Chuyên đề Xác định đa thức

a.Kiến thức Để xác định một đa thức,ta thường dùng : Phép chia đa thức Phương pháp hệ số bất định Phương pháp giá trị riêng kết hợp với việc giải một hệphương trình Phương pháp nội suy Niutơn Phương pháp nội suy niutơn: ( Định lí Bơ-zu: Phần dư trong trong phép chia đa thức F(x) cho nhị thức bậc nhất x – a ,bằng giá trị của đa thức tại điểm a, tức là F(a). ) Phương pháp nội suy Niutơn: Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của đa thức tại n + 1 điểm C1,C2,C3,… ,Cn + 1 ta có thể biểu diễn P(x) dưới dạng : P(x) = b0 + b1(x – C1) + b2(x – C1)(x – C2) + … + bn(x – C1) … (x – Cn) Bằng cách thay thế x lần lượt bằng các giá trị C1,C2,C3,… ,Cn + 1 vào P(x) ta lần lượt tính được các hệ số b0,b1, … ,bn. Ví dụ : Tìm đa thức bậc hai P(x) biết : P(0) = 25, P(1) = 7, P(2) = - 9 Giải: Đặt ( Theo công thức nội suy Niutơn): P(x) = b0 + b1( x – 0) + b2(x – 0)(x – 1) = b0 + b1x + b2x(x – 1) (1) Thay x lần lượt bằng 0,1,2, vào (1) ta được: 25 = b0 7 = 25 + b1 => b1 = -18 -9 = 25 – 18.2 + b2.2.1 => b2 = 1. Vậy đa thức cần tìm có dạng : P(x) = 25 – 18x + x(x - 1) úP(x) = x2 – 19x + 25 b.Bài tập Bài 1. Tìm một đa thức bậc hai, cho biết p(0) = 19, p(1) = 5, p(2) = 1995. Bài 3. Tìm một đa thức bậc 3 cho biết : p(0) = 10 ,p(1) = 12, p(2) = 4 , p(3) = 1. Bài 4. Tìm một đa thức bậc 3 P(x) ,cho biết khi chia đa thức p(x) cho các đa thức (x - 1) ,(x - 2),(x - 3) đều được dư là 6 và p(-1) = -18.( Gợi ý: Từ giả thiết xác định P(1);P(2); P(3) ) Bài 5. Cho đa thức bậc 4 p(x) thoả mãn : P(-1) = 0 và p(x) – p(x – 1 ) = x (x + 1)(2x + 1) Xác định p(x). Suy ra giá trị của tổng : S = 1.2.3 + 2.3.5 + … + n.(n + 1)(2n + 1) (Gợi ý : Từ điều kiện xác định P(0); P(-2); P(1); P(2) ) Bài 6. Tìm một đa thức bậc hai,cho biết : p(0) = 19, p(1) = 85; p(2) = 1985 Bài 7. Cho đa thức : p(x) = x4+x3-x2 + ax + b và Q(x) = x2 + x – 2. Xác định a,b để p(x) chia hết Q(x). (Gợi ý : Có thể dùng phép chia rồi tìm cách cho dư bằng 0 với mọi x ) Bài 8. Xác định a và b sao cho đa thức P(x) = ax4 + bx3 + 1 chia hết cho Q(x) = (x- 1)2. ( Như bài7 ) Bài 9. Cho đa thức P(x) = 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x + 2 và Q(x) = x2 – x + b. Xác định a và b để P(x) chia hết cho Q(x) ( Gợi ý : Có thể làm như bài 8 ) Bài 10. Cho biết đa thức P(x) thoả mãn : P(x) chia cho x + 3 còn dư là 1 P(x) chia cho x - 4 còn dư là 8 P(x) chia cho (x + 3)(x – 4) thì được thương là 3x còn dư . Xác định P(x). (Gợi ý : Dùng pp xét giá trị riêng; chú ý xác định bậc của đa thức dư ở điều kiện chia cuối) Bài 11. Với giá trị nào của a và b thì đa thức x3 + ax2 + 2x + b chia hết cho đa thức:x2 + x + 1 Bài 12. Cho đa thức P(x) x4 + ax2 + 1 và Q(x) = x3 + ax +1 . Xác định a để P(x) và Q(x) có nghiệm chung. ( Gợi ý : Gọi nghiệm chung là xo ; xét hiệu P(x0) – x0Q(x0), tìm được x0 thì có tìm được a ? ) Bài 13. Xác định đa thức dư trong phép chia đa thức P(x) = 1 + x + x9 + x25 + x49+ x81 cho đa thức Q(x) = x3 – x. ( Gợi ý : Thử tìm cách thêm bớt để tach P(x) thành các tổng có chứa Q(x) )