Chuyên đề Tứ giác nội tiếp

Đặng Ngọc Dương – THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Gmail: diepngoc0307@gmail.com 1 Chuyên đề: tứ giác nội tiếp I) Các kiến thức cần nhớ 1) Khái niệm: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (Gọi tắt là tứ giác nột tiếp) 2) Định lí - Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 -Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn. 3) Dấu hiệu nhận biết (các cách chứng minh) tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng số do hai góc đối diện bằng 1800. - Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. - Tứ giác có bón đỉnh cách đều một điểm(mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác. - Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc . II) Bài tập Bài tập 1 Cho ABC vuông ở A. Trên AC lấy diểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt Đường tròn tại S. Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD nội tiếp. b)  ABD ACD c) CA là phân giác của SCB Bài tập 2 O A B C D Đặng Ngọc Dương – THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Gmail: diepngoc0307@gmail.com 2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AD. Chứng minh: a) Tứ giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp . b) CA là phân giác của BCF. c) Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp Bài tập 3 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD . Hai đường chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N . Chứng minh : a) CEFD là tứ giác nội tiếp . b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM . c) BE . DN = EN . BD Bài tập 4 Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E . Các đường thẳng CD , AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD . b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được trong một đường tròn . c) AC song song với FG . d) Các đường thẳng AC , DE và BF đồng quy . Bài tập 5 Cho tam giác vuông ABC ( 090A  ; AB > AC) và một điểm M nằm trên đoạn AC (M không trùng với A và C). Gọi N và D lần lượt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đương tròn đường kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đường tròn đường kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh: a. Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đường tròn. b. CM là phân giác của góc BCS . Đặng Ngọc Dương – THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Gmail: diepngoc0307@gmail.com 3 c. TA TC TD TB  . Bài tập 6 Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm) và một cát tuyến bất kì cắt đường tròn tại P, Q. Gọi L là trung điểm của PQ. a/ Chứng minh 5 điểm: O; L; M; A; N cùng thuộc một đường tròn. b/ Chứng minh LA là phân giác của MLN c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA. Chứng minh MA2 = AI.AL d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O). Chứng minh rằng KN // AQ. e/ Chứng minh  KLN cân. Bài tập 7 Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH <R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H) 1. Chứng minh góc ABE bằng góc EAH và tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH. 2. Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp. 3. Xác định vị trí điểm H để AB= R . Bài tập 8 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P. Chứng minh rằng: 1. Các tứ giác AEHF, BFHD nội tiếp . 2. Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. Đặng Ngọc Dương – THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Gmail: diepngoc0307@gmail.com 4 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Bài tập 9 Cho ABC không cân, đường cao AH, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đường kính AD của đường tròn (O) và M, N thứ tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh: a) Bốn điểm A,B, H, E cùng nằm trên đường tròn tâm N và HE// CD. b) M là tâm đường tròn ngoại tiếp HEF. Bài tập 10 Cho đường tròn tâm O và điểm A ở bên ngoài đường tròn. Vẽ ccs tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với đường tròn ( B và C là các tiếp điểm). Gọi Hlà trung điểm của DE. a) CMR: A,B, H, O, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn này. b) Chứng minh: HA là tia phân giác BHC . c) Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh: AB2 = AI.AH d) BH cắt (O) tại K. Chứng minh: AE // CK. Bài tập 11 Từ một điểm S ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD của đường tròn đó. a) Gọi E là trung điểm của dây CD. Chứng minh 5 điểm S, A, E, O, B cùng thuộc một đường tròn b) Nếu SA = AO thì SAOB là hình gì? tại sao? c) Chứmg minh rằng: . . . 