Chuyên đề Phương trình hàm

MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG I.PHẦN MỞ ĐẦU: 1/Lý do chọn đề tài: 2/Mục tiêu nghiên cứu: 3/Nhiệm vụ nghiên cứu: 4/Các phương pháp nghiên cứu: II.PHẦN NỘI DUNG: 1/Lịch sử của vấn đề nghiên cứu: 2/Cơ sở lý luận của đề tài: 3/Thực trạng của vấn đề nghiên cứu: 4/Nội dung nghiên cứu và kết quả nghiên cứu: A/NỘI DUNG NGHIÊN CỨU: A.1)Ý tưởng giải phương trình hàm, bất phương trình hàm. A.2)Một số đặc trưng cơ bản của hàm số . A.3)Bất phương trình hàm. A.4)Phương trình hàm liên quan đến tam giác. A.5)Bất phương trình hàm liên quan đến tam giác. A.6)Các đề thi học sinh giỏi. A.7)Một số kỹ thuật giải phương trình hàm. B/KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: III.PHẦN KẾT LUẬN: 1/Kết luận: 2/Tài liệu tham khảo: 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 8 12 17 20 34 43 43 43 44 I.PHẦN MỞ ĐẦU: 1/Lý do chọn đề tài: T rong những năm gần đây, bộ môn Toán của Tỉnh Tiền Giang của chúng ta đã có những tiến bộ rõ rệt và thành tích trong những kỳ thi Học sinh Giỏi cấp Quốc gia ngày càng tốt hơn. Có được những thành tích đó là nhờ sự chỉ đạo chuyên môn của SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TIỀN GIANG, sự nổ lực của Quý Thầy Cô và sự cố gắng của các em học sinh. Qua quá trình nghiên cứu, theo dõi các đề thi Học sinh Giỏi và những lần chấm thi, tôi thấy rằng đa số các em học sinh còn “chưa thạo” trong việc giải các bài toán về Phương trình hàm một cách có “bài bản”. Để góp phần nhỏ của mình vào việc hệ thống lại một công cụ để nghiên cứu, giải toán thi Học sinh Giỏi những phần có liên quan đến hàm số, những đẳng thức, bất đẳng thức, tạo sự thích thú cho các em học sinh; giúp các em “không còn ngán ngại” khi gặp các bài toán về hàm số. Tôi xin được phép trình bày chuyên đề “ PHƯƠNG TRÌNH HÀM ”. 2/Mục tiêu nghiên cứu: Nhằm hệ thống kiến thức về phương trình hàm, trình bày các kết quả qua quá trình nghiên cứu phương trình hàm và bất phương trinh hàm. Giúp các em học sinh có kiến thức tốt về Phương trình hàm và một phần của Bất phương trình hàm, mở ra một số hướng cho các em học sinh suy nghĩ và sáng tạo những bài toán mới. 3/Nhiệm vụ nghiên cứu: Trước hết là thực hiện đổi mới phương pháp giảng dạy Toán làm cho học sinh sáng tạo tìm những kết quả mới, lời giải hay trên một “loại toán khó”, giúp bản thân nắm vững hơn nữa về Phương trình hàm, đồng thời trao đổi và học tập kinh nghiệm ở Quý Thầy Cô ở Tổ Toán. 4/Các phương pháp nghiên cứu: *Phương pháp suy luận, tổng hợp: kết hợp bài giảng của GS-TSKH NGUYỄN VĂN MẬU với các đề thi Học sinh Giỏi rút ra những kinh nghiệm, hệ thống lại kiến thức, mở ra các hướng mới. *Phương pháp trò chuyện – phỏng vấn: trao đổi tâm tình với nhiều học sinh khá giỏi để nắm tình hình sử dụng các kiến thức về Phương trình hàm. *Phương pháp khảo sát: bản thân được tham dự các kỳ chấm thi Học sinh Giỏi nên có nắm được tình hình sử dụng các phương pháp làm bài của các em học sinh. *Phương pháp phân tích lý luận: phân tích giúp học sinh nắm thật rõ bản chất vấn đề, lựa chọn được phương pháp giải cho phù