Chuyên đề về quan hệ vuông góc trong không gian

CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN I. Hai đường thẳng vuông góc với nhau A. Phương pháp chứng minh: C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng. C2 : góc. P C3: Dùng hệ quả: C4: Dùng hệ quả: // , C5 : Dùng hệ quả: C6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc. C7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông góc với cạnh còn lại của tam giác B. Bài tập áp dụng Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết AB = 16a, CD = 12a, MN = 10a. CM AB vuông góc với CD Cho hình chop S.ABC có AB = AC, góc SAC = góc SAB. M là trung điểm BC. CM AM vuông góc với BC và SM vuông góc với BC SA vuông góc với BC Cho hình chop S.ABC có SA vuông góc BC, SA = BC =2a, qua M song song với SA, BC, AB = a. Xác định thiết diện tạo bởi mpvà S.ABC Đặt Am = x. Tính diện tích thiết diện theo a và x Định vị trí để diện tích này lớn nhất Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD CM: AOCD Tính góc giữa 2 đt AB và CD Cho hình chóp S.ABC có SA =SB=SC=a, tam giác ABC vuông cân và AB= AC = . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC Tính góc giữa 2 đt SA và BC Cho tứ diện ABCD trong đó ABAC, ABBD. Gọi P và Q lần lựơt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh AB PQ Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC = BAD = 600. Chứng minh AB CD Nếu M,N là trung điểm của AB và CD thì MNAB, MNCD Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh 2a, AB= AC= AD = CMR AD vuông góc BC Gọi I là trung điểm CD. Tính góc giữa AB và CD Cho tứ diện ddeuf ABCD cạnh bằng a. Tính góc giữa AB và CD Cho tứ diện ABCD có AB= AC =AD= a, BC= BD= a, CD= 2a Tính góc giữa 2 đt AD và BC Tính góc giữa 2 đt AB và CD Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, các góc SAB, SAC, SAD đều vuông, SA=. Tính góc giữa SC và AD Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật AB= a, BC= 3a, SAB = SAC = SAD= và SA = a. Tính góc giữa SD và BC; SB và CD Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, đáy lớn là AD. Biết AD= 2BC= 2AB. Cm AC vuông góc CD Với E là trung điểm AD tìm giao tuyến của 2 mp (SBC) và (SCD) Biết góc SCD = . Xác định góc giữa SA và BE Cho tứ diện ABCD có AB = CD. song song với AB và CD cắt các cạnh còn lại lần lượt tại M, N, P, Q Tứ gicá MNPQ là hình gì Xác định vị trí sao cho Mp vuông góc NQ II. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng A. Phương pháp chứng minh C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng , cắt nhau , , C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng kia cũng vuông góc với mặt phẳng // , C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a nằm trong mẵt phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuông góc với mặt phẳng kia C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó Lưu ý hs yếu các kiến thức thường gặp: Tam giác ABC cân ở đỉnh A thì đường trung tuyến kẻ từ A cũng là đường cao Tam giác đều thì mọi đường trung tuyến đều là đường cao Hình thoi, hình vuông có 2 đường chéo vuông góc với nhau B.Bài tập ứng dụng Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC. Gọi I là trung điểm BC. chứng minh BC vuông góc AD kẻ AH là đường cao trong tam giác ADI. Chứng minh AH vuông góc với mp(BCD) Cho hình chop SABC. SA vuông góc với đáy (ABC) và đáy là tam giác vuông tại B. CM BC SB Từ A lần lượt kẻ 2 đường cao AH, AK trong tam giác SAB và SAC. CM AH (SBC), SC ( AHK) Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O với SA = SC, SB = SD. Chứng minh SO vuông góc với (ABCD) AC vuông góc SD, BD SA Gọi I, J lần lượt là trung điểm của cạnh BA, BC. CM IJ(SBD) Trong tam giác SAD kẻ đường cao SH. CM: AD(SOH) Cho tứ diện ABCD có AB CD, AC BD. Gọi H là trực tâm tam giác BCD. CM AH (BCD) CM AD CD Cho