Chuyên đề Phương pháp tam giác đồng dạng

Chuyên đề 2 Phương pháp tam giác đồng dạng. I – Kiến thức cơ bản 1. Ta đã biết nếu 2 tam giác đồng dạng thì suy ra được các cặp góc tương ứng bằng nhau, các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, đặc biệt là tỉ số diện tích của chúng bằng bình phương tỉ số đồng dạng 2. Để chứng minh 2 góc bằng nhau hay các cặp đoạn thẳng tỉ lệ bằng pp tam giác đồng dạng ta có thể làm theo các bước sau : Bước 1 : Xét 2 tam giác có chứa 2 góc đó hay chứa các cặp đoạn thẳng ấy. Bước 2 : Chứng minh 2 tam giác đó đồng dạng Bước 3 : Suy ra cặp góc tương ứng bằng nhau, cặp cạnh tương ứng tỉ lệ. 3. Để tạo ra được một tam giác đồng dạng với một tam giác khác, ngoài cách vẽ một đường song song với một cạnh của tam giác ta còn có thể vẽ thêm đường phụ bằng nhiều cách khác, chẳng hạn : Nối 2 điẻm có sẵn trong hình làm xuất hiện một tam giác mới Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng. Trên một tia cho trước, đặt một doạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác. 4. Một vài ứng dụng của pp tam giác đồng dạng a) Dùng pp tam giác đồng dạng để CM 3 điểm thẳng hàng Ta có thể CM 2 tam giác đồng dạng để suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau, từ đó dùng cách cộng góc để dược góc bẹt dẫn tới 3 điểm thẳng hàng. Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC, các tia phân giác góc B và góc C cắt nhau tại O. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy M và N sao cho BM.BC = BO2 ; CN.CB = CO2. CMR 3 điểm M, O, N thẳng hàng. A M N C B O 3 2 1 2 1 1 @Bg : BM.BC = BO2 ; BOM và BCO có ; nên BOM ~ BCO (c.g.c) Chứng minh tương tự ta được CON ~ CBO (c.g.c) Ta có . Suy ra 3 điểm M, O, N thẳng hàng. Nhận xét Điều gì gợi ý cho ta dùng pp đồng dạng để giải ví dụ trên ? Đó là vì trong đề bài có cho BO là trung bình nhân của BM và BC ; CO là trung bình nhân của CN và CB, từ đó suy ra được các cặp đoạn thẳng tỉ lệ dẫn tới 2 tam giác đồng dạng. b) Dùng pp tam giác đồng dạng để CM tích của 2 đoạn thẳng hoặc tổng các tích của các cặp đoạn thẳng bằng 1 số cho trước. Ta có thể CM 2 tam giác đồng dạng để suy ra cáắccpj cạnh tương ứng tỉ lệ, dẫn tới 2 tích của các cặp đoạn thẳng bằng nhau. Ví dụ 2 : H B A K C D I Cho hình bình hành ABCD, góc B nhọn. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của B trên AD và CD. Chứng minh rằng DA.DH + DC.DK = DB2 @Bg : *Tìm hướng giải : Các tích DA.DH, DC.DK chưa có mối liên quan trực tiếp nào với nhau cũng như với DB. Vì thế ta sẽ thay các tích này bởi các tích khác bằng chúng, có liên quan với nhau cũng như liên quan với DB. Muốn vậy phải tạo ra được những cặp tam giác đồng dạng với điều kiện DB phải là cạnh của một trong những tam giác như thế. *Lời giải: Vẽ AI DB IDA ~ HDB DA.DH = DB.DI (1) IBA ~ KDB DC.DK = DB.BI (2) Cộng từng vế các BĐT (1) và (2) ta được : DA . DH + DC . DK = DB .DI + DB .BI = DB(DI + BI) = DB2 (đpcm) Chú ý : Nếu = 900 thì hình bình hành ABCD trở thành hình chữ nhật. Lúc đó áp dubgj định lý Pt-ta-go ta có ngay điều phải chứng minh. c) Dùng pp tam giác đồng dạng để giải bài toán dựng hình Đối với 1 số bài toán dựng hình nhất là dựng hình tam giác, khi chỉ biết một yếu tố về độ dài, còn lại là biết tỉ số giữa các độ dài hoặc biết số đo các góc thì ta có thể nghĩ đến pp tam giác đồng dạng. Ví dụ 3 : Dựng tam giác ABC biết = 600 ; và BC = a. @Bg : 1. Phân tích : Giả sử đã dựng được tam giác ABC thoả mãn đề bài Vẽ một đường thẳng song song với BC, cắt AB, AC lần lượt tại M và N Ai Ni Mi pAi Ci Bi ai 600 Từ C vẽ đường thẳng song song với AB cắt MN tại P. Dễ thấy MP = BC = a . AMN ~ ABC Vậy AMN dựng được, từ đó dựng được P, C và B. 2. Cách dựng : - Dựng AMN sao cho = 600 ; AM = 2 ; AN = 3 - Trên tia MN lấy điểm