hợp. II.PHẦN NỘI DUNG 1/Lịch sử của vấn đề nghiên cứu: Hè những năm 2003, 2004, 2005, 2006 bản thân tôi được tham dự lớp “BỒI DƯỠNG CHUYÊN TOÁN THPT” tại Trường ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI”. Trong khóa học tôi nhận thấy kiến thức về Toán của mình được nâng lên rõ rệt. “BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM ” (của GS-TS NGUYỄN VĂN MẬU) là một trong các bài giảng mà tôi tâm đắc. Được sự động viên khuyến khích của Thầy TRƯƠNG THÀNH PHÚ – Sở Giáo Dục & Đào Tạo Tiền Giang; tôi mạnh dạn chọn đề tài này để nghiên cứu và trình bày. 2/Cơ sở lý luận của đề tài: Kết hợp bài giảng và các tài liệu tham khảo để phân tích, tổng hợp, hệ thống. 3/Thực trạng của vấn đề nghiên cứu: Đa số học sinh rất ngại khi sử dụng phương pháp này, rất lúng túng trong quá trình phân tích để tìm ra bản chất và vận dụng kiến thức về phương trình hàm một cách thích hợp. 4/Nội dung nghiên cứu và kết quả nghiên cứu: A/NỘI DUNG NGHIÊN CỨU: A.1)Ý tưởng giải phương trình hàm, bất phương trình hàm: Phương trình hàm và bất phương trình hàm là một trong những chuyên đề giảng dạy và bồi dưỡng học sinh năng khiếu toán. Nghiên cứu phương trình hàm là một việc làm thiết thực, góp phần làm phong phú thêm kiến thức toán. Đặc biệt với “tư tưởng” của Thầy Nguyễn Văn Mậu, nghiên cứu phương trình hàm còn giúp chúng ta giải quyết được những hàm “tựa” như: “tựa lồi”, “tựa lõm”, ...; các đặc trưng hàm cơ bản của một số hàm số sinh bởi các phép biến hình sơ cấp, “sáng tác” các kết quả mới trong tam giác, các “kỹ thuật” giải phương trinh hàm, mối quan hệ giữa phương trình hàm và bất phương trình hàm,… A.2)Một số đặc trưng cơ bản của hàm số: A.1.1/Đặc trưng của một số hàm sơ cấp: Trong phần này ta nêu những đặc trưng của một sồ hàm số sơ cấp thường gặp trong chương trình phổ thông. Nhờ các đặc trưng hàm này mà ta có thể dự đoán kết quả của các phương trình hàm tương ứng cũng như có thể đề xuất những dạng bài tập tương ứng với các đặc trưng hàm đó. Các hàm số được xét trong phần này thoả mãn điều kiện liên tục trên toàn miền xác định của hàm số. Nếu hàm số thoả mãn các đặc trưng hàm đã cho mà không có tính liên tục hoặc được xác định trên các tập rời rạc thì nghiệm của phương trình hàm có thể là một biểu thức hoàn toàn khác. 1/Hàm bậc nhất: . Đặc trưng hàm: (Phương trình Jensen) 2/Hàm tuyến tính: . Đặc trưng hàm: (Phương trình Cauchy) 3/Hàm mũ: . Đặc trưng hàm: (Phương trình Cauchy) 4/Hàm logarit: . Đặc trưng hàm: (Phương trình Cauchy) 5/Hàm sin: . Đặc trưng hàm: 6/Hàm cosin: . Đặc trưng hàm: 7/Hàm tang: . Đặc trưng hàm: 8/Hàm cotang: . Đặc trưng hàm: 9/Hàm luỹ thừa: . Đặc trưng hàm: A.1.2/Hàm số chuyển đổi phép tính số học và đại số: Trong phần này, ta khảo sát một số tính chất cơ bản của một số dạng hàm số thông qua các hệ thức hàm đơn giản và các hàm bảo toàn và chuyển đổi các tính chất cơ bản của phép tính đại số như giao hoán, phân phối, kết hợp. Bài toán 1: Xác định các hàm số f(x) xác định và liên tục trên R thoả: f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y); x,y (1) Phân tích: f(x+1)=2f(x)+f(1), c=2c+1 