hình chóp S.ABCD có SA đáy. Đáy ABCD là hình thang vuông tại A. AD = 2AB = 2BC CM BC (SAB) CM SC CD Hình chop S.ABC có SA vuông với đáy, tam giác ABC cân ở A. Gọi M là trung điểm BC. CM: BC (SAM) Vẽ AH SM tại H. CM AH SB Cho hình chóp S.ABC có SA = và các cạnh còn lại đều bằng a. Gọi I là trung điểm BC. CM: BC SA SI (ABC) Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA = a và SA (ABCD) Gọi I là trung điểm SD. CM AI (SCD) Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M di động trên SD. Tìm tập hợp các hình chiếu của O trên CM Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J là trung điểm AB, CD Tính các cạnh của tam giác SIJ, suy ra tam giác SIJ vuông CM SI(SCD); SJ(SAB) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên IJ cm SHAC Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O, SA(ABCD). I, J, klaanf lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC, SD CM các mặt bên của h/c là các tam giác vuông CM(SAC) là mp trung trực của BD CM SC(AHK). Từ đó suy ra AH, AI, AK đồng phẳng CM (SAC) là mặt phẳng trung trực của HK. Suy ra KHAI cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB= a, BC = a. Mặt bên SBC vuông tại B, SCD là tam giác vuông tại D, SD= a CM: SA(ABCD) Đường thẳng đi qua A và AC, cắt các đt CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là h/c của A lên SC. Xđ các giao điểm K, L của SB, SD với mp (HIJ). Cm AK(SBC), AL (SCD) III. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng Các định lý 1. 2. 3. 4. 5. B. Bài tập ứng dụng Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc (ABCD). Gọi là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, cắt SC tại I. Xác định giao điểm của SO và CM BD vuông góc SC. Xét vị trí tương đối của BD và Xác định giao tuyến của (SBD) và Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc (BCD) và SA = AB. Gọi H và M lần lượt là trung điểm của SB và SD CMR OM vuông góc với (AHD) Cho tam giác ABC cân tại A, I và H lần lượt là trung điểm cạnh AB, BC dựng SH (ABC). Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho MC = 2MI, NA = 2NS. Chứng minh MN (ABC) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA (ABC) Kẻ đ/cao AH trong tam giác SAB. CM BC (SAB) và AH (SBC) Kẻ đường cao AK trong tam giác SAC. CM SC (AHK) Kẻ đường cao BM trong tam giác . CM BM //(AHK) IV. Mặt phẳng vuông góc mặ phẳng A. Phương pháp chứng minh . C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông. O , , Khi đó: góc góc C2 : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia. B. Bài tập ứng dụng: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Các tam giác SAC và tam giác SBD cân tại S. Gọi O là tâm hình thoi CM SO (ABCD) CM (SAC) (SBD) Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B. SA đáy CM: (SAB) (SBC) Gọi M là trung điểm AC. CM (SAC) (SBM) Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC). Tam giác ABC vuông tại B CM: (SAC) (ABC) Gọi H là hình chiếu của A lên SC. K là hình chiếu của A lên SB. CM (AHK)(SBC) Gọi I là giao điểm của HK và mp(ABC). CM AIAH Hai tam giác ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau . AC =AD =BC =BD =a và CD =2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và CD CM: IJ AB , IJCD Tính IJ và AB theo a và x Xác định x sao cho (ABC)(ABD) Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng của A qua I. dựng đoạn SD = vuông góc với (ABC). CM (SAB) (SAC) (SBC)(SAD) Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều có trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). CM: (SBC)(SAC) Gọi I là trung điểm của SC. CMR (ABI)(SBC) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, I, K lần lượt là trung điểm của AB, BC CMR SI(ABCD) CMR SAD, SBC là tam giác vuông CMR (SAD) (SAB) và (SBC) (SAB) CMR(SDK) (SIC) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật, SA(ABCD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD CMR(SAB) (SBC); (SAD) (SCD) CMR (AEF) (SBC); (AEF) ((SCD) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và SOmp(ABCD). SO = a/2. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC CMR: (SBD)(SAC) CMR (SIJ) (SBC) Cho tứ diện ABCD có SA(ABC). Gọi H, K là trực tâm của 2 tam giác ABC và SBC. CMR AH, SK, BC đồng quy SC(BHK); (SAC) (BHK) KH(SBC); (SBC) (BHK) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. CMR đường thẳng AC’ (A’BD) và (ACC’A’)(A’BD) Tính đường chéo AC’ của hình lập phương Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. CMR: AC B’D’, AB’CD’ và AD’CB’. Khi nào mp(AA’C’C)(BB’D’D) V.CÁCH XÁC ĐINH GÓC A. Lý thuyết 1. Góc của hai đường thẳng Chọn điểm O tuỳ ý. Dựng qua O : a’ // a; b’ // b . Góc (a,b) = góc (a’,b’) = Thường chọn điểm O a hoặc O b 2. Góc của hai mặt phẳng Chọn điểm O thuộc giao tuyến của và . Dựng qua O : và Góc = Góc = Chú ý: * * Nếu thi chọn góc 3. Góc của đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng Chọn điểm A thuộc đường thẳng a. Dựng qua tại B. Dựng giao điểm O của a và nếu chưa có. ( OB là hình chiếu của a trên mặt phẳng ()) Khi đó: Góc = Góc = . Dùng công thức: Bài tập Cho tứ diện đều ABCD. Tính các góc sau: Góc giữa AB và (BCD) Góc giữa Ah và (ACD) với H là hình chiếu của A lên (ABC) Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA (ABCD) và SA = . Tính các góc giữa: SC và (ABCD); SC & (SAD); SB & (SAC); AC & (SBC) (SBC) và (ABCD); (SBD) và (ABCD); (SAB) và (SCD) Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và SA = 2a, ABC là tam giác đều cạnh a. Tính các góc giữa SB, (ABC) và góc giữa Sc, (SAB) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) CMR: BC(SAB) Biết góc tạo bởi SC và (ABCD) là . Tính SA Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA= SB= SC =SD = a CMR (SAC) (SBD) Tính góc giữa 2 mp (ABCD) và (SAB) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và D, có AB = 2a, AD=DC=a, SAmp(ABCD) và SA = a CMR BC(SAC) Xác định góc giữa SB và (ABCD); SB và (SAC) CMR mp(SAD)mp(SDC), mp(SAC)mp(SCB) Tính tan của góc giữa 2 mp(SBC) và (ABCD) Goi là mp chứa SD và vuông góc với mp(SAC). Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a góc BAD = 600 và SA = SB = SD = CMR: (SAC)(ABCD) CMR SBBC Tính tan của góc giữa hai mp(SBD) và (ABCD) Cho hình chóp S.ABCD có (SAB) và (ABCD) nằm trong hai mp vuông góc, ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S. Gọi M,N là trung điểm của AB và DC Chứng minh DC(SMN) Tính góc giữa đường thẳng SN với mp(ABCD) Tính góc giữa 2mp(SMC) và (ABCD) Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB= BC= a, SA(ABC), SA = a Tính góc giữa 2 mp (SBC) và (ABC) Tính góc giữa 2 mp (SAC) và (SBC) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA(ABCD), SA = a. Tính góc giữa 2mp (SBC) và (ABCD) (SBC) và (SCD) Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, SO vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Cho biết MN tạo với (ABCD) góc 600. Tính MN và SO Tính góc giữa MN và (SBD) VI.KHOAÛNG CAÙCH A. Lý thuyết Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Khoảng cách giữa mặt phẳng và đường thẳng // song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai Đường thẳng chéo nhau Cách1 Cách 2 nếu a b - d ựng ho ặc tìm mp() ch ứa b v à vu ông g óc v ới a t ại A. - trong , dựng đoạn AB b tại B - đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b B. Bài tập Cho tứ diện S.ABC, tam giác ABC vuông cân tại B và AC = 2a, cạnh SA (ABC) và SA = a CM: (SAB)(SBC) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC); C đến (SAB); B đến (SAC) Tính khoảng cách từ trung điểm O của AC đến mp(SBC) Gọi D , E là trung điểm của BC và SC tính khoảng cách từ A đến