Chuyên đề Tích phân và ứng dụng của tích phân

Mục lục Stt Nội dung Trang 1 Mở đầu 02 2 Nội dung 04 3 Kết luận 18 4 Phụ lục 19 Phần 1: MỞ ĐẦU 1/ Lý do chọn đề tài: Tích phân là một bài toán khó đối với đa số học sinh THPT. Trong quá trình giảng dạy ở trường THPT tôi nhận thấy đa số học sinh khi tính các bài tích phân cơ bản đều gặp khó khăn vì phần lớn các em chưa nhận dạng được tích phân. Chính vì vậy khi áp dụng phương pháp tính không đúng điều này đã khiến các em lúng túng và không tự tin vào tư duy của mình. Và tôi chọn đề tài Tích phân và ứng dụng của tích phân. 2/ Mục đích: Trong bài viết này tôi không có mục đích là giải tích phân hay nêu các tình huống khó các em học sinh gặp phải mà tôi đưa ra các bài toán thật cơ bản, thật dễ với từng dạng và phương pháp kèm theo, nhằm mục đích giúp các em nhận dạng các bài toán khi quan sát ban đầu và áp dụng đúng phương pháp của nó. 3/ Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Nhằm chủ yếu khắc phục về cách nhận dạng và phân biệt các bài toán tích phân cho các em học sinh khối 12 thuộc đối tượng trung bình khá nên trong bài viết trình bày các bài toán khá dễ và chia thật nhỏ dạng. Khi ứng dụng tích phân vào tính diện tích hay thể tích các hình và khối tròn xoay, chú ý là không phải khi nào bài toán cũng cho phép ta vẽ hình dễ dàng mà phần lớn phải dựa vào công thức và tính chất của tích phân. Điều này đã phản ánh sự vượt trội của tích phân so với hình học thuần túy, nó không còn tính chất công thức của các hình cố định có tính chất khuôn mẫu mà nó có thể tính với một hình bất kỳ, chỉ phụ thuộc vào hàm số đã cho mà thôi. Trong quá tình trình bày không tránh khỏi thiếu sót mong các quý thầy cô, đồng nghiệp góp ý cho tôi để bài viết hoàn chỉnh hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Người viết NGUYỄN DUY TIN Phần 2: NỘI DUNG TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG A. Kiến thức cơ bản: I. Baûng tính nguyeân haøm cô baûn: Baûng 1 Baûng 2 Haøm soá f(x) Hoï nguyên haøm F(x)+C Haøm soá f(x) Hoï nguyeân haøm F(x)+C a ( haèng soá) ax + C sinx -cosx + C sin(ax+b) cosx Sinx + C cos(ax+b) tgx + C -cotgx + C tgx cotgx Phöông phaùp 1: Phaân tích tích phaân ñaõ cho thaønh nhöõng tích phaân ñôn giaûn coù coâng thöùc trong baûng nguyeân haøm cô baûn Caùch phaân tích : Duøng bieán ñoåi ñaïi soá nhö muõ, luõy thöøa, caùc haèng ñaúng thöùc ... vaø bieán ñoåi löôïng giaùc baèng caùc coâng thöùc löôïng giaùc cô baûn. Ví duï : Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 1. 2. 3. 4. 5. Phöông phaùp 2: Söû duïng caùch vieát vi phaân hoùa trong tích phaân Ví duï: Tính caùc tích phaân bất định sau: 1. 2. 3. 4. 5. II. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG CAÙCH SÖÛ DUÏNG ÑN VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT TÍCH PHAÂN 1. Ñònh nghóa: Cho haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân . Giaû söû F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) thì: ( Coâng thöùc NewTon - Leiptnitz) 2. Caùc tính chaát cuûa tích phaân: Tính chaát 1: Neáu haøm soá y=f(x) xaùc ñònh taïi a thì : Tính chaát 2: Tính chaát 3: Neáu f(x) = c khoâng ñoåi treân thì: Tính chaát 4: Neáu f(x) lieân tuïc treân vaø thì Tính chaát 5: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân vaø thì Tính chaát 6: Neáu f(x) lieân tuïc treân vaø thì Tính chaát 7: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân thì Tính chaát 8: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân vaø k laø moät haèng soá thì Tính chaát 9: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân vaø c laø moät haèng soá thì Tính chaát 10: Tích phaân cuûa haøm soá treân cho tröôùc khoâng phuï thuoäc vaøo bieán soá , nghóa laø : Baøi 1: Tính caùc tích phaân sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12). 