Chuyên đề Véctơ và tọa độ trong mặt phẳng

Véctơ và tọa độ trong mặt phẳng I − Nhắc lại lý thuyết (những điều cơ bản cần nắm) 1. Hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Hệ thống hai trục tọa độ Ox, Oy chung gốc O, vuông góc với nhau đ−ợc gọi là một hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc trong mặt phẳng. Ta th−ờng kí hiệu là Oxy hay {O 1 2, e , e } , ở đó 1e , e là các véctơ đơn vị định h−ớng các trục Ox, Oy t−ơng ứng. Trục Ox đ−ợc gọi là trục hoành. Trục Oy đ−ợc gọi là trục tung (xem hình vẽ). G G 2 G G ph JJG G JJJJG 2. Tọa độ của véctơ và của điểm. Cho hệ trục tọa độ Oxy, a là một vectơ trong mặt ẳng, khi đó có duy nhất điểm M sao cho Phân tích véctơ theo hai véctơ G O JJ M a.= OM 1 2e , e ta có : G G 2 1 2 1 2 11 2OM OM OM a e a e .= + = + JJJJG JJJJG JJJJG G G Ta gọi cặp số có thứ tự (a , a ) là tọa độ của véctơ a G trong hệ trục tọa độ Oxy, và viết . 1 2 1 2a(a , a ) hay a {a , a }= G G Với điểm N thuộc mặt phẳng, tọa độ của véctơ ON JJJG đ−ợc gọi là tọa độ của điểm N. Nh− vậy N(x, y) nếu và chỉ nếu ON 1 2xe ye= + JJJG G G . 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán trên véctơ. a) Nếu M(x1, y1), N(x2, y2) thì MN 2 1 2 1(x x , y y ).− − JJJJG b) a , k là số thực thì : 1 2 1 2(a , a ), b(b , b ) G G 1 1 1 2 2a b(a b , a b± ± ± G G ) 1 2k.a(ka , ka ). G c) Ta gọi tích vô h−ớng của hai véc tơ a, b G G là một số thực, kí hiệu , đ−ợc xác định bởi a . b G G m b a . b . cos(a=a . , b)G G G G G G , ở đó (am, b)G G là góc tạo bởi hai véc tơ a v à b. G G Nếu thì a .1 2 1 2a(a , a ), b(b , b ) G G 1 1 2 2b a b a b .= + G G Khi , ta có b a=G G 22 2 2 1 2a a a= = = + G a . a a G G G . Từ đó 21a a a= + 22 G ; t−ơng tự 2 2 1 2b b b= + G . Nh− vậy, khi a 0, b 0≠ ≠G G G G : n 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 a b a ba . b cos(a, b) a b a a b b += = + + G G 2 G G G G . 4. Chia đoạn thẳng theo tỷ số cho tr−ớc Cho hai điểm A, B và một số k ≠ 1. Điểm M đ−ợc gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k nếu MA kMB=JJJJG JJJG . Giả sử A(x1, y1), B(x2, y2) và M(x, y) thì dễ dàng tính đ−ợc : x = 1 2 1 2 x kx y ky , y . 1 k 1 k − −=− − Nhận xét : a) Khi k = −1, ta có MA MB= −JJJJG JJJG , nghĩa là M là trung điểm của AB. Khi đó x = 1 2 x x , y 1 2 y y . 2 2 + += Nh− vậy, tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng bằng trung bình cộng các tọa độ t−ơng ứng của hai đầu mút của đoạn thẳng đó. b) Nếu a mà k.b=G G b 0≠G G , thì a G cùng h−ớng với b G khi và chỉ khi k ≥ 0, khi đó k = a b G G . Nếu a, b G G ng−ợc h−ớng thì k < 0, khi đó k = a b − G G . 2 c) Bốn điểm A, B, M, N đ−ợc gọi là một hàng điểm đ và chia đoạn AB theo hai tỷ số đối nhau. Nghĩa là nếu iều hòa nếu M N MA kMB= thì . NA kNB= − JJJJG JJJG JJJG JJJG ình D B , g c II − Luyện tập 1. Đề thi Đại học Luật Hà Nội (1998) Cho h thang cân ABCD, đáy A và C ó n oBAD 30= . D theo a, b. ĐặJJJG G JJJG G t Hãy biểu diễn véc tơ AB a, AD b.= = BC, CD, AC, B JG G JJJG JJJG JJJG JJ G Lời giải : Kẻ BD1 // CD, D1 ∈ AD. Ta có : 1 1 1CD BD AD AB AD a k.b a,= = − = − = − JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G G G k = o. AB . cos 30 a . 