Chuyên đề Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG. ( Dành cho học sinh lớp7 đang học chương 2- hình học 7) B. Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng dành cho HSG lớp 7: 1. Phương pháp 1: ( Hình 1) Nếu thì ba điểm A; B; C thẳng hàng. 2. Phương pháp 2: ( Hình 2) Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng. (Cơ sở của phương pháp này là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7) 3. Phương pháp 3: ( Hình 3) Nếu AB a ; AC A thì ba điểm A; B; C thẳng hàng. ( Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước - tiết 3 hình học 7) Hoặc A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng .(tiết 3- hình 7) 4. Phương pháp 4: ( Hình 4) Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy thì ba điểm O; A; B thẳng hàng. Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác . * Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , thì ba điểm O, A, B thẳng hàng. 5. Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K’ Là trung điểm BD thì K’ K thì A, K, C thẳng hàng. (Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm) C. Các ví dụ minh họa cho tùng phương pháp: Phương pháp 1 Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng. Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh Do nên cần chứng minh BÀI GIẢI: AMB và CMD có: AB = DC (gt). MA = MC (M là trung điểm AC) Do đó: AMB = CMD (c.g.c). Suy ra: Mà (kề bù) nên . Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà AD = AB, trên tia đối tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED sao cho CM = EN. Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng. Gợi ý: Chứng minh từ đó suy ra ba điểm M; A; N thẳng hàng. BÀI GIẢI (Sơ lược) ABC = ADE (c.g.c) ACM = AEN (c.g.c) Mà (vì ba điểm E; A; C thẳng hàng) nên Vậy ba điểm M; A; N thẳng hàng (đpcm) BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 1 Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng. Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có . Vẽ tia Cx BC (tia Cx và điểm A ở phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối của tia BC lấy điểm F sao cho BF = BA. Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng. Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC) Gọi M là trung điểm HK. Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng. Bài 4: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, kẻ Hai tia Ax và By sao cho .Trên Ax lấy hai điểm C và E(E nằm giữa A và C), trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE = BF. Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng. Bài 5.Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E. Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm. PHƯƠNG PHÁP 2 Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên Các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC. Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng. Hướng dẫn: Xử dụng phương pháp 2 Ta chứng minh AD // BC và AE // BC. BÀI GIẢI. BMC và DMA có: MC = MA (do M là trung điểm AC) (hai góc đối đỉnh) MB = MD (do M là trung điểm BD) Vậy: BMC = DMA (c.g.c) Suy ra: , hai góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD (1) Chứng minh tương tự : BC // AE (2) Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên từ (1) và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng. Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN. Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng. Hướng dẫn: Chứng minh: CM // BD và CN // BD từ đó suy ra M, C, N thẳng hàng. BÀI GIẢI AOD và COD có: OA = OC (vì O là trung điểm AC) (hai góc đối đỉnh) OD = OB (vì O là trung điểm BD) Vậy AOD = COB (c.g.c) Suy ra: . Do đó: AD // BC. Nên (ở vị trí đồng vị) hình 8 DAB và CBM có : AD = BC ( do AOD = COB), , AB = BM ( B là trung điểm AM) Vậy DAB = CBM (c.g.c). Suy ra . Do đó BD // CM. (1) Lập luận tương tự ta được BD // CN. (2) Từ (1) và (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng. BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 2 Baì 1. Cho tam giác ABC. Vẽ cung tròn tâm C bán kính AB và cung tròn tâm B bán kính AC. Đường tròn tâm A bán kính BC cắt các cung tròn tâm C và tâm B lần lượt tại E và F. ( E và F nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa A) Chứng minh ba điểm F, A, E thẳng hàng. PHƯƠNG PHÁP 3 Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh AM BC. Vẽ hai đườn tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm P và Q . Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng. Gợi ý: Xử dụng phương pháp 3 hoặc 4 đều giải được. - Chứng minh AM , PM, QM cùng vuông góc BC - hoặc AP, AQ là tia phân giác của góc BAC. BÀI GIẢI. Cách 1. Xử dụng phương pháp 3. a) Chứng minh AM BC. ΔABM và ΔACM có: AB =AC (gt) AM chung MB = MC (M là trung điểm BC) Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c). Suy ra: (hai góc tương ứng) Mà (hai góc kề bù) nên Do đó: AM BC (đpcm) Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng. Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c). Suy ra: (hai góc tương ứng), mà nên = 900 Do đó: PM BC. Lập luận tương tự QM BC Từ điểm M trên BC có AM BC,PM BC, QM BC nên ba điểm A, P, Q thẳng hàng (đpcm) Cách 2. Xử dụng phương pháp 4. Chứng minh : ΔBPA = ΔCPA . Vậy AP là tia phân giác của . (1) ΔABQ = ΔACQ .Vậy AQ là tia phân giác của . (2) Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A; P; Q thẳng hàng. PHƯƠNG PHÁP 4 Ví dụ:Cho góc xOy .Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B và C sao cho OB = OC. Vẽ đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm A và D nằm trong góc xOy. Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng. Hướng dẫn: Chứng minh OD và OA là tia phân giác của góc xOy BÀI GIẢI: ΔBOD và ΔCOD có: OB = OC (gt) OD chung BD = CD (D là giao điểm của hai đường tròn tâm B và tâm C cùng bán kính). Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c). Suy ra : . Điểm D nằm trong góc xOy nên tia OD nằm giữa hai tia Ox và Oy. Do đó OD là tia phân giác của . Chứng minh tương tự ta được OA là tia phân giác của . Góc xOy chỉ có một tia phân giác nên hai tia OD và OA trùng nhau. Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng. BAÌ TẬP THỰC HÀNH Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = AC. Kẻ BM AC, CN AB (), H là giao điểm của BM và CN. a) Chứng minh AM = AN. b) Gọi K là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng. Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi H là trung điểm BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C kẻ tia Bx vuông góc AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa B kẻ tia Cy vuông AC. Bx và Cy cắt nhau tại E. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng. PHƯƠNG PHÁP 5 Ví dụ 1 . Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng Gợi ý: Xử dụng phương pháp 1 Cách 1: Kẻ ME BC ; NF BC ( E ; F BC) và vuông tại E và F có: BM = CN (gt), ( cùng bằng ) Do đó: = (Trường hợp cạnh huyền- góc nhọn) Suy ra: ME = NF. Gọi K’ là giao điểm của BC và MN. MEK’ và NFK’ vuông ở E và F có: ME = NF (cmt), ( so le trong của ME // FN) . Vậy MEK’ = NFK’ (g-c-g). Do đó: MK’ = NK’ . Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K K’ Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng. Cách 2. Kẻ ME // AC (E BC) (hai góc đồng vị) Mà nên . Vậy ΔMBE cân ở M. Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC ta được ME = CN. Gọi K’ là giao điểm của BC và MN. ΔMEK’ và ΔNCK’ có: (so le trong của ME //AC) ME = CN (chứng minh trên) (so le trong của ME //AC) Do đó : ΔMEK’ = ΔNCK’ (g.c.g) MK’ = NK’. Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K K’ Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng. Lưu ý: Cả hai cách giải trên đa số học sinh chứng minh ΔMEK = ΔNCK vô tình thừa nhận B, K, C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý lắm nhưng không biết là sai Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân ở A , , Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C sao cho . Vẽ tam giác đều BOM ( M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng. Hướng dẫn: Chứng minh từ đó suy ra tia CA và tia CM trùng nhau. BÀI GIẢI Tam giác ABC cân ở A nên (tính chất của tam giác cân). Mà CO là tia phân giác của , nên . Do đó ΔBOM đều nên . Vậy : ΔBOC và ΔMOC có: OB = OM ( vì ΔBOM đều) OC chung Do đó : ΔBOC = ΔMOC (c.g.c) Suy ra: mà (gt) nên . Hai tia CA và CM cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ CO và nên tia CA và tia CM trùng nhau. Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng. (đpcm) *****HẾT*****