2 AB CD AC BD BC DA  Bài tập 12 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D Đặng Ngọc Dương – THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Gmail: diepngoc0307@gmail.com 5 thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E). 1. Chứng minh AC. AE không đổi. 2. Chứng minh  ABD =  DFB. 3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp. Bài tập 13 Trên đường thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với dt. Trên tia Ax lấy I. Tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P. 1) Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp được đường tròn . 2) Chứng minh AI.BK = AC.CB 3) Giả sử A, B, I cố định hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất. Bài tập 14 Cho ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH, vẽ đường tròn đường kính AH, đường tròn này cắt AB tại E, cắt AC tại F. a) Chứng minh AEHF là hình chữ nhật. b) Chứng minh:BEFC là tứ giác nội tiếp . c) Chứng minh: AB.AE = AC.AF d) Gọi M là là giao điểm của CE và BF. Hãy so sánh diện tích của tứ giác AEMF và diện tích của tam giác BMC. Bài tập 15 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn. 3. Chứng minh ED = 2 1 BC. Đặng Ngọc Dương – THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Gmail: diepngoc0307@gmail.com 6 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 cm, AH = 6 cm. Bài tập 16 Từ điểm M ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB. Trên cung nhỏ AB lấy 1 điểm C. Vẽ CD AB; CE MA; CF MB. Gọi I là giao điểm của AC và DE; K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AECD; BFCD nội tiếp được. b) CD2 = CE.CF c) IK CD Bài tập 17 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm di động trên cung nhỏ BC. Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC. a) Chứng minh DMC đều. b) Chứng minh MB + MC = MA. c) Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp được. d) Khi M Di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đường cố định nào ? Bài tập 18 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC  MB, BD  MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. 1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp. 2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn . 3. Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Chứng minh OAHB là hình thoi. 5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. 6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d. Đặng Ngọc Dương – THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Gmail: diepngoc0307@gmail.com 7 Bài tập 19 Cho 3 điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự. Vẽ đường tròn (O) bất kỳ đi qua B và C (BC không là đường kính của (O)). Kẻ từ các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E; F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC; K là trung điểm của EF, giao điểm của FI với (O) là D. Chứng minh: 1. AE2 = AB.AC 2. Tứ giác AEOF nội tiếp 3. Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đường tròn. 4. ED song song với Ac. 5. Khi (O) thay đổi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đường thẳng cố định. Bài tập 20 Cho ABC có các góc đều nhọn và  045A . Vẽ đường cao BD và CE của ABC. Gọi H là gia điểm của BD và CE. a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp. b) Tính tỉ số DE BC c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC. Chứng minh OA  DE Bài tập 21 Cho tam giác nhọn PBC. Gọi A là chân đường cao kẻ từ P xuống cạnh BC. Đường tròn đường kính BC cắt PB, PC lần lượt ở M và N. Nối N với A cắt đường tròn đường kính BC ở điểm thứ hai E a/ Chứng minh rằng: 4 điểm A, B, N, P cùng nằm trên một đường tròn. Hãy xác định tâm và bán kính đường tròn ấy. b/ Chứng minh: EM vuông góc với BC c/ Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh rằng AM.AF = AN.AE Đặng Ngọc Dương – THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Gmail: diepngoc0307@gmail.com 8 Bài tập 22 Cho tam giác vuông ABC ( 090A  ); trên đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với các điểm A và C). Đường tròn đường kính DC cắt BC tại các điểm thứ hai E; đường thẳng BD cắt đường tròn đường kính DC tại điểm F (F không trùng với D). Chứng minh: a. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC. b. Tứ giác ABCF nội tiếp đường tròn. c. AC là tia phân giác của góc EAF. Bài tập 23 Cho hình thang cân ABCD (AB>CD; AB//CD) nội tiếp trong đường tròn (O). Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD a/ Chứng minh: Tứ giác AEDI nội tiếp b/ Chứng minh AB//EI c/ Đường thẳng EI cắt cạnh bên AD và BC của hình thang tương ứng ở R và S. Chứng minh: * I là trung điểm của RS * RSCDAB 211  Bài tập 24 Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AOB và COD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kì trên OA, nối CE cắt đường tròn tại F. Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đ]ờng tròn, qua E dựng Ey vuông góc với OA. Gọi I là giao điểm của Fx và Ey a/ Chứng minh I; E; O; F cùng nằm trên một đường tròn. b/ Tứ giác CEIO là hình gì? vì sao? c/ Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đường nào? Bài tập 25 Cho nửa đường tròn đường kính BC bán kính R và điểm A trên nửa đường tròn (A Đặng Ngọc Dương – THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Gmail: diepngoc0307@gmail.com 9 khác B và C). Từ A hạ AH vuông góc với BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. a. Tứ giác AFHE là hình gì? Tại sao? b. Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp. c. Hãy xác định vị trí của điểm A sao cho tứ giác AFHE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R. Bài tập 26 Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi đi qua hai điểm M, N. Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PT’ với đường tròn (O) a) Chứng minh: PT2 = PM.PN. Từ đó suy ra khi (O) thay đổi vẫn qua M, N thì T, T’ thuộc một đường tròn cố định. b) Gọi giao điểm của TT’ với PO, PM là I và J. K là trung điểm của MN. Chứng minh: Các tứ giác OKTP, OKIJ nội tiếp. c) Chứng minh rằng: Khi đường tròn (O) thay đổi vẫn đi qua M, N thì TT’ luôn đi qua điểm cố định. d) Cho MN = NP = a. Tìm vị trí của tâm O để góc TPT’ = 600. Bài tập 27 Cho ABC vuông ở A. Trên AC lấy điểm M (M≠A và C). Vẽ đường tròn đường kính MC. Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đường tròn. Nối BM kéo dài cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai S. Chứng minh: a) Tứ giác ABTM nội tiếp b) Khi M chuyển động trên AC thì ADM có số đo không đổi. c) AB//ST. Bài tập 28 Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A, B. Đường vuông góc với AB Đặng Ngọc Dương – THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Gmail: diepngoc0307@gmail.com 10 kẻ qua B cắt (O) và (O') lần lượt tại các điểm C, D. Lấy M trên cung nhỏ BC của đường tròn (O). Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng MB với đường tròn (O') là N và giao điểm của hai đường thẳng CM, DN là P. a. Tam giác AMN là tam giác gì, tại sao? b. Chứng minh ACPD nội tiếp được đường tròn. c. Gọi giao điểm thứ hai của AP với đường tròn (O') là Q, chứng minh rằng BQ // CP. Bài tập 29 Cho ABC vuông tại A (AB < AC). H bất kỳ nằm giữa A và C. Đường tròn (O) đường kính HC cắt BC tại I. BH cắt (O) tại D. a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp. b) AB cắt CD tại M. Chứng minh 3 điểm H; I; M thẳng hàng c) AD cắt (O) tại K. Chứng minh CA là tia phân giác của KCB Bài tập 30 Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối Ac cắt MN tại E. 1. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp . 2. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM. 3. Chứng minh AM2 = AE.AC. 4. Chứng minh AE. AC – AI.IB = AI2 . 5. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. Bài tập 31 Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB, dây AC. Gọi E là điểm chính giữa cung AC bán kính OE cắt AC tại H, vẽ CK song song với BE cắt AE tại K. a) Chứng minh tứ giác CHEK nội tiếp. Đặng Ngọc Dương – THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Gmail: diepngoc0307@gmail.com 11 b) Chứng minh KHAB c) Cho BC = R. Tính PK. Bài tập 32 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK. 1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn. 2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). 3. Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Bài tập 33 Cho điểm A bên ngoài đường tròn (O ; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE. a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh HA là tia phân giác của BHC . c) DE cắt BC tại I. Chứng minh : 2AB AI.AH . d) Cho AB=R 3 và R OH= 2 . Tính HI theo R. Bài tập 34 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kể tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. a) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB. c) Chứng minh BAF là tam giác cân. d) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi. e) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn. Đặng Ngọc Dương – THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Gmail: diepngoc0307@gmail.com 12 Bài tập 35 Cho hai đường tròn (O1), (O2) có bán kính bằng nhau và cắt nhau ở A và B. Vẽ cát tuyến qua B không vuông góc với AB, nó cắt hai đường tròn ở E và F. (E  (O1); F  (O2)). 