3 . b b = JJJG G G G1AD 2AH 2 AD b = = JJJG JJJG G Nh− vậy 3 aCD .b a. b = − GJJJG G G G Dễ thấy BD AD AB b a.= − = −JJJG JJJG JJJG G G b 3 a AC AD DC a b b  −= + = +     G GJJJG JJJG JJJG G G G b 3 a BC .b b −= G GJJJG G G ; 2. Đề thi học viện kỹ thuật mật mã (năm 1999) Gọi AD là đ−ờng ân g trong của góc A của tam giác ABC. Hãy biểu diễn theo . ph iácJJJG JJJG JJJG AD AB và AC Lời giải. Đặt AB a, AC b.= =JJJG G JJJG G Theo tính chất của đ−ờng phân giác, ta có : 3 DB AB . DC AC = Nh−ng AD là đ−ờng phân giác trong, nên ng−ợc h−ớng. Vì vậy : DB và DC JJJG JJJG AB a DB .DC .DC. AC b = − = − GJJJG JJJG JJJG G ⇒ a aAB AD .(AC AD) .AD .AC b b − = − − = − G GJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G G a b G G . ⇒ b .a a .bAD a . b += G G G GJJJG G G 3. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C. Dùng ph−ơng pháp véc tơ, hãy chứng minh : cosA + cosB + cosC ≤ 3 . 2 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. Lời giải Chọn lần l−ợt là các véc tơ đơn vị cùng h−ớng với các véc tơ 1 2 3e , e , e G G G C, CA. JJG JJJG AB, B JJJG J . 1. Ta có ( 21 2 3e , e , e ) 0≥ G G G hay : 2 2 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1e e e 2(e e e e e e ) 0+ + + + + ≥ G G G G G G G G G Nh−ng 2 2 2 1 2 3e e e= = = G G G 1 2e .e cos( B) cos B= Π − = − G G 2 3e .e cos( C) cos C= Π − = − G G 3 1e .e cos( A) cos A= Π − = − G G Nh− vậy : 3 − 2(cosA + cosB + cosc) ≥ 0 4 hay cosA + cosB + cosC ≤ 3 . 2 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 1 2 3e e e 0+ + = G G G G , hay tam giác ABC đều. 4. ứng dụng véc tơ để chứng minh bất đẳng thức : Cho a1, a2, ..., an ; b1, b2, ..., bn là 2n số tùy ý. Hãy chứng minh 2 2n n 2 2 k k k k k 1 k 1 k 1 a b a b = =   + ≥ +      ∑ ∑ ∑ n =  Lời giải. Đặt O(0, 0), Mk(ak, bk), k = 1, 2, ..., n. Ta có : có tọa độ là (a n k k 1 OM = ∑ JJJJG 1 + ... + an, b1 + ... + bn). Theo tính chất của véc tơ, ta có : n n k k k 1 k 1 OM OM = = ≤∑ ∑JJJJG JJ GJJ hay 2 2n n n 2 2 k k k k 1 k 1 k 1 a b a = = =    + ≤         ∑ ∑ ∑ kb+ III − Bài tập tự giải 1. Đề thi Đại học giao thông vận tải (1998) Cho hình thang cân ABCD, AB // CD. Đặt n oAB a, AD b, BAD 60 .= = =JJJG G JJJG G Hãy biểu diễn véc tơ BC theo a v . Tìm quan hệ giữa độ dài à b a G và b G để AC BD.⊥ JJJG G G JJJG JJJG Đáp số : 3 1 a b 2 +=G G . 2. o ABC là hình bình hành, m là m t số d−ơng. Lấy điểm M sao cho . Lấy điểm N sao cho Ch D ộJJJG JJJJG DC m.DM= DB (m 1)DN= + . Chứng minh rằng khi m thay đổi, đ−ờng thẳng MN luôn đi qua điểm cố định. JJJG JJJG 3. Cho tam giác ABC, đặt a = BC, b = CA và c = AB. Chứng minh rằng 5 a.IA b.IB c.IC 0,+ + =JJG JJG JJG G ở đó I là tâm vòng tròn nội tiếp tam giác ABC. 4. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3). Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC có thể tính theo công thức : dt(∆ABC) = 2 1 3 1 2 1 3 1 x x x x gttđ y y y y − − − − ở đó : gttđ là viết tắt của "giá trị tuyệt đối". 5. Các đề 65, 101, 104 câu hình học Va, bộ đề thi tuyển sinh. Nhà xuất bản Giáo dục, 1996. 6