SD, k/c từ E đến AB Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác đều cạnh a; SA = SB = SD = . Gọi H là trực tâm tam giác ABC, I là trung điểm cạnh SH. Tính khoảng cách từ S đến (ABC) Tính khoảng cách từ S đến BC Tính khoảng cách từ I đến BC Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, AD = 4, SA (ABCD) & SA = 5. Tính các khoảng cách từ: A đến (SBD) A đến (SBC) O đến (SBC) Cho hình chop S.ABCD có đáy SA (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. AB = BC = = a, SA = a CM các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông Tính k/c từ A đến mp(SBC) Tính khoảng cách từ B đến đt SD Cho tứ diện ABCD có 2 mp(ABC) và (ADC) nằm trong 2 mp vuông góc với nhau. Tam giác ABC vuông tại A và AB = a, AC =b, tam giác ADC vuông tại D và DC = a. CMR các tam giác BAD và BDC đều vuông Gọi I, J lần lượt là trung điểmcủa AD và BC. CM: Ị là đương vuông góc chung của AD và BC Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABC) và SA = h. Gọi I là trung điểm SC. Tính khoảng cách từ I đến (ABCD) Tính k/c từ I đến AB CMR (SBC) (SAB); tính k/c từ A đến (SBC) và từ A đến (SBD) Tính k/c giữa các cặp đường thẳng AD và SC; SA và CD Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung sau:SB & CD; SC & BD; SC & AB Cho hình chóp S.ABCD đáy là h/vuông tâm O, cạnh a. SA= SB =SC =SD = . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC Tính k/c từ S đến (ABCD) CM (SIJ) (SBC) Tính k/c từ O đến (SBC) Tính k/c giữa 2 đt AD và SB Tính k/c từ S đến CI Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. SA(ABCD) và SA = a. CMR (SAE) (SBD) với E là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABD Tính k/c từ A đến (SBD) Tính k/c giữa các đt AD và SB; AB và SC Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A và B với AB= BC= a; AD= 2a, SA(ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa SB và CD; SD và AC Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâmO, cạnh a, góc BAD = . SO(ABCD), SO = a Tính k/c từ O đến (SBC) Tính k/c giữa 2 đt chéo nhau AD và SB Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. tam giác SAD đều và nawmg trong mp (ABCD). Gọi I, J là trung điểm của AD và BC CMR (SIJ) (SBC) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) Tính khoảng cách giữa 2 đt AD và SB; SA và BD Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cacsc cạnh bằng a. CM (BĐ’B’) (ACD’) Tính khoảng cách giữa 2 mp (ACD’) và (BA’C’) Tính khoảng cách giữa 2 đt BC’ và CD’; BB’ và AC’ HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶT BIỆT 67/ Hình choùp tam giaùc ñeàu Hình chóp tam giác đều: Đáy là tam giác đều Các mặt bên là những tam giác cân Đặc biệt: Hình tứ diện đều có: Đáy là tam giác đều Các mặt bên là những tam giác đều Cách vẽ: Vẽ đáy ABC Vẽ trung tuyến AI Dựng trọng tâm H Vẽ SH (ABC) Ta có: SH là chiều cao của hình chóp Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: . Góc mặt bên và mặt đáy là: 68/ Hình chóp tứ giác đều Hình chóp tứ giác đều: Đáy là hình vuông Các mặt bên là những tam giác cân Cách vẽ: Vẽ đáy ABCD Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC & BD Vẽ SH (ABCD) Ta có: SH là chiều cao của hình chóp Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: . Góc mặt bên và mặt đáy là: 69/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy SA (ABC) Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: . SA (ABCD) Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là: * Chú ý: a/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a, Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a, Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d = , b/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = c/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy). d/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.