c=-1 Lời giải: Đặt f(x)=g(x)-1, Ta có g(x+y)-1=g(x)-1+g(y)-1+[g(x)-1][g(y)-1] hay g(x+y)=g(x)g(y) ; x,y (2). Do f(x) liên tục trên R nên g(x) cũng là hàm liên tục trên R. Suy (2) có nghiệm là g(x)=eax. (1) có nghiệm là f(x)=eax-1. Bài toán 2: Cho hàm số F(u,v) (u, v là số thực). Giả sử phương trình hàm: f(x+y)=F[f(x),f(y)] (x, y là số thực) (1) có nghiệm f(x) xác định và liên tục trên R. Chứng minh rằng F(u,v) là hàm đối xứng (F(u,v)=F(v,u)) và có tính kết hợp (F[F(u,v),w]=F[u,F(v,w)])(2) Lời giải: u,v,wD-1f(tập giá trị của hàm số f) F(u,v)=F[f(x),f(y)]=f(x+y)=f(y+x)=F[f(y),f(x)]=F(v,u) F[F(u,v),w]=f[(x+y)+z]=f[x+(y+z)]=F[f(x),f(y+z)]=F[u,F(v,w)] Bài toán 3: Giả sử phương trình hàm f(x+y)=F[f(x),f(y)], x,yR; với F(u,v)( u,v,w D-1f) là một đa thức khác hằng, có nghiệm là f(x) xác định và liên tục trên R. Chứng minh F(u,v) có dạng F(u,v)=auv+bu+bv+c. Lời giải: Giả sử F(u.v) là đa thức bậc n theo u và bậc m theo v. Khi đó, do F(u,v) đối xứng nên m=n. Từ bài toán 2, ta có F[F(u,v),w]=F[u,F(v,w)], vế trái là đa thức bậc n theo w và vế phái là đa thức bậc n2 theo w. Suy ra n2=n, hay n=1. Vậy F(u,v)=auv+b1u+b2v+c. Mà F(u,v) đối xứng nên b1=b2 và F(u,v)=auv+bu+bv+c. Theo bài toán 2, ta có ac=b2-b. Bài toán 4: Cho đa thức F(u,v)=bu+bv+c (b0). Xác định các hàm số f(x) xác định và liên tục trên R thoả f(x+y)=F[f(x),f(y)] (x, y là số thực) (Tức là f(x+y)=bf(x)+bf(y)+c (4)) Lời giải: Nếu b1 thì từ (4) với y=0, ta có f(x)=const Khi b= và c=0 thì mọi hàm hằng đều thoả (4) Khi b= và c0 thì (4) vô nghiệm Khi b1 và b thì nghiệm của (4) là f(x)= Nếu b=1 thì (4) có dạng là f(x+y)=f(x)+f(y)+c và phương trình hàm này có nghiệm f(x)=ax+c Bài toán 5: Cho đa thức (0, c=). Xác định các hàm số f(x) xác định và liên tục trên R thoả (Tức là (5)) Lời giải: Đặt , từ (5) ta có và phương trình này có nghiệm . Suy ra nghiệm của (5) có dạng Bài toán 6: Giả sử là nghiệm của phương trình hàm: . Chứng minh hàm số thoả mãn phương trình Cauchy: Lời giải: Lần lượt đặt: và thế vào (5), ta thu được các đẳng thức: Suy ra: Và Vậy: Bài toán 7: Giả sử hàm số liên tục trên R là nghiệm của phương trình hàm: . Chứng minh: khi đó Lời giải: Nghiệm của trong lớp hàm liên tục là hàm tuyến tính . Do đó , thế vào (7), ta được: (7’) Bài toán 8: Giải và biện luận phương trình hàm: trong lớp các hàm liên tục trên R. Lời giải: Theo bài toán 7: điều kiện cần để (8) có nghiệm là . Giả sử điều kiện này thoả mãn. Theo (7’), ta chia ra các truờng hợp sau: +T/h: . Khi đó (8) trở thành: (8’) thuộc lớp hàm chuyển tiếp các đại lượng trung bình cộng. Vậy (8’) có nghiệm là +T/h: Khi đó (8) trở thành: . Đặt: . Vậy (8”) có dạng: . Do đó (8’”) chỉ có nghiệm hằng tuỳ ý (Xem (7)), vì vậy (8) có nghiệm +T/h: . Theo bài toán 6 thì nghiệm của (8) có dạng . Từ (7’) suy ra . Nếu cho tuỳ ý thì Bài toán 9: Xác định các hàm số liên tục trên R là nghiệm của phương trình hàm: . Lời giải: +Đặt thế vào (9) ta có: +Đặt . Từ (9’), ta có: . Suy ra Vậy (9) có nghiệm . Thử lại thấy (9) thoả. Bài toán 10: Xác định các hàm số liên tục trên R là nghiệm của phương trình hàm: . Lời giải: Thay