Chuyên đề tiếp tuyến với đường cong (C) : y = f(x)

CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN GV: THẠCH NHUNG . CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG (C) : y = f(x) . Tiếp tuyến là một chuyên đề quan trọng trong toán học . Đặc biệt các bài toán về tiếp tuyến thường “có mặt” trong các kỳ thi tốt nghiệp, thi tuyển sinh vào các trường đại học ,cao đẳng và trung học chuyên nghiệp , Đa số học sinh rất dễ mắc sai lầm hoặc thiếu sót khi giải bài toán về tiếp tuyến . Do đó tôi soạn chuyên đề này nhằm giúp học sinh hệ thống được kiến thức cơ bản để chuẩn bị tốt khi bước vào các kỳ thi. I . NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ : CHO ĐƯỜNG CONG (C) : y = f(x) . HÃY VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG (C) . 1. Bài toán 1( bao gồm các bài toán :). Viết phương trình tiếp với đường cong (C) :y= f(x) tại điểm M0(x0 ,y0) (C), hoặc biết hoành độ tiếp điểm , hoặc biết tung độ tiếp điểm , hoặc biết hệ số góc của tiếp tuyến , hoặc biết tiếp tuyến song song hay vuông góc với một đường thẳng nào đó . Phương pháp : Ÿ Phương trình tiếp tuyến có dạng : y – y0 = y/(x0)( x – x0) . Ÿ Ta tìm x0 , y0 , y/(x0) rồi thế vào phương trình trên . ÄChú ý : Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) thì hệ số góc của tiếp tuyến bằng hệ số góc của đường thẳng (d) . Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) thì hệ số góc của tiếp tuyến nhân hệ số góc của đường thẳng (d) bằng : -1 . Ví dụ 1 : Cho đường cong (C) : y = x3 – x . Viết phương trình tiếp với đường cong (C) tại điểm có hoành độ x0 = 2 . Viết phương trình tiếp với đường cong (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành . Giải: . Miền xác định : D = R . . y/ = 3x2 – 1 Phương trình tiếp tuyến có dạng : y – y0 = y/(x0)( x – x0) Ta có x0 = 2 y0= 6 và y/(x0) = y/(2) = 11 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y – 6 = 11 ( x – 2 ) hay: y = 11x – 16 . Phương trình hoành độ giao điểm của(C) với trục hoành : x3 – x = 0 Do đó (C) cắt trục hoành tại ba điểm A( 0 ,0 ) , B( 1 , 0 ) , C( -1 , 0 ) . . Phương trình tiếp tuyến có dạng : y – y0 = y/(x0)( x – x0) Tại điểm A( 0 ,0) có y/(x0) = y/(0) = -1. Nên phương trình tiếp với (C) tại A( 0 ,0 ) là : y – 0 = -1 ( x – 0 ) hay : y = -x . 1 Tương tự : Phương trình tiếp với (C) tại B( 1 ,0 ) là : y = 2x -2 . Phương trình tiếp với (C) tại C( -1 ,0 ) là : y = 2x +2 . Ví dụ 2: Cho hàm số y = , gọi đồ thị là (C) . Viết phương trình tiếp với (C) trong các trường hợp sau : Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = -x + 3. Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = 4x + 10 . Giải : Miền xác định : D = R\ . y/ = - Phương trình tiếp tuyến có dạng : y – y0 = y/(x0)( x – x0) Vì tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng y = -x + 3 nên ta có y/(x0) = -1 (1) Mà y/(x) = - y/(x0) = - (2) Từ (1) và (2) -= -1 Với x0= 0 y0 = 2 . Ta có phương trình tiếp tuyến : y -2 = -1( x -0) hay : y = -x + 2 . Với x0= 2 y0 = 4 . Ta có phương trình tiếp tuyến : y -4 = -1( x -2) hay : y = -x + 6. Vì tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng y= 4x + 10 nên ta có : 4y/(x0) = -1 y/(x0) = - (*) Mà : y/(x0) = - (*/) Từ (*) và (*/)-= - Với x0= -1 y0 = . Ta có phương trình tiếp tuyến : y - = -( x + 1) hay : y = -x + Với x0= 3 y0 = . Ta có phương trình tiếp tuyến : y - = -( x - 3) hay : y = -x + . ¯Nhận xét : Phương trình : y/(x0) = k ( k là hệ số góc của đường thẳng ) có bao nhiêu nghiệm thì có bấy nhiêu phương trình tiếp tuyến . 