Chuyên đề Phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai Phần II. kiến thức cần nắm vững Tìm điều kiện tổng quát để phương trình: ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) có: 1. Có nghiệm (có hai nghiệm) Û D ³ 0 2. Vô nghiệm Û D < 0 3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) Û D = 0 4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) Û D > 0 5. Hai nghiệm cùng dấu Û D³ 0 và P > 0 6. Hai nghiệm trái dấu Û D > 0 và P < 0 Û a.c < 0 7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) Û D³ 0; S > 0 và P > 0 8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) Û D³ 0; S 0 9. Hai nghiệm đối nhau Û D³ 0 và S = 0 10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau Û D³ 0 và P = 1 11 .Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đốilớn hơn Û a.c < 0 và S < 0 12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn Û a.c 0 (ở đó: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = ) Bài 1: Giải phương trình (giải và biện luận): x2- 2x+k = 0 ( tham số k) Giải D’ = (-1)2- 1.k = 1 – k 1. Công thức nghiệm: Phương trình ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) có D = b2- 4ac +Nếu D < 0 thì phương trình vô nghiệm +Nếu D = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = +Nếu D > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = 2. Công thức nghiệm thu gọn: Phương trình ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) có D’=b’ 2- ac ( b =2b’ ) +Nếu D’ < 0 thì phương trình vô nghiệm +Nếu D’= 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = +Nếu D’> 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = 3. Hệ thức Vi-ét a) Định lí Vi-ét: Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+bx+c = 0 (aạ0) thì : S = x1+x2 = ; P = x1.x2 = b) ứng dụng: +Hệ quả 1: Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) có: a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = +Hệ quả 2:Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = c) Định lí: (đảo Vi-ét)Nếu hai số x1; x2 có x1+x2= S ; x1.x2 = P thì x1; x2 là nghiệm của phương trình : x2- S x+P = 0 (x1 ; x2 tồn tại khi S2 – 4P ³ 0) Chú ý: + Định lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình có nghiệm (tức là D ≥ 0) + Nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu Phần II. bài tập luyện I. Toán trắc nghiệm (Mục đích: Củng cố, khắc sâu lí thuyết) Bài 1: Điền vào chỗ ..... để có mệnh đề đúng a) Phương trình mx2+nx+p = 0 (m ạ 0) có D = ..... Nếu D ..... thì phương trình vô nghiệm Nếu D ..... thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = ..... Nếu D ..... thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 =..... ; x2 = ..... b) Phương trình px2+qx+k = 0 (p ạ 0) có D’= .....(với q = 2q’ ) Nếu D’ ..... thì phương trình vô nghiệm Nếu D’ ..... thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = ..... Nếu D’ ..... thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 =..... ; x2 = ..... Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai A. Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0 (a ạ 0) thì: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = B. Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0 (a ạ 0) thì: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = C. Nếu p ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) có a+b+c = 0 thì phương trình có : x1 = 1; x2 = D. Nếu : a-b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = E. Nếu có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = F. Nếu (a ạ 0) có: a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = G. Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của ph trình : x2- S x+P = 0 Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình : x2- P x+S = 0 Bài 3: Ba bạn Hùng, Hải, Tuấn cùng tranh luận về các mệnh đề sau: A.Nếu a+b+c = 0 thì ph trcó 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = B.Nếu : a-b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = -1; x2 = C.Phương trình ax2+bx+c=0 có tổng hai nghiệm làvà tích hai nghiệm là D.Phương trình 2x2-x+3 = 0 có tổng hai nghiệm là và tích hai nghiệm là Hùng nói: cả bốn mệnh đề đều đún Hải nói: cả bốn mệnh đề đều sai Tuấn nói: A, B, C đúng còn D saTheo em ai đúng, ai sai? giải thích rõ vì sao? GV:cần khắc sâu hơn về a ạ 0 và khi sử dụng ĐL viet thì phải có ĐK: D ≥ 0) II. Toán tự luận Loại toán rèn kỹ năng áp dụng công thức vào tính toán Bài 1: Giải phương trình a) x2 - 49x - 50 = 0 b) (2-)x2 + 2x – 2 – = 0 Giải: a) Giải phương trình x2 - 49x - 50 = 0 + Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm + Lời giải 2: ứng dụng của định lí Viet Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0 + Lời giải 3: D = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601 Theo định lí Viet ta có : Vậy phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = b) Giải phương trình (2-)x2 + 2x – 2 – = 0 Giải: + Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm + Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn + Lời giải 3: ứng dụng của định lí Viet Do a + b + c = 2- + 2+ (- 2 - ) = 0 Nên phương trình có nghiệm: x1 = 1; x1 = * Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: 1. 3x2 – 7x - 10 = 0 2. x2 – 3x + 2 = 0 3. x2 – 4x – 5 = 0 4. 3x2 – 2x – 3 = 0 5. x2 – (1+)x + = 0 6.x2 – (1-)x – 1 = 0 7.(2+)x2 - 2x – 2 + = 0 8. x2 – – 6 = 0 Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441 Giải Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phương trình x2 – 42x + 441 = 0 (*) Ta có: D’ = (- 21)2- 441 = 0Phương trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 2 Vậy u = v = 21 *Bài tập tương tự: 1. Tìm hai số u và v biết: a) u+v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24 c) u+v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10 2. Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m2 Bài 3: Giải các phương trình sau (phương trình quy về phương trình bậc hai) a) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 b) c) 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 d) 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0 Giải a) Giải phương trình x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 (1) (1) Û (x2 - 2)(x + 3) = 0 Û (x + )(x - )(x + 3) = 0 Û x = -; x = ; x = - 3 Vậy phương trình (1) có nghiệm x = -; x = ; x = - 3 b) Giải phương trình (2) Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì (2) Û 2x(x- 4) = x2 – x + 8 Û x2 – 7x – 8 = 0 (*) Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình (*) có nghiệm x1 = -1(không thoả mãn ĐK) ; x2 = 8 (thoả mãn ĐK) Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8 c) Giải phương trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3) Ta có: (3) Û 5x4 – 3x2 – 26 = 0 Đặt x2 = t (t ³ 0) thì (3) Û 5t2 – 3t – 26 = 0 Xét D = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529. ị = 23 Nên: t1 =(thoả mãn t ³ 0) ;t2 = (loại) Với t = Û x2 = Û x = Vậy phương trình (3) có nghiệm x1 = ; x2 = d) Giải phương trình 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0 (4) Đặt x2+x = t . Khi đó (4) Û 3t2 – 2t – 1 = 0 Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t1 = 1; t2 = t1 = 1Û x2+x = 1Û x2 + x – 1 = 0 D1 = 12 - 4.1.(-1) = 5 > 0. Nên x1 = ; x2 = t2 = Û x2+x = Û 3x2 + 3x + 1 = 0 (*) D2 = 32 - 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm Vậy phương trình (4) có nghiệm x1 = ; x2 = * Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: 1. x3+3x2+3x+2 = 0 2. (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2 3. x4 – 5x2 + 4 = 0 4. 0,3 x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0 5. x3 + 2 x2 – (x - 3)2 = (x-1)(x2-2 6. 7. (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x - 4 = 0 8. 9. Bài 4: Cho phương trình x2 + x - = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau: A = ; B = x12 + x22 ; C = ; D = x13 + x23 GiảiDo phương trình có 2 nghiệm là x1 và x2 nên theo định lí Viet ta có: x1 + x2 =; x1.x2 = A = ; B = x12 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2= C = ; D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) = * Bài tập tương tự: 1 Cho phương trình x2 + 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau: A = ; B = x12 + x22 ; C = ; D = x13 + x23 E = ; F = Bài 2: Giải phương trình (giải và biện luận): x2- 2x+k = 0 ( tham số k) Giải D’ = (-1)2- 1.k = 1 – k Nếu D’ 1 ị phương trình vô nghiệm Nếu D’= 0 Û 1- k = 0 Û k = 1 ị phương trình có nghiệm kép x1= x2=1 Nếu D’> 0 Û 1- k > 0 Û k < 1 ị phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1- ; x2 = 1+ Kết luận: Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1 Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x1 = 1- ; x2 = 1+ Bài 3: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m) a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó? c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm cònlại(nế Giảia) + Nếu m-1 = 0 Û m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 Û x = (là ng + Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: D’=12- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm Û D’ = 3m-2 ³ 0 Û m ³ + Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m ³ thì phương trình có nghiệm b) + Nếu m-1 = 0 Û m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 Û x = (là nghiệm) + Nếu m ≠ 1.Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: D’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm duy nhất Û D’ = 3m-2 = 0 Û m = (thoả mãn m ≠ 1) Khi đó x = +Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = với m = thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 c) Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có: (m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 Û 4m – 3 = 0 Û m = Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 = -1= ≠ 0) Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = Vậy m = và nghiệm còn lại là x2 = 6 Bài 4: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x) a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trthoả mãn x12+x22 10. e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m f) Hãy biểu thị x1 qua x2 Giảia) Ta có: D’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) = Do với mọi m; ị D > 0 với mọi m ị Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm) b) Ph trình có 2 nghiệm trái dấu Û a.c -3 c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) Khi đó phương trình có hai nghiệm âm Û S 0 Vậy m < -3 d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) Khi đó A=x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 =2 -2=4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo bài A ³ 10 Û 4m2 – 6m ³ 0 Û 2m(2m-3) ³ 0 Vậy m ³ hoặc m Ê 0 e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm Theo Viet ta có: ị x1 + x2+2x1x2 = - 8 Vậy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - 8 Û x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) Û Vậy () Bài 5: Cho phương trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số) a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1 c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn ; với x1; x2 là nghiệm của phương trình ở trên Giải a) Ta có D’ = 12 – (m-1) = 2 – m Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau b) Ta có D’ = 12 – (m-1) = 2 – m Phương trình có nghiệm Û D ³ 0 Û 2 – m ³ 0 Û m Ê 2 (*) Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2) Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3) Từ (1) và (3) ta có: * Bài tập tương tự: 1) Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x) a) Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm. 2) Cho phương trình : x2 – 4x + m + 1 = 0 a) Định m để phương trình có nghiệm. b) Tìm m sao cho phương tr có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10 3) Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 a) Chứng minh rằng, phương tr luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi b) Định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 < x1 < x2 <6 4) Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0 a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m. b) Đặt A = 2(x12 + x22) – 5x1x2 a) Chứng minh A= 8m2 – 18m + 9 b) Tìm m sao cho A=27 c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia 5) Cho phương trình ; x2 -2(m + 4)x + m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: a) A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất. b) B = x12 + x22 – x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất. c) Tìm hệ thức giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m 6) Cho phương trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luông có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m b) Xác định m để: x12 + x22 = 4(x1 + x2) c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y1 và y2 thoả mãn: y1 + y2 = x1 + x2 và 7) Cho phương trình : x2 + ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn : > 7 8) Cho phương