13) 14) 15) 16) 17) 18) Baøi 2: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Baøi 3: 1) Tìm caùc haèng soá A,B ñeå haøm soá thoûa maõn ñoàng thôøi caùc ñieàu kieän vaø 2) Tìm caùc giaù trò cuûa haèng soá a ñeå coù ñaúng thöùc : III. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ : 1/. DAÏNG 1:Tính I = baèng caùch ñaët t = u(x) Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 1: Caùch thöïc hieän: Böôùc 1: Ñaët Böôùc 2: Ñoåi caän : Böôùc 3: Chuyeån tích phaân ñaõ cho sang tích phaân theo bieán t ta ñöôïc (tieáp tuïc tính tích phaân môùi) Tính caùc tích phaân sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 2/. DAÏNG 2: Tính I = baèng caùch ñaët x = Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 2: Caùch thöïc hieän: Böôùc 1: Ñaët Böôùc 2: Ñoåi caän : Böôùc 3: Chuyeån tích phaân ñaõ cho sang tích phaân theo bieán t ta ñöôïc (tieáp tuïc tính tích phaân môùi) Tính caùc tích phaân sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) IV. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP VI PHAÂN: Tính caùc tích phaân sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) V. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN: Coâng thöùc tích phaân töøng phaàn: Hay: Caùch thöïc hieän: Böôùc 1: Ñaët Böôùc 2: Thay vaøo coâng thöùc tích phaân töøng töøng phaàn : Böôùc 3: Tính vaø Tính caùc tích phaân sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) B. MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN TÍCH PHAÂN QUAN TROÏNG VAØ ÖÙNG DUÏNG Baøi 1: 1) CMR neáu f(x) leû vaø lieân tuïc treân [-a;a] (a>0) thì : 2) CMR neáu f(x) chaün vaø lieân tuïc treân [-a;a] (a>0) thì : Baøi 2: 1) CMR neáu f(t) laø moät haøm soá lieân tuïc treân ñoïan [0,1] thì: a) b) AÙP DUÏNG: Tính caùc tích phaân sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Baøi 3:CMR neáu f(x) lieân tuïc vaø chaün treân R thì ; AÙP DUÏNG : Tính caùc tích phaân sau: 1) 2) 3) VI .ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN TÍNH DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG: Coâng thöùc: Tính dieän tích cuûa caùc hình phaúng sau: 1) (H1): 2) (H2) : 3) (H3): 4) (H4): 5) (H5): 6) (H6): 7) (H7): 8) (H8) : 9) (H9): 10) (H10): 11) 12) VII. ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN TÍNH THEÅ TÍCH VAÄT THEÅ TROØN XOAY. Coâng thöùc: Baøi 1: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0 Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Ox Baøi 2: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng : Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Oy Baøi 3: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : vaø y = 4 Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh: a) Truïc Ox b) Truïc Oy Baøi 4: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : . Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Ox Baøi 5: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng : Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Ox Phần 3: KẾT LUẬN Qua quá trình thử nghiệm và vận dụng bài viết này tôi nhận thấy phần lớn các em học sinh ở trình độ trung bình, khá đều mắc phải các sai lầm nhận dạng. Cần luyện tập nhiều các dạng tích phân cơ bản. PHỤ LỤC 1/ 356 Bài toán tích phân – NXB Quốc gia. 2/ ------------------------------Heát-------------------------------