vào (10), ta được . Vậy . Với thì hay . A.3)Bất phương trình hàm cơ bản. Bài toán 1: Xác định các hàm số liên tục trên R thoả đồng thời các điều kiện sau: Lời giải: Thay , ta có Vậy nên . Suy ra . Thử lại (1) thoả Bài toán 2: Cho trước hàm số . Xác định các hàm số liên tục trên R thoả đồng thời các điều kiện sau: Lời giải: . Đặt . Khi đó ta có và . Theo bài toán 1, ta có: . Vậy . Thử lại thấy thoả điều kiện (2.1) và (2.2) Bài toán 3: Cho . Xác định các hàm số liên tục trên R thoả đồng thời các điều kiện sau: Lời giải: Ta có . Khi đó logarit hoá hai vế (3.1), (3.2), ta có Đặt , ta có: Đặt , ta có: hàm thoả điều kiện bài toán 2 nên và . Vậy thoả điều kiện bài toán. Bài toán 4: Xác định các hàm số liên tục trên R thoả đồng thời các điều kiện sau: Lời giải: Đặt . Khi đó ta có Thay vào (4.1’) và (4.2’) . Suy ra hay theo bài toán 1 thì . Thử lại thoả điều kiện bài toán. Bài toán 5: Xác định các hàm số liên tục trên R thoả điều kiện sau: (5) Lời giải: Từ (5) ta có (5’) Thay vào (5’), ta có (5”) Suy ra mà . Vậy (kết hợp với (5”). Thử lại thấy thoả điều kiện. Bài toán 6: Xác định các hàm số liên tục trên R+ thoả điều kiện sau: (6) Lời giải: Tương tự bài toán 5, ta có Thay vào (6’), ta có (6”) Suy ra: mà . Kết hợp với (6”), ta có . Thử lại thấy thoả điều kiện bài toán. Nhận xét: Điều khẳng định trên cho ta một kết luận tương ứng sau: Nếu có một bất đẳng thức cổ điển cho cặp số ; chẳng hạn như thì từ điều kiện ta có ngay hàm cần tìm là Từ đây ta có thể “sáng tác” ra những bài toán tương tự Bài toán 7: Chứng minh rằng nếu: Lời giải: Sử dụng định lý Lagrange, ta có: Bài toán 8: Giải bất phương trình Lời giải: Xét hàm số , ta có (7): Sử dụng định lý Lagrange, ta có: Bài toán 9: Cho các số dương . Tìm các hàm số thoả mãn điều kiện Lời giải: Giả sử có các hàm số thoả điều kiện. Thay đổi vai trò của ta có: . Cộng vế (8) và (8’), ta có . Cố định , ta có Thay vào (8) và làm tương tự như trên, ta có: và . Thử lại thấy đúng. Bài toán 10: Chứng minh: (9) Lời giải: Ta có , suy ra điều phải chứng minh A.4)Phương trình hàm liên quan đến tam giác. Phép tịnh tiến sinh ra hàm tuần hoàn cộng tính, phép đồng dạng sinh ra hàm tuần hoàn nhân tính, phép phản xạ sinh ra hàm số chẵn, lẻ. Tính chất 1: Điều kiện cần và đủ để 3 số dương A, B, C là 3 góc của một tam giác là A+B+C= Tính chất 2: Điều kiện cần và đủ để 3 số dương a, b, c là 3 cạnh của một tam giác là a+b>c, b+c>a, c+a>b (hay /b-c/<a<b+c) Bài toán 1: Xác định số để hàm số có tính chất là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC. Lời giải: Để là độ dài các cạnh của một tam giác, trước hết phải có . Suy ra Hay tương đương . Ngược lại, với thì là độ dài các cạnh của một tam giác. Vậy với thì hàm số có tính chất là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC. Bài toán 2: Xác định số để hàm số có tính chất là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC. Lời giải: Để là độ dài các cạnh của một tam giác, trước hết phải có . Suy ra Hay . Vậy với thì hàm số có tính chất là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC. Bài toán 3: Xác định số để hàm số có tính chất là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC. Lời giải: Để là độ dài các cạnh của một tam giác, trước hết phải có . Suy ra Từ (3), ta có (Vì nếu , tuỳ ý thì ta chọn tam giác ABC có đủ lớn thì ) Tương tự (Vì nếu chọn tam giác ABC có đủ nhỏ thì ) Trường hợp không thoả. Vậy thì hàm số có tính chất là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC. Bài toán 4: Xác định số để hàm số có tính chất là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC. Lời giải: Giả sử . Phép nghịch đảo không có tính chất là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC.( Phản ví dụ ; ta có ) Để là độ dài các cạnh của một tam giác, trước hết phải có . Suy ra Suy ra (bài toán 3) +Trường hợp : không thoả. +Trường hợp : không thoả () +Trường hợp : ; là độ dài các cạnh của một tam giác đều. + Trường hợp : ta có Ta cần xác định các số dương sao cho: Hay (4’) Phản ví dụ: thế vào (4’), ta có: . Suy ra , điều này không xảy ra với đủ lớn. Vậy với : ; là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC. Bài toán 5: Xác định hàm số liên tục trong [0;], và có đạo hàm trong (0;) sao cho tạo thành số đo các góc của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC cho trước. Lời giải: Ta cần xác định hàm khả vi sao cho: và Suy ra Hay Lấy đạo hàm theo biến Suy ra . Vậy . Do nên Kết luận: hàm số liên tục trong [0;], và có đạo hàm trong (0;) sao cho tạo thành số đo các góc của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC cho trước. Bài toán 6: Xác định hàm số liên tục trong [0;], sao cho tạo thành số đo các góc của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC cho trước. Lời giải: Ta cần xác định hàm liên tục trong sao cho: (6) (6’) Đặt thì liên tục trong Ta có . Thế vào (6) và sử dụng (6”), ta có: Hay (6’”). Do liên tục trong , nên (6”’) là phương trình hàm Cauchy và . nên và để ta cần có Bài toán 7: Xác định hàm số liên tục trong [0;], sao cho tạo thành số đo các góc của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC cho trước. Lời giải: *Ta thấy có hai hàm số hiển nhiên thoả điều kiện là *Ta xác định các hàm số liên tục trong [0;] và (7) Cho , ta có: (7’) Hay . Đặt thế vào (7) và sử dụng (7’), ta có: Hay (7”) là phương trình hàm Cauchy và . Ta cần xác định để Hay hay Hay (7”’). Cho , ta có: Kiểm tra các trường hợp: +: (7’”) thoả +: (7’”) thoả +: (7’”) thoả Vậy các hàm cần tìm có dạng: Bài toán 8: Xác định hàm số liên tục trong [0;], sao cho: tạo thành số đo các cạnh của một tam giác nội tiếp trong đường tròn đường kính bằng 1 ứng với mọi tam giác ABC cho trước. Lời giải: Ta có nhận xét sau: Xét đường tròn (O) có đường kính 2R=1. là tập hợp tất cả các tam giác nội tiếp trong đường tròn (O) nói trên. Khi đó điêu kiện cần và đủ để ba số dương là ba góc của một tam giác thuộc là tạo thành độ dài các cạnh của một tam giác thuộc (). Theo bài toán 7 thì . *Nhận xét: nghiệm của phương trình vô định có thể mô tả dưới dạng . Ta suy ra các kết luận sau: Bài toán 9: Chứng minh đều tồn tại một tam giác mà độ dài các cạnh là những số đều là các tam giác vuông. Lời