trình : (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 (1) a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2: * Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m * Tìm m sao cho Bài 174Cho phương trình có ẩn số x : x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 1) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m 2) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn điều kiện x12+x22 10. Bài 175Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0 1) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m. 2) Đặt A = 2(x12 + x22) – 5x1x2 a) Chứng minh A= 8m2 – 18m + 9 b) Tìm m sao cho A=27 3) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lầnnghiệm kia Bài 176Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x) a) Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm. Bài 17 Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 a) Chứng minh rằng, phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi b) Định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:1 < x1 < x2 <6 Bài 178Cho hai phương trình: x2 + x + a = 0 (1) x2 + ax2 + 1 = 0 (2) Tìm các giá trị của a để hai phương trình: a) Tương đương với nhau. b) Có ít nhất một nghiệm chung. Bài 179 a) C/ m rằng đẳng thức:(m2 + m + 1)2 + 4m2 + 4m = (m2 + m + 1)2 b) Cho phương trình: mx2 - (m2 + m + 1)x + m + 1 = 0 (1) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1 Bài 180Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0 Gọi c,d là hai nghiệm của phương trình: y2 + qy + 1 = 0 Chứng minh hệ thức: (a – c)(a – d)(b – c)(b – d) = (p – q)2 Bài 181Giả sử a và b là hai nghiệm của phương trình x2+px+1 = 0 Giả sử c và d là hai nghiệm của phương trình x2+qx+1 = 0 Chứng minh hệ thức: (a – c)(b – c)(a + d)(b + d) = q2 + p2 Bài 182Cho phương trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0 1) Chứng minh rằng, phương trình có nghiệm với mọi m. 2) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có 2nghiệm phân biệt x1, x2 và khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. Bài 183Cho phương trình : x2 – 4x + m + 1 = 0 a) Định m để phương trình có nghiệm. b) Tìm m sao cho phương tr có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10 Bài 184 Cho phương trình : x2 – 2mx + m + 2 = 0 a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm không âm b) Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức: E=theo m Bài 185Cho phương trình : 3x2 – mx + 2 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn: 3x1x2 = 2x2 – 2 Bài 186 Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x - m = 0 a)Chứng minh rằngphương trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m. b) Với m 0, lập phương trình ẩn y thoả mãn: Bài 187Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn: x12 – x22 = 5/9 Bài 188Cho phương trình ; x2 -2(m + 4)x + m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: a) A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất. b) B = x12 + x22 – x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất. c) Tìm hệ thức giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m Bài 189Cho phương trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luông có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m b) Xác định m để: x12 + x22 = 4(x1 + x2) c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y1 và y2 thoả mãn: y1 + y2 = x1 + x2, Bài 190Cho phương trình : x2 + ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn : > 7 Bài 191 Cho phương trình : 2x2 + 2(m + 2)x + 4m + 3 = 0 a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 b) C/m rằng các nghiệm x1, x2 thoả mãn: Bài 192 Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 (a 0) Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là: 9ac = 2b2 Bài 193Cho phương trình bậc hai: ax2 + bc + c = 0 (a 0). Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này bằng k lần nghiệm kia (k > 0) là: kb2 = (k + 1)2ac Bài 194Chứng minh rằng phương trình : (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 luôn luôn có 2 nghiệm với mọi a, b, c. Bài 195Co hai phương trình : x2 + mx + 2 = 0 (1) x2 + 2x + m = 0 (2) a) Định m để 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung b) Định m để 2 phương trình tương đương c) Xác định m để phương trình: (x2+mx+2)(x2+2x+m) = 0 có 4 ng phân biệt Bài 196Với giá trị nào của các tham số a và b, các phương trình bậc hai: (2a + 1)x2 – (3a – 1)x + 2 = 0 (1) (b + 2)x2 – (2b + 1)x – 1 = 0 (2 ) Có hai nghiệm chung Bài 197Với giá trị nào của tham số k thì hai phương trình sau có nghiệm chung : 2x2 + (3k + 1)x – 9 = 0 6x2 + (7k – 1)x – 19 = 0 Bài 198Với giá trị nào của số nguyên p , các phương trình sau đây có nghiệm chung 3x2 - 4x + p – 2 = 0 x2 – 2px + 5 = 0 Bài 199Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 với a, b, c là các số hữu tỷ, a 0, có một nghiệm là 1 + . Hãy tìm nghiệm còn lại Bài 200 Tìm tất cả các số nguyên k để phương trình: kx2 – ( 1-2k) + k – 2 = 0 luôn luôn có nghiệm số hữu tỷ. Bài 201Cho phương trình bậc hai: 3x2 + 4(a – 1)x + a2 – 4a + 1 = 0 xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thoả mãn hệ thức : Bài 202Cho biết phương trình: x2 + px + 1 = 0 có hai nghiệm là a và b,phương trình: x2 + qx + 2 = 0 có hai nghiệm là b và c chứng minh hệ thức : (b – a)(b – c) = pq – 6 Bài 203Cho các phương trình : x2 - 5x + k = 0 (1) x2 - 7x + 2k = 0 (2) Xác định k để một trong các nghiệm của phương trình (2) lớn gấp 2 một trong các nghiệm của phương trình (1) Bài 204 Cho các phương trình : 2x2 + mx – 1 = 0 (1) mx2 - x + 2 = 0 (2) Với giá trị nào của m, phương trình (1) và ph tr (2) có nghiệm chung Bài 205Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai: 3x2 - cx +2c - 1 = 0.Tính theo c giá trị của biểu thức: S = Bài 206Xác định a để hai phương trình sau có nghiệm chung : x2 + ax + 8 = 0 x2 + x + a = 0 Bài 207Tìm tất cả các số nguyên k để các phương trình bậc hai: 2x2 + (3k – 1)x – 3 = 0 6x2 – (2k – 3)x – 1 = 0 a) Có nghiệm chung b) Tương đương với nhau Bài 208Cho phương trình bậc hai: 2x2 + 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: Bài 209Cho biết x1 và x2 là hai nghiệm phân biệt khác 0 của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0, a,b,c R). Hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là : Bài 210Biết rằng x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 . Hãy việt phương trình bậc hai nhân x13 và x23 làm hai nghiệm Bài 211Cho f(x) = x2 – 2(m+ 2)x + 6m + 1 a) CMR: phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m. b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2 Bài 212Cho phương trình : x2 -2(m + 1)x + m2 + m - 6 = 0 a) Định m để phương trình có hai nghiệm đều âm b) Định m để ph trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: Bài 213CMR: phương trình :( x + 1)(x+3) + m(x + 2)(x + 4) = 0 Luôn luôn có nghiệm số thực với mọi giá trị của tham số m Bài 214 Cho phương trình bậc hai: x2 - 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:x12 + x22 = 72 Bài 215 Giả sử a và b là hai số khác nhau. Chứng minh rằng nếu hai phương trình: x2 + ax + 2b = 0 (1) x2 + bx + 2a = 0 (2) Có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm số còn lại của (1) và (2) là nghiệm chung của phương trình : x2 + 2x + ab = 0 Bài 216Cho hai phương trình : x2 + ax + 2b = 0 (1) x2 + bx + ac = 0 (2) ( a,b,c đôi một khác nhau và khác 0 Cho biết (1) và (2) có đúng một nghiệm chung. Chứng minh rằng hai nghiệm còn lại của phương trình (1) và (2) là nghiệm của phương trình x2 + cx + ab = 0 Bài 217Cho phương trình: x2 – (m – 1)x – m2 + m - 2 = 0 a) C/m rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m b)Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: E = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 218 Cho hai phương trình: x2 + a1x + b1 = 0 (1) x2 + a2x + b2 = 0 (2) Cho biết a1a2 2(b1 + b2). Chứng minh một trong hai phương trình đã cho có nghiệm. Bài 219Cho ba phương trình: ax2 + 2bx + c = 0 (1) bx2 + 2cx + a = 0 (2) cx2 + 2ax + b = 0 (3) với a,b,c ≠ 0. Chứng minh rằng, ít nhất một trong ba phương trình trên đây phải có nghiệm Bài 220Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m2 – 3m + 4 = 0 a) Tim m để ph tr có2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: b) Lập một hệ thức giữa x1 và x2 độc lập với m Bài 221Cho phương trình: (m + 2)x2 – 2(m – 1)x + 3 – m = 0 a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức : x12 + x22 = x1 + x2 b) Lập một hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m c) Viết một ph tr bậc 2 có các nghiệm là:x1 = , x2 = Bài 222:Cho phương trình: x2 + (m+1) + m = 0 a) Ch m rằng ph tr luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m b) Xác định m để biểu thức: E = x12+x22 đạt giá trị bé nhất. Bài 223Cho phương trình; (a – 3)x2 – 2(a – 1)x a – 5 = 0 a) giải phương trình khi a =13 b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 224 Cho phương trình bậc hai: 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luông luôn có nghiệm với mọi m b)Tìm m để phương trình có nghiệm kép.Tìm nghiệm đó c) Xác định m để p/t có 2 nghiệm phân x1, x2 thoả mãn: -1 < x1 < x2 <1 d) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1x2, hãy lập một hệ thức giữa x1 và x2 không có m. Bài 225Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x m + 3 = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m b) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau. Bài 226Cho phương trình: x2 + ax + b = 0. Xác định a và b để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn x1 – x2 = 5 và x13 + x23 = 35. Tính các nghiệm đó. Bài 227Giả sử phương trình x2 + ax + b = 0; (a; b; c # 0) co hai nghiệm phân biệt trong đó đúng một nghiệm dương x1 thì phương trình bậc hai: ct2 + bt + a = 0 cũng có hai nghiệm phân biệt trong đó có t1 > 0 t/m: x1 + t1 2 Bài 228 Cho 2 phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) cx2 + bx + a = 0 (2) (a, b, c ạ 0 ). Chứng minh rằng nếu (1) có hai nghiệm tương đương x1, x2 thì (2) cũng có hai 2 nghiệm tương đương x3, x4. Ngoài các nghiệm đó thoả mãn x1 + x2 + x3 + x4 4 Bài 229Không giải phương trình: 3x2 + 17x – 14 = 0 (1) Hãy tính giá trị của biểu thức: S= Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Bài 230 a) Không giải phương trình, hãy tính hiệu các lập phương của các nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của phương trình X2 - b) Với giá trị nào của số nguyên a, các nghiệm của phương trình: ax2 + (2a – 1)x + a – 2 = 0 là các số hữu tỷ? Bài 231 Cho phương trình: 2x2 – (2m + 1)x + m2 – 9m + 39 = 0 a) Giải phương trình khi m =9 b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm mà một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại. Tìm các nghiệm đó. Bài 232Cho phương trình bậc hai: x2 + ax + b = 0. Xác định a và b để phương trình có hai nghiệm a và b Bài 233 Cho f(x) = (4m – 3)x2 – 3(m + 1)x + 2(m + 1) a) Khi m = 1, tìm nghiệm của phương trình đó b) Xác định m để m để f(x) viết được dưới dạng một bình phương c) Giả sử phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1x2 lập một hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m. Bài 234Cho x,y > 0 thoả mãn hệ thức: Hãy tính giá trị của biểu thức: E = Bài 235Cho phương trình : x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm với mọi m b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1x2 thoả mãn : x12 + x22 10 c) Xác định m để phương trình có nghiệm x1, x2  sao cho:E = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 236Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 px2 + qx + r = 0 có ít nhất một nghiệm chung. Ch m rằng ta có hệ thức: (pc–ar)2 = (pb–aq)(cq–rb) Bài 237 Cho phương trình: x2 + ax + b = 0 (1) x2 – cx – d = 0 (2) Các hệ số a, b, c, d thoả mãn: a(a–c)+c(c–a)+8(d–b) > 0 Ch m rằng ít nhất 1 trong 2 phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt . Bài 238Giả sử phương trình bậc hai: x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm nguyên dương. Chứng minh rằng: ax2 + bx2 là một hợp số. Bài 239Giả sử phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 Có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Xác định m để biểu thức E = x12 + x22 + 10x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính min E Bài 240Cho biết phương trình: x2 – (a – 1)x + 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2; Xác định a để biểu thức M = 3x2 + 5x1x2 + 3x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Hãy tìm nghiệm trong trường hợp M đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 241Cho phương trình: x2 + px – 1 = 0 (p là số lẻ) có hai nghiệm phân biệt x1x2; Chứng minh rằng: nếu n là số tự nhiên thì: x1n + x2n và x1n+1 + x2n +1 đều là các số nguyên và chúng nguyên tố cùng nhau. Bài 242Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 a) Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn luôn có nghiệm. Tìm m