Chuyên đề Về bất đẳng thức

I. Ôn tập bất đẳng thức 1. Khái niệm bất đẳng thức Các mệnh đề dạng "" hoặc "" được gọi là bất đẳng thức. 2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đươngNếu mệnh đề  đúng thì ta nói bất đẳng thức  là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức .Ta cũng viết là . Chẳng hạn, ta đã biết                     và (tính chất bắc cầu) .                     tùy ý (tính chất cộng hai vế bất đẳng thức với một số).Nếu bất đẳng thức là hệ quả của bất đẳng thức  và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau. Ta viết là . 3. Tính chất của bất đẳng thứcNhư vậy để chứng minh bất đẳng thức ta chỉ cần chứng minh . Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau.                     Chú ýTa còn gặp các mệnh đề dạng hoặc . Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt ta gọi là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng hoặc là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt.II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)1. Bất đẳng thức CôsiĐịnh líTrung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.                     ,   .         (1)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Chứng minhTa có        .Vậy           . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , tức là khi và chỉ khi .2. Các hệ quảHệ quả 1Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.                     .Hệ quả 2Nếu x, y cung dương và có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi và chỉ khi .Chứng minh.  Đặt . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có                     , trong đó . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  .Vậy tích đạt giá trị lớn nhất bằng  khi và chỉ khi .Ý NGHĨA HÌNH HỌCTrong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất (h.26).                     Hệ quả 3Nếu cùng dương và có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi và chỉ khi .Ý NGHĨA HÌNH HỌCTrong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi nhỏ nhất (h.27).                     III. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đốiTừ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất cho trong bảng sau                 Ví dụ. Cho      . Chứng minh rằng                                                                                      Các dạng bài liên quan: Bất đẳng thức Trắc nghiệm tam thức, BPT, BĐT Một số bài tập  Baì 66508 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F ( x ; y ) = x - 2y với điều kiện: Chọn một đáp án dưới đây A. -8 B. -10 C. -6 D. -12 <--- Click để xem đáp án  Baì 65098 Hệ bất phương trình có nghiệm khi: Chọn một đáp án dưới đây A. m > 1 B. m = 1 C. m < 1 D. <--- Click để xem đáp án  Baì 65097 Tập nghiệm của hệ bất phương trình là: Chọn một đáp án dưới đây Bạn đã trả lời sai. Đáp án là : (B) Xem bài giải | Viết cách giải khác của bạn A. (-∞;-3) B. (-3; 2) C. (2; +∞) D. (-3; +∞) <--- Click để xem đáp án  Baì 65077 Với hai số x, y dương thỏa xy = 36, bất đẳng thức sau đây đúng? Chọn một đáp án dưới đây A. B. C. > xy = 36 D. Tất cả đều đúng <--- Click để xem đáp án  Baì 65072 Với mọi a, b ¹ 0, ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? Chọn một đáp án dưới đây A. a - b < 0 B. < 0 C. > 0 D. Tất cả đều đúng <--- Click để xem đáp án  Baì 64812 Cho m, n > 0, bất đẳng thức (m + n) ³ 4mn tương đương với bất đẳng thức nào sau đây. Chọn một đáp án dưới đây A. 0 B. 0 C. 0 D. Tất cả đều đúng. <--- Click để xem đáp án  Baì 59979 Giải bất phương trình sau : Chọn một đáp án dưới đây A. B. C. D. <--- Click để xem đáp án  Baì 50738 Tìm giá trị nhỏ nhất với hai số thực a,b : Chọn một đáp án dưới đây A. 0 B. 1 C. D. 4 <--- Click để xem đáp án  Baì 41672 Cho a,b,c>0 và abc=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  Baì 40914 cho , chứng minh: Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu Tác giả: boy148 đưa lên lúc: 16:57:04 Ngày 20-02-2008 Bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức kinh điển rất quen thuộc với học sinh THPT .Chuyên đề này muốn giới thiệu một phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô-Si đó là kĩ thuật Cô-Si ngược dấu.  Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng: Bài giải: Ta luôn có : Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1) Hoàn toàn tương tự ta cũng có:   (2)   (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có: (đpcm).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức thì ta phải dùng tới biểu thức Ví dụ 2)Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có: Ta có: Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1) Hoàn toàn tương tự ta cũng có: (2) (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có: Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1  Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta đã chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phương pháp khác sẽ rất dài thậm chí không giải được ,sau đây là một số bài tập ứng dụng: Bài 1)Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta luôn có: Bài 2)Chứng minh rằng với a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta luôn có: Bài 3)Cho 3 số và a+b+c=3.Chứng minh rằng: MỘT KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT CÓ ĐIỀU KIỆN Chúng ta thường gặp các dạng toán chứng minh BĐT có dạng :Cho ,chứng minh có một kĩ thuật là ta đi chứng minh :   .Nếu chứng minh được như thế , từ điều kiện ta suy ra được .Sau đây là một số ví dụ:    Ví dụ 1.Cho ,chứng minh :  Giải : Ta có : mà nên nên Ví dụ 2:Cho x,y là các số dương thỏa mãn ,chứng minh rằng : Giai: Ta có : Mà Ví dụ 4:Cho x,y là các số dương thỏa ,chứng minh rằng :     Giải:  Ta có : (x,y là các số dương) tương tự 2 bài trên ta suy ra Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ Tác giả: salt_vuong91 đưa lên lúc: 11:29:07 Ngày 07-09-2008 Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ A. Phương pháp đặt ẩn phụ Có 3 bước cơ bản trong phương pháp này :- Đặt ẩn phụ và gán luôn điều kiện cho ẩn phụ- Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụTiến hành giải quyết phương trình vừa tạo ra này . Đối chiếu với điều kiện để chọn ẩn phụ thích hợp.- Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm* Nhận xét :- Cái mấu chốt của phương pháp này chính là ở bước đầu tiên . Lí do là nó quyết định đến toàn bộ lời giải hay, dở , ngắn hay dài của bài toán .- Có 4 phương pháp đặt ẩn phụ mà chúng tôi muốn nêu ra trong bài viết này đó là :+ PP Lượng giác hoá+ PP dùng ẩn phụ không triệt để+ PP dùng ẩn phụ đưa về dạng tích+ PP dùng ẩn phụ đưa về hệ Sau đây là bài viết :B. Nội dung phương pháp I. Phương pháp lượng giác hoá1. Nếu thì ta có thể đặt hoặc Ví dụ 1 : Lời giải :  ĐK : Đặt Phương trình đã cho trở thành :cos()( ) = 0 Kết hợp với điều kiện của t suy ra : Vậy phương trình có 1 nghiệm : Ví dụ 2 : Lời giải : ĐK : Khi đó VP > 0 .Nếu Nếu .