 3 cos 3x x  Bài 2. Tìm GTLN và GTNN của hàm số 2 2 ) 1 3sin 2 ; ) 3 2cos 34 4) 1 2 sin2 ; ) 1 2sin a y x b y x c y x c y x               Bài 3. Tìm GTLN và GTNN của hàm số     2 2 22 2 ) 6cos os 2 ; ) 3s inx 4cos 1 ) 2sin 3sin2 4cos ; ) 4sin 3cos 4 4sin 3cos 1 a y x c x b y x c y x x x c y x x x x              Bài 4. Cho hai số ,x y thỏa mãn 2 2 19 4 x y  . Tìm GTLN và GTNN (nếu có) của biểu thức 2 1P x y   TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT: 0978421673 -TP HUẾ Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 17 Bài 5. a) Cho các góc nhọn ,x y thõa mãn  2 2sin sin sinx y x y   . Chứng minh rằng 2x y   b) Cho , 0; 2x y      thỏa  os2 os2 2sin 2c x c y x y    . Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 4sin osx c yP y x  TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC.ĐC: 36/73 NGUYỄN HOÀNG Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 18 DẠNG 4: Chứng minh hàm số tuần hoàn và xác định chu kỳ của nó Phương pháp: Muốn chứng minh hàm số tuần hoàn f(x) tuần hoàn ta thực hiện theo các bước sau:  Xét hàm số ( )y f x , tập xác định là D  Với mọi x D , ta có 0x T D  và 0x T D  (1) . Chỉ ra 0( ) ( )f x T f x  (2) Vậy hàm số ( )y f x tuần hoàn Chứng minh hàm tuần hoàn với chu kỳ 0T Tiếp tục, ta đi chứng minh 0T là chu kỳ của hàm số tức chứng minh 0T là số dương nhỏ nhất thỏa (1) và (2). Giả sử có T sao cho 00 T T  thỏa mãn tính chất (2) ...  mâu thuẫn với giả thiết 00 T T  . Mâu thuẫn này chứng tỏ 0T là số dương nhỏ nhất thỏa (2). Vậy hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở 0T Một số nhận xét: - Hàm số sin , cosy x y x  tuần hoàn chu kỳ 2 . Từ đó    sin , cosy ax b y ax b    có chu kỳ 0 2T a  - Hàm số tan , coty x y x  tuần hoàn chu kỳ  . Từ đó    tan , coty ax b y ax b    có chu kỳ 0T a  Chú ý: 1( )y f x có chu kỳ T1 ; 2( )y f x có chu kỳ T2 Thì hàm số 1 2( ) ( )y f x f x  có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2. Các dấu hiệu nhận biết hàm số không tuần hoàn TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT: 0978421673 -TP HUẾ Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 19 Hàm số ( )y f x không tuần hoàn khi một trong các điều kiện sau vi phạm  Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn  Tồn tại số a sao cho hàm số không xác định với x a hoặc x a  Phương trình ( )f x k có vô số nghiệm hữu hạn  Phương trình ( )f x k có vô số nghiệm sắp thứ tự 1... ...m mx x    mà 1 0m mx x   hay  BÀI TẬP MẪU: Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau là những hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở 0T 0 0) ( ) s inx , 2 ; ) ( ) tan2 , 2a f x T b f x x T     Hướng dẫn: a) Ta có : ( 2 ) ( ),f x f x x     . Giả sử có số thực dương 2T   thỏa  ( ) ( ) sin s inx , (*)f x T f x x T x       Cho (*) sin cos 1; (*) sin 12 2 2x VT T T VP               (*) không xảy ra với mọi x . Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 0 2T   b) Ta có : ( ) ( ),2f x f x x D     . Giả sử có số thực dương 2T   thỏa  ( ) ( ) tan 2 2 tan2x , (**)f x T f x x T x D       Cho 0 (**) tan2 0; (**) 0x VT T VP     TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC.ĐC: 36/73 NGUYỄN HOÀNG Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 20 B (**) không xảy ra với mọi x D . Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 0 2T   BÀI TẬP ÁP DỤNG: Baøi 1. Tìm chu kỳ của hàm số: a/ sin2y x b/ cos 3 xy  c/ 2siny x d/ sin2 cos 2 xy x  e/ tan cot 3y x x  f/ 3 2cos sin5 7 x xy   g/ 2sin . cos3y x x h/ 2cos 4y x i/ y = tan(3x + 1) Đáp số: a/ . b/ 6. c/ . d/ 4. e/ . f/ 70. g/ . h/ .4  i/ 3  Bài 2. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ cơ sở (nếu có) của các hàm số sau  2 3) ( ) cos cos ; ) cos cos( 3 )2 2 ) ( ) sin ; ) tan x xa f x b y x x c f x x d y x      Hướng dẫn: c) Hàm số  2( ) sinf x x không tuần hoàn vì khoảng cách giữa các nghiệm (không điểm) liên tiếp của nó dần tới 0    1 01k k khi kk k          d) Hàm số ( ) tanf x x không tuần hoàn vì khoảng cách giữa các nghiệm (không điểm) liên tiếp của nó dần tới  TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT: 0978421673 -TP HUẾ Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 21  2 2 21k k khi k     Bài 3. Cho hàm số ( )y f x và ( )y g x là hai hàm số tuần hoàn với chu kỳ lần lượt là 1 2,T T . Chứng minh rằng nếu 12 T T là số hữu tỉ thì các hàm số  ( )( ) ( ); ( ). ( ); ( ) 0( )f xf x g x f x g x g xg x  là những hàm số tuần hoàn TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC.ĐC: 36/73 NGUYỄN HOÀNG Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 22 DẠNG 5: VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Phương pháp 1/ Vẽ đồ thị hàm số lượng giác: - Tìm tập xác định D. - Tìm chu kỳ T0 của hàm số. - Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần). - Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T0 có thể chọn: 00,x T    hoặc 0 0,2 2 T Tx      . - Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ. - Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo véc tơ 0. .v k T i   về bên trái và phải song song với trục hoành Ox (với i là véc tơ đơn vị trên trục Ox). 2/ Một số phép biến đổi đồ thị: a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trên trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn vị nếu a < 0. b) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số ( )y f x a  bằng cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) sang phải trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến sang trái trục hoành a đơn vị nếu a < 0. c) Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hoành. TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT: 0978421673 -TP HUẾ Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 23 d) Đồ thị ( ), neáu f(x) 0( ) -f(x), neáu f(x) < 0 f xy f x     ñöôïc suy töø ñoà thò y = f(x) baèng caùch giöõ nguyeân phaàn ñoà thò y = f(x) ôû phía treân truïc hoaønh vaø laáy ñoái xöùng phaàn ñoà thò y = f(x) naèm ôû phía döôùi truïc hoaønh qua truïc hoaønh. Mối liên hệ đồ thị giữa các hàm số Tịnh tiến theo vec tơ v=(a;b) Đối xứng qua gốc O Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị Đối xứng qua Oy Đối xứng qua Ox Đối xứng qua Ox Đối xứng qua Oy y=-f(x) y=f(-x) y=-f(-x) y=f(x+a)+b y=f(x)+b y=f(x+a) y=f(x)  TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC.ĐC: 36/73 NGUYỄN HOÀNG Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 24 Ví dụ 1: Vẽ đồ thị y = – sinx. – Vẽ đồ thị y = sinx. – Từ đồ thị y = sinx, ta suy ra đồ thị y = –sinx bằng cách lấy đối xứng qua Ox. Ví dụ 2: Vẽ đồ thị y = sinx sin , neáu sin x 0sin -sin x, neáu sin x < 0. xy x     Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = 1 + cosx. – Vẽ đồ thị y = cosx. – Từ đồ thị y = cosx, ta suy ra đồ thị 1 cosy x  bằng cách tịnh tiến đồ thị cosy x lên trục hoành 1 đơn vị. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2   : y x–2 3 2   32   22   O 2   y = –sinx1 –1  2   32   22   O y = /sinx/ y 1 x TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT: 0978421673 -TP HUẾ Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 25 Ví dụ 4: Vẽ đồ thị y = sin2x. – y = sin2x có chu kỳ T =  – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2   : x 0 2   32  2 y = cosx 1 0 –1 0 1 y = 1 + cosx 2 1 0 1 2 2  O y = 1 + cosx y  x 2   3 2  y = cosx 2 1 –1 2  O y  x 4  4  1 3 2  2  5 4  y = sin2x –1 x 2  4  0 2  2  2x  2   2   y = sin2x 0 –1 0 1 0 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC.ĐC: 36/73 NGUYỄN HOÀNG Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 26 Ví dụ 5: Vẽ đồ thị y = cos2x. – y = cos2x có chu kỳ T =  – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2   :     x 2  4  0 4  2  2x  2   2   y = cos2x –1 0 1 0 –1 O y  x 2  4  1 2  4  y = cos2x –1 3 4  TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT: 0978421673 -TP HUẾ Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 27 Ví dụ 6: Vẽ đồ thị sin cos 2 sin 4y x x x         có chu kỳ T = 2.  x – 34  2  4  0 4  2  3 4   x 4  34  2  4  0 4  2  3 4   54     sin x 4 2 2 –1 2 2 0 2 2 1 2 2 0 2 2 2 sin x 4     –1 2 –1 0 1 2 1 0 –1 sinx cosx 1 2 1 0 1 2 1 0 1 3 2 O y  x 3 4  2  4  4  2  3 4   5 4  7 4  y = 2 sin x 4     1 2 2 –1 4  2 O y  x3 4  2  54  3 2  y = sin x cosx 4  32  7 4  1 2 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC.ĐC: 36/73 NGUYỄN HOÀNG Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 28 Ví dụ 7: Vẽ đồ thị cos sin 2 cos 4y x x x         có chu kỳ T = 2.  Đồ thị hàm số: y x34  2  4  o 4  2  3 4   5 4  y = cosx – sinx 2 1 1 2 y x34  2  4  o 4  2  3 4   5 4  y = cosx – sinx 2 1 x  34  2  4  0 4  2  3 4   cosx –1 22 0 2 2 1 2 2 0 2 2 –1 sinx 0 22 –1 2 2 0 2 2 1 2 2 0 cosx – sinx –1 0 1 2 1 0 –1 2 –1 cosx sinx 1 0 1 2 1 0 1 2 1 TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT: 0978421673 -TP HUẾ Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 29 Ví dụ 8: Vẽ đồ thị y = tanx + cotx. – Tập xác định: \ . ,2D R k k Z        – Chu kỳ T = . x 2  3  4  6  0 6  4  3  2  tanx 3 –1 33 0 3 3 1 3 cotx 0 33 –1 3 3 1 3 3 0 y = tanx + cotx - 4 3 3 2 4 3 3 - + 4 3 3 2 4 3 3 + x y y = tanx + cotx 4 3 3 2 4 3 3 –2 2  3  4  6  6  4  3  2 O TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC.ĐC: 36/73 NGUYỄN HOÀNG Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 30 BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phương pháp: 1. Phương trình sinx = sin a/ 2sin sin ( )2 x kx k Zx k              b/ sin . Ñieàu kieän: 1 1. arcsin 2sin ( )arcsin 2 x a a x a kx a k Zx a k                c/ sin sin sin sin( )u v u v     d/ sin cos sin sin 2u v u v         e/ sin cos sin sin 2u v u v          Các trường hợp đặc biệt: sin 0 ( )x x k k Z    sin 1 2 ( )2x x k k Z       sin 1 2 ( )2x x k k Z         2 2sin 1 sin 1 cos 0 cos 0 ( )2x x x x x k k Z              2. Phương trình cosx = cos a/ cos cos 2 ( )x x k k Z        b/ cos . Ñieàu kieän : 1 1.cos arccos 2 ( ) x a a x a x a k k Z           c/ cos cos cos cos( )u v u v     TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT: 0978421673 -TP HUẾ Gv:TrầnĐình Cư. Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 31 d/ cos sin cos cos 2u v u v         e/ cos sin cos cos 2u v u v          Các trường hợp đặc biệt: cos 0 ( )2x x k k Z       cos 1 2 ( )x x k k Z    cos 1 2 ( )x x k k Z       2 2cos 1 cos 1 sin 0 sin 0 ( )x x x x x k k Z           3. Phương trình tanx = tan a/ tan tan ( )x x k k Z       b/ tan arctan ( )x a x a k k Z     c/ tan tan tan tan( )u v u v     d/ tan cot tan tan 2u v u v         e/ tan cot tan tan 2u v u v          Các trường hợp đặc biệ