P sao cho MP = a. - Dựng PC // AB (C thuộc tia AN) - Dựng CB // MN (B thuộc tia AM) Tam giác ABC là tam giác phải dựng (Phần CM và biện luận tự làm) II – Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AH và BH. Gọi O là giao điểm của AN với CM. Chứng minh rằng : AN CM AH2 = 4 MC.MO @Bg A C B H N M O 2 2 1 a) ABH ~ CAH (g-g) hay (1) Ta có (2) . Từ (1) và (2) suy ra ABN ~ CAM (c.g.c) Xét tam giác CAO có . Vậy AN CM b) AOM ~ CHM (g.g) AM.MH = MC.MO = MC.MO hay HA2 = 4 MC.MO. Bài 2 : A C E B F Cho tam giác ABC, phân giác AE. Chứng minh rằng AB.AC > AE2. @Bg (t/c góc ngoài của ABE). Trên AC lấy điểm F sao cho AF < AC AEF ~ ABE (g-g) AB.AF = AE2 AB.AC > AE2. Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên AC. Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O. Chứng minh rằng : OA.OB = OC.OH Góc OHA có số đo không đổi C K B O A H M Tổng BM.BH + CM.CA không đổi. @Bg a) BOH ~ COA (g-g) OA.OB = OC.OH b) (1) OHA và OBC có chung (2) Từ (1) và (2) OHA ~ OBC (c.g.c) (không đổi) c) Vẽ MK BC ; BKM ~ BHC (g.g) BM.BH = BK.BC (3) CKM ~ CAB (g.g) CM.CA = BC.CK (4) Cộng từng vế của (3) và (4) ta được BM.BH + CM.CA = BK.BC + BC.CK = BC(BK + CK) = BC2 (không đổi). Bài 4 : C M F N B A E H Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Trên đoạn thẳng CH và HB lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho CM = HN. Đường thẳng qua M và vuông góc với BC cắt AC tại E. Qua N vẽ đường thẳng d NE. Chứng minh rằng khi M di động trên đoạn thẳng CH thì đường thẳng d luôn luôn đi qua một điểm cố định. @Bg Dễ thấy CH = MN = BC HFN ~ MNE (g.g) (1) AHC ~ EMC (g.g) (2) Từ (1) và (2) . Do đó HF = (không đổi) Vì H cố định nên F cố định. Bài 5 : Cho tam giác ABC, 3 đường cao AD, BE, CF. Gọi M, N, I, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC, BE, CF. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, I, K thẳng hàng. @Bg A N E F M C B D I K Vì DM // CF và DI // CA nên MI // FE (1) Vì DN // BE và DK // AB nên NK // FE (2) AMD ~ ADB (3) AND ~ ADC (4) Chia từng vế của (3) cho (4) ta được ACF ~ ABE do đó MN // FE (5) Từ (1) ; (2) ; (5) suy ra 4 điểm M, I, N, K thẳng hàng. Bài 6 : Lấy các cạnh AB, AC và BC của ABC làm cạnh đáy, dựng các tam giác vuông cân ABD, ACE, BCF, hai tam giác đầu dựng ra phía ngoài ABC còn tam giác thứ 3 dựng trong cùng 1 nửa mặt phẳng bờ BC với ABC. Chứng minh rằng tứ giác AEFD là hình bình hành (hoặc A, E, F, D thẳng hàng) @Bg C E B D A F 1 Nếu 900 ; BAD ~ BCF(2 tam giác vuông cân) . Mặt khác ( = 45o + ) BDF ~ BAC (c.g.c) Chứng minh tương tợ có FEC ~ BAC Ta có = (90o + ) + (900 - ) = 1800 AE // DF Chứng minh tương tự ta được AD // EF. Vậy AEFD là hình bình hành. Trường hợp nếu = 900 thì 4 điểm A, E, F, D thẳng hàng ……… Bài 7 : Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN với MC và AC. Cho biết AB = 30 cm, tính diện tích các tam giác BEM và AFN. C D N B M A F E 1 1 @Bg ABN = BCM (c.g.c) BN CM ABN vuông tại A, AB = 30; AN = 15 BN2 = 1125 BEM ~ BAN SBAN = .30.15 = 225 SBEM = 225. = 45 (cm2). AFN ~ CFB FN = BF = BN do đó SAFN = SABN = .225 = 75 cm2. Bài 8 : Qua điểm O nằm trong tam giác ABC ta vẽ những đường thẳng song song với 3 cạnh. Các đường thẳng này chia tam giác ABC thành 3 hình bình hành và 3 tam giác nhỏ. Biết diện tích của các tam giác đó là a2 , b2 , c2 . A E N F M C H B D O a2 b2 c2 Tính SABC Chứng minh S a2 + b2 + c2 @Bg a) Dễ thấy các tam giác ODH, EON, FMO đồng dạng với ABC. Đặt SABC = d2 . Ta có (1) (2) (3) Cộng từng vế các đẳng thức (1) , (2) , (3) ta được a + b + c = d. Vậy S = d2 = (a + b + c)2 b) S = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac a2 + b2 + c2 + (a2 + b2) + (b2 + c2) + (c2 + a2) = 3(a2 + b2 + c2) Dấu “=” xẩy ra a = b = c O trùng với trọng tâm G của ABC .