giải: . Ta thấy . Từ đó suy ra là độ dài các cạnh của một tam giác vuông có canh huyền . Bài toán 10: Chứng minh rằng đều tồn tại một tam giác mà độ dài các cạnh là những số và các tam giác đó có góc lớn nhất như nhau ( cho trước). Lời giải: Đặt . Ta có . Vậy là 3 cạnh của một tam giác. Cạnh lớn nhất của tám giác ứng với . Khi đó gọi là góc lớn nhất, A.5)Bất phương trình hàm liên quan đến tam giác. Một số hàm số không phải là hàm lồi nhưng có tính chất của hàm lồi được gọi là hàm “tựa lồi”, hàm số không phải là hàm lõm nhưng có tính chất của hàm lõm được gọi là hàm “tựa lõm” ,... (theo Thầy Nguyễn Văn Mậu) Bài toán 1: Trong tam giác ABC, nếu A<B thì sinA<sinB (Chứng minh đơn giản: tương ứng với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn). Nhận xét: Hàm số không đồng biến trong nhưng ta cũng có hệ thức kiểu “đồng biến” cho cặp góc của một tam giác. Bài toán 2: Trong tam giác ABC, ta có . Nhận xét: Hàm số không là hàm lõm trong nhưng ta vẫn có hệ thức kiểu hàm lõm cho cặp góc của một tam giác. Bài toán 3: Trong tam giác ABC, ta có: 3.1) 3.2) 3.3) 3.4) Nhận xét: Từ kết quả 3.2) ta nhận thấy rằng tính chất của hàm lõm không còn được sử dụng như một công cụ cơ bản để kiểm chứng tính đúng đắn của bất đẳng thức. Vậy vấn đề đặt ra là: Về tổng thể, ta có thể mô tả được hay không lớp các hàm tổng quát thoả mãn điều kiện với mọi tam giác ABC? Bài toán 1: Cho hàm số . Chứng minh các điều kiện (1.1) và (1.2) sau đây là tương đương: Lời giải: +Giả sử: , ta có Từ (1.1) và (1.3), ta có: . Suy ra (1.2) +Từ (1.2), giả sử , đặt ta được (1.1). Bài toán 2: Xác định hàm số thoả mãn điều kiện: (2). Lời giải: +(2) thoả với mọi cặp góc nhọn A,B tương đương với là một hàm đồng biến trong +Xét hàm số . Ta chứng minh thoả điều kiện bài toán. Thật vậy: A, B nhọn thì (2) thoả Xét +Ta chứng minh mọi hàm số thoả điều kiện bài toán đều có dạng: . Thật vậy, từ với B tù, ta có thì Bài toán 3: Xét hàm số . Chứng minh với mọi tam giác ABC ta đều có Lời giải: +Tam giác ABC nhọn (hay vuông) thì (3) có dạng quen thuộc +Tam giác ABC tù: thì (3) có dạng đúng Do A.6)Các đề thi học sinh giỏi. I.Tính giá trị hàm số: Bài toán 1: Cho hàm số , thoả: . Tính Lời giải: Ta có 19=10+9 Suy ra Bài toán 2: (Dự tuyển IMO) Cho hàm số . Tìm các số Lời giải: Cho Bài toán 3: Cho hàm số xác định trên tập các số nguyên thoả: . Tính Lời giải: +Ta chứng minh . Ta có + Suy ra: Bài toán 4: Cho hàm số xác định trên tập N* thoả: . Tính Lời giải: Ta có 1789=4.445+9, 445=4.109+9, 109=4.25+9, 25=4.4+9 Ta tính các giá trị: Bài toán 5: Cho hàm số xác định trên R thoả: (5). Tính Lời giải: +T/h , ta có không thoả (5) +T/h , ta có thoả (5). Suy ra: Bài toán 6: Đặt . Tính Lời giải: Chứng minh bằng quy nạp: Suy ra Bài toán 7: Cho hàm số xác định trên tập các số thực và thoả điều kiện: . Tính Lời giải: Vậy hàm số cộng tính trên R Suy ra . Nếu thì Vậy: . Kết luận Bài toán 8: Cho hai hàm số thoả điều kiện: . Chứng minh Lời giải: Lấy Chứng minh bằng quy nạp: + + +Vậy ; tương tự Kết luận: Bài toán 9: (IMO) Cho hàm số thoả điều kiện: . Tính Lời giải: (1): (C/m bằng quy nạp) +Nếu thì ta có . Thật vậy, + Vậy Mặt khác Do đó Bài toán 10: Cho hàm số liên tục trên R thoả điều kiện: . Tính Lời giải: Do hàm số liên tục trên R và nên tồn tại (1) II.