1. Chứng minh AE = AF. 2. Vẽ cát tuyến CBD vuông góc với AB ( C (O1); D  (O2)). Gọi P là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng: a. Các tứ giác AEPF và ACPD nội tiếp được đường tròn. b. Gọi I là trung điểm của EF chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng. 3. Khi EF quay quanh B thì I và P di chuyển trên đường nào? Bài tập 36 Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC, CD lần lượt lấy điểm E, F sao cho  045EAF  . Biết BD cắt AE, AF theo thứ tự tại G, H. Chứng minh: a) ADFG, GHFE là các tứ giác nội tiếp b) CGH và tứ giác GHFE có diện tích bằng nhau Bài tập 37 Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA; trên tia đói của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M; MD cắt AB tại K; MB cắt AC tại H. a. Chứng minh: BMD = BAC , từ đó suy ra tứ giác AMHK nội tiếp. b. Chứng minh: HK // CD. c. Chứng minh: OK.OS = R2. Bài tập 38 Cho đường tròn (O), một đường kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2 3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn Đặng Ngọc Dương – THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Gmail: diepngoc0307@gmail.com 13 MN, sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. a. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong một đường tròn. b. Chứng minh AME đồng dạng với ACM và AM2 = AE.AC. c. Chứng minh AE.AC AI.IB = AI2. d. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. Bài tập 39 Cho ba điểm A, B, C trên một đường thẳng theo thứ tự ấy và đường thẳng d vuông góc với AC tại A. Vẽ đường tròn đường kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì. Tia CM cắt đường thẳng d tại D; Tia AM cắt đường tròn tại điểm thứ hai N; Tia DB cắt đường tròn tại điểm thứ hai P. a) Chứng minh: Tứ giác ABMD nội tiếp được. b) Chứng minh: Tích CM. CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M. c) Tứ giác APND là hình gì? Tại sao? d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAB chạy trên một đường tròn cố định. Bài tập 40 Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Các tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn ở B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đường tròn (M khác B và C). Gọi H; K; I lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M xuống BC; CA; AB. a/ Chứng minh: Tứ giác MHBI, MHCK nội tiếp. b/ Chứng minh: MHI MKH . c/ Chứng minh: MH2 = MI.MK. Bài tập 41 Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. M và Q là hai điểm trên (d) sao cho M≠A, M≠Q, Q≠A. Các đường thẳng BM và Đặng Ngọc Dương – THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Gmail: diepngoc0307@gmail.com 14 BQ lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P. Chứng minh: 1. Tích BN.BM không đổi. 2. Tứ giác MNPQ nội tiếp. 3. Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R Bài tập 42 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O và P là trung điểm của cung AB không chứa C và D. Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E và F. Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I, các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: a. Góc CID bằng góc CKD. b. Tứ giác CDFE nội tiếp được một dường tròn. c. IK // AB. Bài tập 43 Trên đường tròn (O; R) đường kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B). AM cắt BE tại C; AE cắt BM tại D. a. Chứng minh MCED là một tứ giác nội tiếp và CD vuông góc với AB. b. Gọi H là giao điểm của CD và AB. Chứng minh BE.BC = BH.BA. c. Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đường tròn (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng CD. d. Cho biết 045BAM  và 030BAE  . Tính diện tích tam giác ABC theo R. Bài tập 44 Cho đường tròn (O) đường kính AB. Một cát tuyến MN quay xung quanh trung điểm H của OB. Giọi I là trung điểm của MN. Từ A kẻ Ax vuông góc với MN tại K. Gọi C là giao điểm của Ax với tia BI. a/ Chứng minh rằng: BN// MC b/ Chứng minh rằng: Tứ giác OIKC là hình chữ nhật c/ Tiếp tuyến Bt với đường tròn (O) cắt tia AM ở E, cắt tia Ax ở F. Gọi D là giao Đặng Ngọc Dương – THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Gmail: diepngoc0307@gmail.com 15 điểm thứ hai của tia Ax với (O). Chứng minh rằng: tứ giác DMEF nội tiếp Bài tập 45 Cho  ABC cân (AB = AC) và góc A nhỏ hơn 600; trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. a) Tam giác BCD là tam giác gì? tại sao? b) Kéo dài đường cao CH của  ABC cắt BD tại E. Vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với CD tại F. Qua C vẽ tiếp tuyến CG của đường tròn này. Chứng minh: Bốn điểm B, E, C, G thuộc một đường tròn. c) Các đường thẳng AB và CG cắt nhau tại M, tứ giác AFGM là hình gì? Tại sao? d) Chứng minh:  MBG cân. Bài tập 46 Cho đường tròn (O) bán kính R, đường thẳng d không qua O và cắt đường tròn tại hai điểm A, B . Từ một điểm C trên d (C nằm ngoài đường tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (M, N thuộc (O)). Gọi H là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt tia CN tại K. a. Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đường tròn. b. Chứng minh KN.KC = KH.KO. c. Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) tại I, chứng minh I cách đều CM, CN và MN. d. Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lượt tại E và F. Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF là nhỏ nhất. Bài tập 47 Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R) (0 < BC < 2R). A là một điểm di động trên cung lớn BC sao cho ABC nhọn. Các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H (DBC; ECA; FAB) Đặng Ngọc Dương – THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Gmail: diepngoc0307@gmail.com 16 4. Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp. Từ đó suy ra AE.AC = AF.AB 5. Gọi A' là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AH = 2OA' 6. Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đặt S là diện tích ABC, 2p là chu vi DEF. Chứng minh: a. d // EF b. S = p.R Bài tập 48 Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD và đáy nhỏ BC nội tiếp trong đường tròn tâm O; AB và CD kéo dài cắt nhau tại I. Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại B và D cắt nhau tại điểm K. a. Chứng minh các tứ giác OBID và OBKD là các tứ giác nội tiếp. b. Chứng minh IK song song với BC. c. Hình thang ABCD phải thoả mãn điều kiện gì để tứ giác AIKD là hình bình hành. Bài tập 49 Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm trên đường tròn. Một góc xAy = 900 quay quanh A và luôn thoả mãn Ax, Ay cắt đường tròn (O). Gọi các giao điểm thứ hai của Ax, Ay với (O) tương ứng là B, C. Đường tròn đường kính AO cắt AB, AC tại các điểm thứ hai tương ứng là M, N. Tia OM cắt đường tròn tại P. Gọi H là trực tâm tam giác AOP. Chứng minh rằng a) AMON là hình chữ nhật b) MN//BC c) Tứ giác PHOB nội tiếp d) Xác định vị trí của góc xAy sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất. Bài tập 50 Cho đường tròn (O) đường kính AB. điểm I nằm giữa A và O (I khác A và O). Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (C khác M, N Đặng Ngọc Dương – THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Gmail: diepngoc0307@gmail.com 17 khác B). Nối AC cắt MN tại E. Chứng minh: a) Tứ giác IECB nội tiếp. b) AM2 = AE.AC c) AE.AC – AI.IB = AI2 Bài tập 51 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và hai điểm C, D thuộc nửa đường tròn sao cho cung AC nhỏ hơn 900 và góc COD = 900. Gọi M là một điểm trên nửa đường tròn sao cho C là điểm chính giữa cung AM. Các dây AM, BM cắt OC, OD lần lượt tại E, F a) Tứ giác OEMF là hình gì? Tại sao? b) Chứng minh: D là điểm chính giữa cung MB. c) Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đườngtròn tại M và cắt các tia OC, OD lần lượt tại I, K. Chứng minh các tứ giác OBKM và OAIM nội tiếp được. d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S. Hãy xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M, O, B, K, S cùng thuộc một đường tròn. Bài tập 52 Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) sao cho đường thẳng AB không đi qua tâm O. Trên tia đối của tia AB lấy điểm lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đường tròn (O) (E, F là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của dây cung AB. Các điểm K và I theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng OM và OH. a) Chứng minh 5 điểm M, O, H, E, F cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh: OH.OI = OK. OM c) Chứng minh: IA, IB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) Bài tập 53 Cho đường tròn (O) đường kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. CD cắt đường tròn đường kính BC tại I. Đặng Ngọc Dương – THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Gmail: diepngoc0307@gmail.com 18 1. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp . 2. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi. 3. Chứng minh BI // AD. 4. Chứng minh I, B, E thẳng hàng. 5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC. Bài tập 54 Cho đường tròn (0) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đường tròn (B, C, M, N thuộc đường tròn và AM < AN). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với đường tròn. a) Chứng minh: Bốn điểm A, 0, E, C cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh: gó