2 2. Bài toán 2 ( bao gồm các bài toán : ) Viết phương trình tiếp với đường cong (C) biết tiếp tuyến đi qua (kẻ từ ,xuất phát từ,) điểm A(xA , yA ) , ( A (C) hoặc A (C) ) . Phương pháp giải : Ÿ Gọi d là đường thẳng đi qua A(xA , yA ) có hệ số góc k : y - yA = k(x – xA ) y = k(x – xA ) + yA (*) Ÿ d tiếp xúc (C) hệ sau có nghiệm Giải hệ trên ta tìm được x, có x thế vào (2) tìm được k . Có k thế vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến d cần tìm . ÄChú ý : Điểm A(xA , yA ) có thể thuộc (C) hoặc không thuộc (C) đều phải giải theo bài toán 2 . Nhiều học sinh lầm tưởng bài toán 2 là bài toán 1 nên giải theo dạng của bài toán 1 , như vậy dẫn đến kết quả không đầy đủ . Cần phân biệt : Bài toán 1 yêu cầu viết phương trình tiếp tại điểm M0 (C) nghĩa là M0 là tiếp điểm. Còn bài toán 2 yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(xA , yA ) không cần phải biết A có là tiếp điểm hay không . Bài toán sau minh chứng cho đều nói trên . Ví dụ 3: Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) : y = -x3 – 3x2 + 4 , biết tiếp tuyến qua P(1,0). Giải : . Miền xác định : D = R . . y/ = -3x2 – 6x . Gọi d là đường thẳng đi qua P(1 , 0 ) có hệ số góc k Khi đó d có phương trình : y – 0 = k ( x – 1 ) y = k ( x – 1 ) d tiếp xúc (C) hệ sau có nghiệm Thế (2) vào (1) ta được : 2x3- 6x +4 = 0 Với x = 1 k = -9 . Ta có phương trình tiếp tuyến : y = -9x + 9 . Với x = -2 k = 0 . Ta có phương trình tiếp tuyến : y = 0 . II . MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN : 1 Bài 1 : Cho hàm số (C) : y = x3 – 3x2 + 2 . a. Qua điểm A(1,0) có thể kẻ được mấy tiếp tuyến đến đồ thị (C) . Hãy lập phương trình các tiếp tuyến ấy . b. CMR không có tiếp tuyến nào khác của đồ thị song song với tiếp tuyến đi qua A(1,0) của đồ thị . Giải : . Miền xác định : D = R . a. Đường thẳng (d) qua A(1,0) có hệ số góc k có phương trình : y = k(x – 1) . (d) tiếp xúc (C) hệ sau có nghiệm Thế (2) vào (1) ta được : x3- 3x2 +2 = (3x2 – 6x)(x – 1) 3 2x3 - 6x2 + 6x – 2 = 0 x = 1 , thế vào (2) ta được k = -3 . Vậy qua A tồn tại duy nhất một tiếp tuyến (d) tới đồ thị (C) . Phương trình tiếp tuyến của (d) là : y = -3x + 3 . Giả sử trái lại , tồn tại điểm BA có hoành độ x0 (C) sao cho tiếp tiếp tuyến tại B song song với (d) . Khi đó x0 là nghiệm khác 1 của phương trình : y/(x0) = -3 3- 6x0 = -3 x0 = 1 (loại) Vậy không có tiếp tuyến nào khác của đồ thị song song với tiếp tuyến đi qua A của đồ thị. 2 Bài 2 : Cho đường cong (C) : y = -x3 + 3x2 +2x + 3 . Tìm trên (C) những điểm mà tại đó tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất . Giải : Gọi M0(x0 ; y0) là tiếp điểm . Miền xác định : D = R . . y/ = 3x2 + 6x + 2 . Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là : y/(x0) = 3+ 6x0 + 2 Đặt : g(x0) = 3+ 6x0 + 2 g/(x0) = 6x0 +6 cho g/(x0) = 0 6x0 + 6 = 0 x0 = -1 y0 = 3 Bảng biến thiên Vậy hệ số góc tiếp tuyến nhỏ nhất là: 3 khi x0 = -1 . Kết luận : M0( -1; 3) là điểm mà tại đó tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất . III. MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO . 1. Cho hàm số y = (1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của (1) trong các trường hợp sau : Tung độ của tiếp điểm bằng . Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = -x + 3 . Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 4x – y + 10 = 0 . Tiếp tuyến đó đi qua điểm (2 ; 0) . 2. Cho hàm số : y = x3 – 1 – k( x – 1) , có đồ thị là (C) . a) Tìm k để đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với trục hoành. b) Viết phương trình tiếp tuyến (D) với đường cong (C) tại giao điểm của (C) vói trục tung . c) Tìm k để tiếp tuyến (D) chắn trên các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8 . 4. Cho hàm số y = . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 4 b) Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) kẻ từ điểm A(-2 ;0) . Kiểm nghiệm rằng hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau . c) Tính diện tích tam giác chắn bởi hai tiếp tuyến trên . 4. Cho hàm số y = x3 – 4x2 +4x . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Tiếp tuyến của (C) tại gốc toạ độ cắt (C) ở điểm A . Tính toạ độ của A . c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng OA . Dù rất cố gắng trong quá trình viết nhưng chắc chắn chuyên đề vẫn còn nhiều thiếu xót mà bản thân tôi chưa thấy . Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến nhiệt tình của các đồng nghiệp để chuyên đề được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn . Người viết THẠCH NHUNG. 5