Ước lượng giá trị hàm số: Bài toán 1: Cho hàm số , thoả: 1)Chứng minh phương trình có vô số nghiệm trên [0;1] 2)Tồn tại hay không hàm số xác định trên [0;1] thoả mãn điều kiện (1), (2) và không đồng nhất bằng 0? Lời giải: 1) Dễ dàng chứng minh Vậy phương trình có vô số nghiệm trên [0;1] 2)Hàm số thoả mãn điều kiện bài toán Bài toán 2: Cho hàm số , thoả: Hãy tìm số các nghiệm của phương trình trên đoạn [-1000;1000] Lời giải: Vì vậy với mọi đều là nghiệm của phương trình . Trên [-1000;1000] số điểm dạng (không kể điểm bội) là Trên [-1000;1000] số điểm dạng (không kể điểm bội) là Vậy số các nghiệm của phương trình trên đoạn [-1000;1000] không ít hơn 401. Xét hàm số thỏa điểu kiện bài toán +Nếu có dạng thì ; hơn nữa có dạng nên . +Nếu có dạng thì ; hơn nữa có dạng nên . +Nếu không có dạng , thì . Vậy số các nghiệm của phương trình trên đoạn [-1000;1000] là 401. Bài toán 3: Cho hàm số , thoả: Chứng minh Lời giải: 1)Chứng minh bằng quy nạp. 2); suy ra không giảm trên K. 3), chọn Bài toán 4: Cho hai hàm số liên tục trên K:, thoả: Chứng minh Lời giải: Đặt là hàm số liên tục trên K và . Vậy +Nếu thì ta có điều phải chứng minh. + Nếu . Khi đó ta xây dựng dãy số Chứng minh bằng quy nạp. Dãy đơn điệu (tăng nếu , giảm nếu ) và bị chặn nên hội tụ: . Do liên tục trên K, nên: Vậy III.Tính tổng các giá trị hàm số: Bài toán 1: (CaMO) Cho hàm số , tính Lời giải: Ta có Bài toán 2: Cho hàm số và thỏa điều kiện: . Tính Lời giải: Ta có , thay .Ta có: 3S=-1002. Suy ra S=-334. Bài toán 3: Cho hàm số và thỏa điều kiện: . Chứng minh: Lời giải: Cho Do đó: Bài toán 4: Cho hàm số . Chứng minh Lời giải: Xét hàm số . Ta có Suy ra: IV.Hàm tuần hoàn: Bài toán 1: Cho hàm số Chứng minh là hàm số tuần hoàn. Lời giải: Suy ra Vậy hay là hàm số tuần hoàn. Bài toán 2: Cho hàm số thỏa mãn: Chứng minh là hàm số tuần hoàn. Lời giải: Ta có + + (1)(1’) , (1’): (1): Suy ra Vậy là hàm số tuần hoàn. Bài toán 3: Cho hàm số thỏa mãn: Chứng minh là hàm số tuần hoàn. Lời giải: Suy ra Vậy là hàm số tuần hoàn. (Nhận xétù: 6=BCNN(3;2); có thể tổng quát bài toán từ nhận xét trên) Bài toán 4: Cho hàm số thỏa mãn: Chứng minh là hàm số tuần hoàn. Lời giải: Từ (1) và (1’), ta có: Vậy là hàm số tuần hoàn. V.Hàm hằng: Bài toán 1: Cho hàm số Chứng minh là hàm hằng. Lời giải: + + Vậy Bài toán 2: Tìm tất cả các hàm số Lời giải: . Đặt . Suy ra . Ta có Vậy Bài toán 3: Cho hàm số thỏa: Chứng minh là hàm hằng. Lời giải: +, nên là hàm hằng thỏa điều kiện bài toán. Bài toán 4: Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn: Lời giải: Vậy (c tùy ý) là hàm hằng thỏa điều kiện bài toán. Bài toán 5: Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn: Lời giải: Đặt (1): Suy ra Vậy thỏa điều kiện bài toán. Bài toán 6: Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn: Lời giải: (1) + thỏa mãn điều kiện +, khi đó . Đặt Ta có: . Do đó Vậy có hai hàm thỏa mãn điều kiện bài toán là: Bài toán 