Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 - Hệ phương trình

CHUYÊN ĐỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Dạng 1. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế, phương pháp cộng. Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: 1 19 37 2 20 38 3 21 39 4 22 40 5 23 41 6 24 42 7 25 43 8 26 44 9 27 45 10 28 46 11 29 47 12 30 48 13 31 49 14 32 50 15 33 51 16 34 52 17 35 53 18 36 54 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: Dạng 2. Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ: Bài 3: Giải các phương trình sau: 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12 Dạng 3. Giải và biện luận hệ phương trình Phương pháp giải: Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1) Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ i) Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b - Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm - Nếu b0 thì hệ vô nghiệm ii) Nếu a 0 thì (1) x = , Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình: Từ (1) y = mx – 2m, thay vào (2) ta được: 4x – m(mx – 2m) = m + 6 (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3) i) Nếu m2 – 4 0 hay m2 thì x = Khi đó y = - . Hệ có nghiệm duy nhất: (;-) ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4 Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm Vậy: - Nếu m2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = (;-) - Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R - Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm Bài tập áp dụng : Giải và biện luận các hệ phương trình sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) DẠNG 4: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp giải: Giải hệ phương trình theo tham số Viết x, y của hệ về dạng: n + với n, k nguyên Tìm m nguyên để f(m) là ước của k Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: HD Giải: để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 0 hay m Vậy với m hệ phương trình có nghiệm duy nhất Để x, y là những số nguyên thì m + 2 Ư(3) = Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5 Bài tập áp dụng: Bài 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: Bài 2: Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1) HD: Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2 HD: thay x = 1 và x = -2 vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 HD: f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 nên. Biết nếu f(x) chia hết cho ax + b thì f(-) = 0 Giải hệ phương trình ta được a = 2; b = 11 Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4. Xác định các hệ số a và b biết rằng f(2) = 6 , f(-1) = 0 HD: Bài 3: Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) HD: Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương trình Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2) b) P(1; 2) ; Q(2; 0) Bài 4: Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy HD giải: - Tọa độ giao điểm M (x ; y) của hai đường thẳng 3x + 2y = 4 và x + 2y = 3 là nghiệm của hệ phương trình: . Vậy M(0,2 ; 1,25) Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m m = -0,85 Vậy khi m = -0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1 b) mx + y = m2 + 1 ; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2 Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước Cho hệ phương trình: Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 2x + y + = 3 HD Giải: - Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m 2 - Giải hệ phương trình theo m - Thay x = ; y = vào hệ thức đã cho ta được: 2. + + = 3 => 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12 3m2 – 26m + 23 = 0 m1 = 1 ; m2 = (cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện) Vậy m = 1 ; m = BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho hệ phương trình (m là tham số) Giải hệ phương trình khi m = Giải và biện luận hệ phương trình theo m Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0 Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương Bài 2: Cho hệ phương trình : Giải và biện luận hệ phương trình theo m Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3: Cho hệ phương trình Giải hệ phương trình khi m = 5 Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1 Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy Bài 4: Cho hệ phương trình: Giải hệ phương trình khi m = 1 Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm Bài 5: Cho hệ phương trình: Giải hệ phương trình khi m = 3 Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y = - 3 Bài 6: Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình khi . b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức . Bài 7: Cho hệ phương trình Giải hệ phương trình khi m = 5 Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7