Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS tỉnh Thái Bình Năm học 2007-2008

Sở Giáo dục - Đào tạo Thái Bình Đề chính thức Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THcs Năm học 2007-2008 Hướng dẫn chấm môn Toán (Hướng dẫn này có 06 trang) Bài ý Nội dung Điểm 1 Ta có vì với 0,50 là số lẻ 0,25 Nếu 0,50 Nếu Phương trình có nghiệm nguyên (1) 0,25 (2) 0,50 Từ (1) và (2) ta được mà lẻ nên ta có hoặc (loại) 0,75 Vậy phương trình có 3 nghiệm nguyên là ; ; 0,25 2 a) Ta có phương trình hoành độ giao điểm là: 0,25 (1) 0,25 (d) và (P) chỉ có 1 điểm chung Phương trình (1) chỉ có 1 nghiệm duy nhất 0,25 Khi đó (d) là tiếp tuyến của (P) có phương trình 0,25 Vẽ (d) và (P) trên cùng một mặt phẳng toạ độ y 1 x 0 m 0,50 Đường thẳng (d): song song với đường thẳng và cắt trục tung tại điểm có tung độ 0,25 Dựa vào đồ thị thì đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ dương 0,25 b) Xét phương trình: (2) Đặt ta có phương trình (3) 0,25 Theo kết quả câu a) phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt dương 0,50 Khi đó 4 nghiệm của phương trình là: ; 0,25 3 3 a) Nếu phương trình đã cho có dạng Lúc đó theo giả thiết phương trình có nghiệm duy nhất 0,50 Nếu phương trình đã cho có dạng Ta có (*) 0,50 Mặt khác lúc đó (**) 0,50 Từ (* và (**) ta có phương trình có nghiệm. 0,50 b) Bất phương trình đã cho Nhưng , nên 0,50 Theo bất đẳng thức Cô si ta có 0,50 Vậy bất phương trình có nghiệm 0,50 Suy ra Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm 0,50 4 Hệ đã cho 0,50 Cộng từng vế ta được 0,50 Nếu ta có hệ 0,50 Nếu ta được thoả mãn hệ đã cho Vậy nghiệm của hệ là 0,50 5 C B O P H K A Ta có BOC = 2BAC = 900 BKC = BHC = 900 Suy ra 5 điểm B, K, O, H, C cùng nằm trên đường tròn đường kính BC 0,50 Lúc đó KOH = 1800 – KCH = 1800 - 450 (vì tam giác KAC vuông cân ở K) = 1350 0,50 Mà KOH = KPH (do đối xứng) KPH = 1350 KAH + KPH = 1800 tứ giác KAHP nội tiếp 0,50 Theo định lí Pơtôlêmê ta có AP.KH = AH.PK + AK.PH = AH.OK + AK.OH (do đối xứng) = a2 AP.KH = a2 0,50 Tam giác AHB vuông cân tại H nên HB = HA Mặt khác OA = OB = R Suy ra OH là trung trực của AB 0,25 Lúc ấy OHAB, nhưng CKAB nên OH // CK mà tứ giác CKOH nội tiếp nên nó là hình thang cân. Vậy KH = OC = R 0,50 Do đó 0,25 6 áp dụng các bất đẳng thức với Ta có 0,50 Suy ra Tương tự Cộng từng vế ta được 0,50 Mà (vì ) suy ra 0,50 áp dụng các bất đẳng thức với ta có 0,50 (vì ) 0,50 suy ra Dấu (=) xẩy ra tam giác ABC đều. 0,50 7 Gọi các đỉnh của ngũ giác là Ai(xi; yi) với xi; yi là những số nguyên với i = 1, 2, 3, 4, 5. 0,50 Cặp số (xi; yi) chỉ có thể là một trong các dạng sau: (2m; 2m’); (2n+1; 2n’); (2p+1; 2p’+1); (2q; 2q’+1). Với m, m’; n, n’; p, p’; q, q’ là những số nguyên. 0,50 Do đa giác chỉ có 5 đỉnh nên theo nguyên lí Đirichlê có ít nhất 2 đỉnh có toạ độ thuộc 1 trong 4 dạng trên. 0,50 Khi đó trung điểm đoạn thẳng nối 2 đỉnh đó có toạ độ nguyên. Do ngũ giác là lồi nên điểm này nằm bên trong hoặc trên cạnh của ngũ giác. 0,50 Hướng dẫn chung ợ Trên đây chỉ là các bước giải và khung điểm bắt buộc cho từng bước, yêu cầu thí sinh phải trình bày, lập luận và biến đổi hợp lý mới được công nhận cho điểm. ợ Những cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo biểu điểm. ợ Chấm từng phần. Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.