7: Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn: Lời giải: . Thế vào (1), ta có: là hàm hằng. Vậy . (1): Kết luận tùy ý thỏa điều kiện. Bài toán 8: Cho hàm số không giảm thỏa mãn: Lời giải: Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp +. Xét . Vậy là hàm hằng. + Xét . Vậy là hàm hằng. Kết luận là hàm hằng thỏa điều kiện. Bài toán 9: Cho hàm số thỏa mãn: . Chứng minh là hàm hằng. Lời giải: (1’) là phương trình bậc lẻ (bậc 9) theo nên (1’) có ít nhất 1 nghiệm. (1”) là phương trình bậc lẻ (bậc 3) theo nên (1”) có ít nhất 1 nghiệm. Vậy ta luôn có , mà là hàm hằng. Kết luận là hàm hằng. Bài toán 10: (Dự tuyển IMO) Tìm tất cả các hàm số liên tục thỏa mãn . Lời giải: Đặt . Ta có liên tục và . Suy ra là hàm số chẵn. Ta chứng minh là hàm hằng với . Lấy tùy ý. Xét dãy số . Ta có . Do liên tục nên: . Vậy Kết luận thỏa điều kiện. Bài toán 11: Tìm tất cả các hàm số liên tục thỏa mãn . Lời giải: Nhận xét: hàm số là hàm số chẵn. Lấy bất kỳ. + . Xét dãy số . Ta có . Bằng quy nạp ta chứng minh . bị chặn trên và tăng nên hội tụ. , ta có . Vì hàm số liên tục nên là hằng số. +. Xét dãy số .Dãy giảm và bị chặn dưới nên hội tụ. , ta có . Vì hàm số liên tục nên là hằng số. Hàm số là hàm hằng với , mà hàm số là hàm chẵn nên hàm số là hàm hằng trên R A.7)Một số kỹ thuật giải phương trình hàm. A.7.1/Giải phương trình hàm bằng phép thế Bài toán 1: (Chọn HS Giỏi Tiền Giang Vòng 2-2004-2005) Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa điều kiện . Lời giải: Phân tích: . Vậy thỏa (1) Trình bày: Ta có thỏa (1), nên . Suy ra . Đa thức . Từ (1”) và (1’”), ta có: Vậy thỏa điều kiện bài toán. Bài toán 2: (AusMO) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn . Lời giải: (1): . Với Vậy thỏa điều kiện. Bài toán 3: (BalMO) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn . Lời giải: (1): . Vậy là một đơn ánh.Vế phải của (1) là hàm nhất biến theo nên có tập giá trị là R. Vậy . (1) . Do là đơn ánh nên . Suy ra . (1): . Giả sử có . Vậy thỏa điều kiện. Bài toán 4: (VMO) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn . Lời giải: (1): . Tìm . ta có . (1) . Đặt Vậy thỏa điều kiện. Bài toán 5: (Dự tuyển IMO) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn . Lời giải: (1): . Chọn . Khi đó . Vậy là một toàn ánh, suy ra . . thỏa điều kiện bài toán. Vậy Bài toán 6: (CaMO) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn . Lời giải: (1): . +T/h: , . Thử lại thỏa điều kiện bài toán. +T/h: , , thỏa điều kiện. Vậy có hai hàm thỏa mãn điều kiện là A.7.2/Giải phương trình dựa vào giá trị của đối số, của hàm số Bài toán 1: Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn . Lời giải: (1): . Vậy thuộc tập giá trị, ta có +T/h: . Ta có vế phải là hàm bậc nhất theo có tập giá trị là R, nên vế trái cũng có tập giá trị là R. Vì vậy, . Suy ra : thử lại thấy không thỏa điều kiện. +T/h: : thử lại thấy thỏa điều kiện. Vậy hàm thỏa mãn điều kiện là Bài toán 2: Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn . Lời giải: (1): . (1’) (1): (1): . Ta thấy vế phải có tập giá trị là R nên vế trái cũng có tập giá trị