Đặt , với ta có :( ) ( ) = 0 Vậy nghiệm của phương trình là Ví dụ 3 :   Lời giải : ĐK : Đặt phương trình đã cho trở thành :Vậy nghiệm của phương trình là Ví dụ 3 : Lời giải :  ĐK : Đặt phương trình đã cho trở thành :Vậy phương trình có nghiệm duy nhất Ví dụ 4 HD :Nếu : phương trình không xác định .Chú ý với ta có :vậy để giải phương trình (1) ta chỉ cần xét với Đặt khi đó phương trình đã cho trở thành : 2. Nếu thì ta có thể đặt : Ví dụ 5 :   Lời giải : ĐK : Đặt Phương trình đã cho trở thành :kết hợp với điều kiện của t suy ra Vậy phương trình có 1 nghiệm : TQ : Ví dụ 6 :  Lời giải : ĐK : Đặt phương trình đã cho trở thành :(thỏa mãn)TQ : với a,b là các hằng số cho trước : 3. Đặt để đưa về phương trình lượng giác đơn giản hơn :Ví dụ 7 :   (1)Lời giải : Do không là nghiệm của phương trình nên :(1) (2)Đặt .Khi đó (2) trở thành :Suy ra (1) có 3 nghiệm :Ví dụ 8 :  Lời giải : ĐK : Đặt phương trình đã cho trở thành :Kết hợp với điều kiện su ra : Vậy phương trình có 1 nghiệm :  4. Mặc định điều kiện : . sau khi tìm được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phương trình và kết luận :Ví dụ 9 :  Lời giải : phương trình đã cho tương đương với : (1)Đặt :(1) trở thành :Suy ra (1) có tập nghiệm :Vậy nghiệm của phương trình đã cho có tập nghiệm chính là S bất đẳng thức Schur bất đẳng thức Schur, đặt tên theo Issai Schur, phát biểu rằng với a,b,c là các số thưc không âm và một số dương r, ta có bất đẳng thức sau: dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc hai trong số chúng bằng nhau và số còn lại bằng không. Khi r là một số nguyên dương chẵn, thì bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực x, y, và z. Chứng minh Ta có thể giả sử một cách tổng quát rằng dựa vào tính chất đối xứng của bất đẳng thức. Biến đổi vế trái của bất đẳng thức để được: Điều trên hiển nhiên đúng vì mọi số hạng của vế trái đều không âm. Bất đẳng thức cộng Chebyshev Bất đẳng thức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Chebyshev, được phát biểu rằng: Nếu cho và thì Tương tự, nếu và thì  Chứng minh Bất đẳng thức cộng Chebyshev được chứng minh bằng cách dùng qui tắc sắp xếp bất đẳng thức. Giả sử ta có hai chuỗi số được cho như sau và Vậy thì, theo qui tắc sắp xếp bất đẳng thức, ta có là giá trị lớn nhất có thể sắp xếp được từ hai chuỗi số trên. Cộng vế theo vế, ta có: chia cả hai vế cho n2, ta nhận được: (điều phải chứng minh) Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Là một bất đẳng thức thường được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học, chẳng hạn trong đại số tuyến tính dùng cho các vector, trong giải tích dùng cho các chuỗi vô hạn và tích phân của các tích, trong lý thuyết xác suất dùng cho các phương sai và hiệp phương sai. Tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức Bunyakovski hoặc bằng tên dài nói trên nhưng đảo thứ tự là bất đẳng thức Bunyakovski–Cauchy-Schwarz nên thường viết tắt là bất đẳng thức BCS. Cũng cần tránh nhầm lẫn với bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân mà tài liệu giáo khoa tại Việt Nam gọi là bất đẳng thức Cauchy. Bất đẳng thức này phát biểu rằng nếu x và y là các phần tử của không gian tích trong thực hay phức thì Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học là chúng song song với nhau). Một trường hợp đặc biệt nữa của x và y là khi chúng trực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học là vuông góc) nhau thì tích trong của chúng bằng zero. Như vậy, có vẻ như bất đẳng thức này cho thấy có mối liên quan giữa khái niệm "góc của hai vector" với khái niệm tích trong, mặc dầu các khái niệm của hình học Euclide có thể không còn mang đầy đủ ý nghĩa trong trường hợp này, và ở mức độ nào đấy, nó cho thấy ý niệm các không gian tích trong là một sự tổng quát hoá của không gian Euclide. Một hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: tích trong là một hàm liên tục. Một dạng khác của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được phát biểu dưới đây bằng cách dùng ký hiệu chuẩn, với chuẩn ở đây được hiểu là chuẩn trên không gian tích trong Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức này trong trường hợp các vector thực và hữu hạn chiều và đến năm 1859, học trò của Cauchy là V.Ya. Bunyakovsky nhận xét rằng khi chúng ta lấy giới hạn chúng ta có thể thu được dạng tích phân của bất đẳng thức này. Kết quả tổng quát trong trường hợp không gian tích trong được chứng minh bởi K.H.A. Schwarz vào năm 1885. Chứng minh Bất đẳng thức này rõ ràng đúng với y = 0, vì thế ta có thể giả sử khác zero. Giả sử λ là một số phức bất kỳ. Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức chắc chắn đúng như sau: Chọn chúng ta được mà bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi hay tương đương: (điều phải chứng minh) Một số trường hợp đặc biệt đáng chú ý Trong trường hợp không gian Euclide Rn, bất đẳng thức này trở thành . Đặc biệt hơn, trong không gian Euclide với số chiều bằng 2 hay 3, nếu tích vô hướng được xác định theo góc giữa hai vector, khi đó bất đẳng thức này trở thành một bất đẳng thức dễ dàng chứng minh: . Hơn nữa, trong trường hợp này, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có thể suy ra từ đồng nhất thức Lagrange bằng cách bỏ qua một số hạng. Trong trường hợp số chiều n = 3, đồng nhất thức Lagrange có dạng: Hệ quả của bất đẳng thức này là bất đẳng thức Trong không gian tích trong của các hàm giá trị phức khả tích-bình phương, chúng ta có Một dạng tổng quát của hai bất đẳng thức ở phần này là bất đẳng thức Holder. Một hệ quả khác, đó là bất đẳng thức Schwarz hay cũng được nhiều tài liệu gọi là bất đẳng thức Cauchy Schwarz   BĐT tam giác bất đẳng thức tam giác là một định lý phát biểu rằng trong một tam giác chiều dài của một cạnh phải nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn hiệu, của hai cạnh còn lại. Bất đẳng thức là một định lý trong các không gian như hệ thống các số thực, tất cả các không gian Euclide,    Bất đẳng thức cũng xuất hiện như là một tiên đề trong định nghĩa của nhiều cấu trúc trong giải tích toán học và giải tích hàm, chẳng hạn trong các không gian vectơ định chuẩn Không gian vectơ định chuẩn Trong không gian vectơ định chuẩn V, bất đẳng thức tam giác được phát biểu như sau: ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||     với mọi x, y thuộc V tức là, chuẩn của tổng hai vectơ không thể lớn hơn tổng chuẩn của hai vectơ đó. Đường thẳng thực là một không gian vectơ định chuẩn với chuẩn là giá trị tuyệt đối, vì thế có thể phát biểu bất đẳng thức tam giác cho hai số thực bất kỳ x và y như sau: Trong giải tích toán học, bất đẳng thức tam giác thường được dùng để ước lượng chặn trên tốt nhất cho giá trị tổng của hai số, theo giá trị của từng số trong hai số đó. Cũng có một ước lượng chặn dưới mà có thể tìm được bằng cách dùng bất đẳng thức tam giác đảo chiều, mà phát biểu rằng với bất kỳ hai số thực x và y: bất đẳng thức becnuli Tác giả: tuanthanhHK1 đưa lên lúc: 21:03:25 Ngày 01-02-2008 bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức cho phép tính gần đúng các lũy thừa của 1 + x. Bất đẳng thức này được phát biểu như sau: với mọi số nguyên r ≥ 0 và với mọi số thực x > −1. Nếu số mũ r là chẵn, thì bất đẳng thức này đúng với mọi số thực x. Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt như sau: với mọi số nguyên r ≥ 2 và với mọi số thực x ≥ −1 với x ≠ 0. Bất đẳng thức Bernoulli thường được dùng trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác. Bản thân nó có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học: Chứng minh: Khi r=0, bất đẳng thức trở thành tức là mà rõ ràng đúng. Bây giờ giả sử bất đẳng thức đúng với r=k: Cần chứng minh: Thật vậy, (vì theo giả thiết ) (vì ) => Bất đẳng thức đúng với r=k+1. Theo nguyên lý quy nạp, chúng ta suy ra bất đẳng thức đúng với mọi Số mũ r có thể tổng quát hoá thành số thực bất kỳ như sau: nếu x > −1, thì với r ≤ 0 or r ≥ 1, và với 0 ≤ r ≤ 1. Có thể chứng minh bất đẳng thức tổng quát hoá nói trên bằng cách so sánh các đạo hàm. Một lần nữa, bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt nếu x ≥ -1 và 1 ≤ r thuộc tập số tự nhiên.  Các bất đẳng thức liên quan Bất đẳng thức dưới đây ước lượng lũy thừa bậc r của 1 + x theo chiều khác. Với số thực x bất kỳ, r > 0, chúng ta có với e = 2.718.... Bất đẳng thức này có thể chứng minh bằng cách dùng bất đẳng thức (1 + 1/k)k < e.   Chọn điểm rơi trong Bất Đẳng Thức Cô-Si Trong khi học Bàn về  kiến thức về mảng bất đẳng thức thì bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức cơ bản nhất .Tuy nhiên trong khi giải bài tập để dùng được bất đẳng thức này một cách linh hoạt hơn thì ta phải dùng đến một phương pháp gọi là phương pháp chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cô-Si. Khi áp dụng bđt côsi trong các bài toán tìm cực trị thì việc lựa chọn tham số để tại đó dấu = xảy ra là điều quan trọng và khó khăn nhất. Đôi lúc trong các bài toán khi các biến bị giới hạn bởi một điều kiện nào đó thì khi áp dụng trực tiếp sẽ dẫn đến nhiều sai lầm. Vì thế trong chuyên mục nhỏ này tôi muốn trình bày những phương pháp cụ thể để bạn có thể tìm được tham số phù hợp.Bài toán 1: Cho các số dương x,y,z sao cho x+y+z=1. Tìm các giá trị nhỏ nhất:a. b.c.d. Giải: a.Bài này khá đơn giản chắc bạn nào cũng đều biết nó. Tuy nhiên dùng bài này minh họa cho việc lựa chọn tham số theo mình là phù hợp nhất.Vì vai trò các biến x,y,z là như nhau nên ta có thể dự đoán được dấu = xảy ra tại x=y=z=1/3. Nên ta có như sau:(dấu = xảy ra khi )Như vậy ta áp dụng như sau: cộng dồn lại rồi suy ra.b. Như bài trên mình đã nói lên một ý tưởng là thêm vào các biệt số phụ như chẳng hạn. Và phương pháp thêm này nói chung rất hiệu quả và triệt để cho các bài toán dạng này.Ta thấy vai trò của x,y là như nhau nên ta có thể dự đoán được dấu = xảy ra x=y. Ta cần chọn các biệt số phụ sao:(dấu = xảy ra khi )(dấu = xảy ra khi )(dấu = xảy ra khi )Và mục đích của các biệt số phụ sao cho khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+z. Nên ta có suy ra: (*)Đồng thời với các điều kiện dấu bằng và (*) các bạn sẽ tìm được các biệt số phụ như ý muốn.c.Để thấy thêm sự hiệu quả thì câu c điều kiện các tham số đó kô ràng buộc. Ta chọn các biệt số phụ sao cho:(dấu = xảy ra tại )(dấu = xảy ra tại )(dấu = xảy ra tại )Và mục đích của các biệt số phụ khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+zVậy ta suy ra dễ dàng: (*)Đồng thời với dấu = xảy ra và đk (*) bạn có thể tìm được biệt số.d.Sang câu d đây là một dạng tổng quát của bài toán này. Tuy nhiên khi giải mà làm theo các bước trên thì thật là khó chụi và mất thời gian nhiều. Nay mình xin nói thêm đây là một cách rất hay chỉ cần 1 hay 2 dòng là ra các biệt số phụ liền. Tuy nhiên các bạn phải hiểu rõ các cách trên vì đây chỉ là một cách suy ra từ pp trên mà thôi.như vậy bạn chỉ cần rút x,y,z theo rồi thế vào điều kiện là có thể ra được điểm rơi.Ngoài ra với bài toán trên nó kô chỉ giới hạn ở mức độ nhỏ đó đâu mà nó còn nâng lên bậc cao m,n,k của x,y,z bất kì cộng với điều kiện có thể tổng quát hơn: . Mà cách giải vẫn không mấy thay đổi (tuy nhiên đều là số nguyên)Bài toán 2: Cho x,y,z là các số dương thõa xy+yz+zx=1. Tìm giá trị lớn nhất:a.b. c. d. Giải:Những bài này chúng ta cũng sẽ và có chung một hương đi giải quyết đó:a.1=a+b, 1=c+d, 2=e+f (trong đó a,b,c,d,e,f có là các số sẽ tìm được)Ta có:dấu = xảy ra khi: Suy ra: Và mục đích của các biệt số này là có thể đưa về dạng xy+yz+zx. Nên khi đó: Như vậy ta được hệ phương trình sau:abd=cefa+b=1c+d=1e+f=2 Hệ trên 6 phương trình tương ứng với 6 ẩn số các bạn hoàn toàn có thể giải được có điều hơi dài. Tuy nhiên trong trường hợp bài toán a,b,c chúng ta thấy rằng các biến x,y có tính đối xứng nay nên việc phân tích sẽ đơn giản hơn thế này a=c, b=d, e=f. Như vậy thì đơn giản hơn đúng không?Còn trường hợp ở bài cuối cùng khá tổng quát thì việc giải nó sẽ khó khăn đôi chút. Nhưng có một phương pháp rất hay và mới:Xét biểu thức:Với Như vậy ta được hệ phương trình bậc 3 theo trong đó là nghiệm dương nhỏ nhất. Từ đây bạn có thể tính ra suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức mà kô cần phải giải a,b,c,d,e,f. Bài toán 3: Cho x,y,z là các số dương, thõa: x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của:Với các dạng bài này thì phương pháp cũng tương tự nhau nên dành cho các bạn vậy! Xem như đây là một bài luyện tậpNgoài ra đôi lúc trong việc tìm cực trị của bài toán không phải là ta nhìn đã thấy được đó là điểm rơi trong côsi mà nó còn kết hợp với phương pháp khác như đồng nhất thức, đạo hàm, v.v... Và chính điều này nó làm tăng thêm phần hay và đẹp của điểm rơi trong Cô-Si.Qua bài viết này mong các bạn sẽ hiểu rõ hơn về bất đẳng thức Cô-Si.  Hệ phương trình đồng bậc Tác giả: boy148 đưa lên lúc: 22:16:21 Ngày 21-02-2008 Chuyên đề này sẽ giới thiệu với các bạn một dạng hệ phương trình đó là hệ phương trình đồng bậc. I)Hệ đồng bậc: Ví dụ: Đặt x=ky ta thu được: ta có: +)Với k=1 ta có: +)Với k=-2 ta có: Cách giải chung:Nếu các số hạng trừ số hạng tự do trong các phương trình của hệ có bậc bằng nhau thì ta đặt x=ky nối hai phương trình của hệ. Bài tập áp dụng:Giải các hệ phương trình sau: 1) 2) 3) II)Hệ phương trình đưa về dạng đồng bậc nhờ phép đặt ẩn phụ: Ví dụ 2)Giải hệ phương trình: Đặt x=u+a , y=u+b thay vào phương trình (1): Để đưa được về hệ đồng bậc thì ta phải chọn để hệ số của số hạng u ,v là 0 tức là Thay x=u-1 , y=v-2 vào hệ phương trình đã cho ta có: Khi này ta đã có thể giải được bình thường như hệ đồng bậc. Ví dụ 3:Giải hệ phương trình: Rõ ràng x=0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả 2 phương trình của hệ cho ta có: Đặt ta có: Đến đây ta đã có thể giải như giải hệ đồng bậc bình thường (đặt u=ky). Sau đây là một số bài tập áp dụng: Giải hệ phương trình: 1) 2) 3) 4) 5) Một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất Tác giả: luxipe đưa lên lúc: 13:38:48 Ngày 18-01-2008 Trong giờ luyện tập, tôi gặp một bài toán như sau:"Cho . Tìm GTNN của " Đối với dân chuyên Toán và có thể nhiều bạn khác nữa, bài toán này tương đối dễ. Còn đối với tôi không phải dân chuyên Toán,  việc giải và mở rộng bài toán này đã đưa đến nhiều kết quả thú vị. Trước hết ta xem xét lời giải của bài toán trên: Cộng 2 BĐT trên ta có . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi  Tuy nhiên vấn đề đặt ra là tại sao nghĩ ra được số để thêm vào BĐT? Để giải quyết vấn đề này, sử dụng ý tưởng dùng BĐT như trên, nhưng tôi sẽ thêm vào 1 số  nào đó: Cộng hai BĐT trên ta có: Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: Giả sử đã tồn tại \alpha để dấu "=" xảy ra, khi đó . Thay vào F được GTNN của F là đạt được khi . Như vậy việc đưa số vào áp dụng BĐT là hoàn toàn có cơ sở. Từ đó tôi đã nâng bài toán lên với hệ số các số hạng là các số dương: "Cho . Tìm GTNN của " Mục tiêu của chúng ta là dùng BĐT Cô-si sao cho khi cộng 2 BĐT vào, ta có vế trái là 2F cộng với 1 số hạng nào đó, còn vế phải chứa biểu thức đã cho trong giả thiết. Rõ ràng việc đặt số  đơn lẻ sẽ không đưa đến kết quả mà phải biến đổi số hạng cộng vào mỗi BĐT Cách đặt số hạng cộng vào này giúp triệt tiêu được c bên vế trái, nhân thêm được hệ số a vào vế phải. Ta tiếp tục cộng 2 BĐT: Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi . Khi đó . Giả sử đã có  thỏa mãn dấu "=", tức là: (1) Khi đó theo (1) tìm được GTNN của F là   Lần này, tôi phát triển bài toán theo hướng tăng dần số mũ. Để tránh phức tạp, tôi cho các hệ số bằng 1. "Cho . Tìm GTNN của " Áp dụng BĐT Cô-si cho 4 số dương: Cộng 2 BĐT: . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: . Khi đó (2). Giả sử tồn tại  để dấu bằng xảy ra, vậy thì: . Thay vào (2) ta có , đạt được khi x = y =   Không dừng lại ở việc phát triển hệ số, tôi nâng bài toán lên với số mũ, số ẩn, tôi tìm được lời giải cho các bài toán sau   Bài toán 1: "Cho . Tìm GTNN của " Áp dụng BĐT Cô-si: Cộng 3 BĐT vào: Dáu "=" xảy ra khi và chỉ khi: . Khi đó . Giả sử tồn tại thỏa mãn dấu "=", khi đó: . Khi đó đạt được khi   Bài toán 2: "Cho . Tìm GTNN của " Áp dụng BĐT Cô-si: Cộng 3 BĐT vào: Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi . Tiếp tục làm tương tự như các bài trên, ta thu được kết quả: Đạt được khi .   Bài toán 3: "Cho . Tìm GTNN của " Áp dụng BĐT Cô-si cho n số hạng: (m số hạng , (n - m) số hạng ) (m số hạng , (n - m) số hạng ) Cộng 2 BĐT: Tiếp tục làm tương tự như các bài trên, ta thu được kết quả: Đạt được khi   Xin phép được kết thúc bài viết ở đây. Chúc các bạn tìm thêm được nhiều mở rộng thú vị.