Chuyên đề Phương trình vô tỷ

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 1 A. TÓM TẮT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 1.Phương pháp đặt ẩn phụ: Ví dụ: Giải phương trình : Giải: Đặt ta có: . với điều kiện Tìm sau đó suy ra (chú ý đối chiếu điều kiện nghiệm đúng) 2.Phương pháp đưa về hệ phương trình: Thường được dùng để giải phương trình vô tỷ có dạng: Ví dụ: Giải phương trình : Đặt: . với điều kiện . Khi đó ta có hệ: Giải hệ tìm suy ra . 3.Phương pháp bất đẳng thức: Ví dụ: Giải phương trình: Giải: Theo BĐT Côsi ta có: Do đó: 4.Phương pháp lượng giác: Ví dụ: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: . Đặt: và biến đổi đơn giản ta có: suy ra và từ đó tìm được 5.Phương pháp nhân liên hợp: Ví dụ: Giải phương trình: Giải: Phương trình tương đương với: B. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ I. Phương pháp lượng giác hoá 1. Nếu thì ta có thể đặt hoặc Ví dụ 1 : Lời giải : ĐK : Đặt Phương trình đã cho trở thành : CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 2 )( ) = 0 Kết hợp với điều kiện của t suy ra : . Vậy phương trình có 1 nghiệm : Ví dụ 2 : Lời giải : ĐK : Khi đó VP > 0 . Nếu Nếu . Đặt , với ta có : ) ( ) = 0 Vậy nghiệm của phương trình là Ví dụ 3 : Lời giải : ĐK : Đặt . Phương trình đã cho trở thành : Vậy phương trình có nghiệm duy nhất Ví dụ 4 (TC THTT): HD : Nếu : phương trình không xác định . Chú ý với ta có : vậy để giải phương trình (1) ta chỉ cần xét với . Đặt khi đó phương trình đã cho trở thành : 2. Nếu thì ta có thể đặt : Ví dụ 5 : Lời giải : ĐK : Đặt Phương trình đã cho trở thành : kết hợp với điều kiện của t suy ra CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 3 Vậy phương trình có 1 nghiệm : TQ : Ví dụ 6 : Lời giải : ĐK : Đặt . Phương trình đã cho trở thành : (thỏa mãn) TQ : với a,b là các hằng số cho trước 3. Đặt để đưa về phương trình lượng giác đơn giản hơn : Ví dụ 7 : (1) Lời giải : Do không là nghiệm của phương trình nên : (1) (2) Đặt . Khi đó (2) trở thành : Suy ra (1) có 3 nghiệm : Ví dụ 8 : Lời giải : ĐK : Đặt . Phương trình đã cho trở thành : Kết hợp với điều kiện suy ra : . Vậy phương trình có 1 nghiệm : 4. Mặc định điều kiện : . sau khi tìm được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phương trình và kết luận : Ví dụ 9 : Lời giải : phương trình đã cho tương đương với : (1). Đặt : (1) trở thành : . Suy ra (1) có tập nghiệm : Vậy nghiệm của phương trình đã cho có tập nghiệm chính là S II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 4 * Nội dung phương pháp : Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trình đã cho : Đưa phương trình về dạng sau : khi đó : Đặt . Phương trình viết thành : Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương trình sau khi đã đơn giản hóa và kết luận : Ví dụ 10 : (1) lời giải : ĐK : Đặt Lúc đó :(1) . Phương trình trở thành : Giải phương trình trên với ẩn t , ta tìm được : Do nên không thỏa điều kiện . Với thì : ( thỏa mãn điều kiên Ví dụ 11 : Lời giải : ĐK : Đặt . Phương trình đã cho trở thành : * Với , ta có : (vô nghiệm v“ : ) * Với , ta có : Do không là nghiệm của phương trình nên : Bình phương hai vế và rút gọn ta được : (thỏa mãn) TQ : * DẠNG: lúc đó chúng ta đặt và đưa về hệ đối xứng loại hai Ví dụ 12 : Lời giải : Đặt . Phương trình đã cho viết thành : Từ đó ta tìm được hoặc . Giải ra được : . * Nhận xét : Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 5 ví dụ trên . Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ thì không dễ để giải quyết trọn vẹn nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn . ví dụ 13 : Lời giải : ĐK : Đặt . Phương trình đã cho trở thành : Giải ra : hoặc (loại) * ta có : Vậy là các nghiệm của phương trình đã cho . ví dụ 14 : Lời giải : ĐK : Đặt . Phương trình đã cho trở thành : Phương trình trên đã khá đơn giản ! III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích 1. Dùng một ẩn phụ Ví dụ 15 : (1) Lời giải : ĐK : . Đặt ., phương trình (1) trở thành : (2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I : Đặt để đưa về dạng : TQ : . Với a là hắng số cho trước . Ví dụ 16 : (1) Lời giải : ĐK : Viết lại (1) dưới dạng : (2) Đặt . Khi đó (2) trở thành : Do vậy hoặc * . Ta có : * . Ta có : Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : Ví dụ 17 : Lời giải : ĐK : (1) Đặt (2) ., phương trình đã cho trở thành : (3) CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 6 Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra : Ví dụ 18 : Lời giải : ĐK : (1) Đặt . Khi đó : . phương trình đã cho trở thành : . Với : nên : t2 + t - 1003 < 0 Do đó phương trình tương đương với : . Do vậy (thỏa (1)) 2. Dùng 2 ẩn phụ . Ví dụ 19 : Lời giải : Đặt * * Ví dụ 20 : (1) Lời giải : ĐK : hoặc (*) Đặt ta có : (1) trở thành : (Do ) Tìm x ta giải : (Thỏa (*)) Vậy (1) có 2 nghiệm : Ví dụ 21 : Lời giải : ĐK : Chuyển vế rồi bình phương hai vế phương trình mới : (2) Đặt và Thì : (2) * ta có : * ta có : Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn : 3. Dùng 3 ẩn phụ . Ví dụ 22 : Lời giải : Đặt ta có : CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 7 (1) Mặt khác : (2) Từ (1) và (2) ta có : Nên :  từ đó dễ dàng tìm ra 4 nghiệm của phương trình : Ví dụ 23 : (1) Lời giải : Đặt Suy ra : , khi đó từ (1) ta có :  Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương trình : IV. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ 1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút gọn theo vế . a. Dùng một ẩn phụ . Ví dụ 24 : Lời giải :ĐK : Đặt . Ta có : TQ : b. Dùng 2 ẩn phụ . * ND : * Cách giải : Đặt : ; . Như vậy ta có hệ : Ví dụ 25 : (1) Lời giải : ĐK : Đặt Khi đó : (1)  CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 8 (Do hệ : : vô nghiệm ) hoặc Đến đây chỉ việc thay vào để tìm nghiệm của phương trình ban đầu . Ví dụ 26 : Lời giải : ĐK : Đặt : Với : (*). Như vậy ta được hệ : Giải (1) : (1) ( ) Vậy thỏa (*) chính là 2 nghiệm của phương trình đã cho . Ví dụ 27 : Lời giải : Đặt : ; (2) (1) 2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng Dạng 1 : CG : Đặt ta có hệ : Ví dụ 28 : Lời giải : Đặt : ta có : ,    (1)  CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 9 (2) : Vô nghiệm . Vậy tập nghiệm của phương tr“nh là : Dạng 2 : CG : Đặt PT : Trở thành: Ví dụ 29 : Lời giải : ĐK : Đặt : (1) PT . Lấy (3) trừ (2) ta được : ; (1) ; (Do ) Dạng 3 : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược : Ví dụ 30 : Lời giải : ĐK : Đặt . Chọn a, b để hệ : ( ) (*) là hệ đối xứng . Lấy ta được hệ :  Giải hệ trên ta được : Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta được nghiệm duy nhất của phương trình là : Dạng 4 : Nội dung phương pháp : Cho phương trình : .Với các hệ số thỏa mãn : Cách giải : Đặt Ví dụ 31 : Lời giải : ĐK : PT Đặt :   (1) Mặt khác : (2) CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 10 Từ (1) và (2) ta có hệ : . Đây là hệ đỗi xứng loại II đã biết cách giải . Ví dụ 32 : Lời giải : PT - Kiểm tra : Đặt : (1). Mặt khác : (2) Từ (1) và (2) ta có hệ : Ví dụ 33 : Lời giải : PT - Kiểm tra : Đặt : ; (1) Mặt khác : (2) Từ (1) và (2) ta có hệ : Giải hệ trên đã thật đơn giản ! BỔ SUNG Ví dụ Đặt ẩn phụ - dạng 1 VD1: GPT: Đặt , ta có: , do đó điều kiện cho ẩn phụlà Khi đó phương trình có dạng : Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2 VD2:GPT: + + =0 (1) Nx: không là nghiệm của pt, chia cả 2 vế cho được CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 11 (2). Đặt } , khi đó (2) hoặc t=-1/2 Bây giờ xét 2 trường hợp: TH1: Nếu n chẵn Khi đó ĐK của pt phải không âm,do đó 2 nghiệm trên bị loại. Vậy pt vô nghiệm. TH2: Nếu n lẻ Với ( vô nghiệm) Với . Vậy... Bài tập tương tự: Giải các pt sau: b>Giải và biện luận pt : Ví dụ Đặt ẩn phụ - dạng 2: Giải: Đk: , đặt : Khi đó pt được chuyển thành hệ: giải ra được hay Bài tập tương tự: Giải các pt sau: b> Giải và biện luận : *ví dụ: - Sử dụng BĐT,ví dụ: Vậy Đk cho ẩn phụ là : -Sử dụng đạo hàm Ví dụ GPT: Đặt , ta có: do đó điều kiện cho ẩn phụ là Khi đó phương trình có dạng : Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2 Bài tập tương tự: Giải các pt sau: CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 12 b>Giải và biện luận pt : C. SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Dạng 1: Phương trình Dạng 2: phương trình: ( g(x,m) phải có nghĩa) Dạng 3: Phương trình: (f(x,m) và g(x,m) phải có nghĩa) Ví dụ minh hoạ : VD: tìm m để pt sau có nghiệm: LG: Phương trình đã cho được biến đổi tương đương đưa về dạng: Do đó điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là: