Đáp án và hướng dãn chấm thi học sinh giỏi thực hành giải toán trên máy tính casio năm học 2007 - 2008

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DÃN CHẤM THI HSG THỰC HÀNH GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2007 - 2008 Đáp án Điểm Câu 1.( 5 điểm) a) Gọi số tiền vay của người đó là N đồng, lãi suất m% trến tháng, số tháng vay là n, số tiền phải đều đặn trả vào ngân hàng hàng tháng là A đồng. - Sau tháng thứ nhất số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là: N – A đồng. - Sau tháng thứ hai số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là: [N– A ]– A = N– A[+1]đồng. - Sau tháng thứ ba số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là: {N– A[+1]}– A = N– A[++1] đồng Tương tự : Số tiền gốc còn lại trong ngân hàng sau tháng thứ n là : N– A[++...++1] đồng. Đặt y = , thi ta có số tiền gốc còn lại trong ngân hàng sau tháng thứ n sẽ là: Nyn – A (yn-1 +yn-2 +...+y+1). Vì lúc này số tiền cả gốc lẫn lãi đã trả hết nên ta có : Nyn = A (yn-1 +yn-2 +...+y+1) Þ A = = Thay bằng số với N = 50 000 000 đồng, n = 48 tháng, y = 1,0115 ta có : A = 1.361.312,807 đồng. b) Nếu vay 50 triệu đồng ở ngân hàng khác với thời hạn như trên, lãi suất 0,75% trên tháng trên tổng số tiền vay thì sau 48 tháng người đó phải trả cho ngân hàng một khoản tiền là: 50000000 + 50000000 x 0,75% x 48 = 68 000 000 đồng. Trong khi đó vay ở ngân hàng ban đầu thì sau 48 tháng người đó phải trả cho ngân hàng một khoản tiền là: 1.361.312,807 x 48 = 65 343 014,74 đồng. Như thế việc vay vốn ở ngân hàng thứ hai thực sự không có lợi cho người vay trong việc thực trả cho ngân hàng. Câu 2.( 5 điểm) Vì hai số gần nhau có tận cùng bằng 39 hơn kém nhau 100 và 139 không phải là ước của số đã cho, nên ta thực hiện phép thử bằng cách ghép lệnh tính liên tiếp trên máy Casiô 500MS như sau: Nhập 39 SHIFT STO A ALPHA A + 100 SHIFT STO A Đưa trỏ về cuối dòng ấn: ALPHA : 3739071 ¸ ALPHA A rồi ấn = liên tiếp cho đến khi có kết quả thương nguyên, ta nhận thấy số : 4739 là ước của số 3739071. Câu 3. ( 5 điểm) Chia Chia P(x) cho x – a được thương là Q(x) và dư R thì ta có : P(x) = (x – a )Q(x) +R Þ P(a) = ( a – a ) Q(a) + R = R . Như vậy dư của phép chia đa thức P(x) khi chia cho nhị thức x – a chính là giá trị của đa thức P(x) tại x = a .Do đó, nếu P(x) cho x – 2, x – 3 , x – 4 lần lượt có số dư là 28, 42, 56 thì P(2) = 28, P(3) = 42, P(4) = 56. Đặt G(x) = P(x) – 14x , ta có : Þ G(x) = (x – 2)( x – 3)( x – 4 )(x – a ) Suy ra : Câu 4.( 5 điểm)Số = 300307 + = 63.4766 + 49 +. Vì 63 nên 49 + 63 Vì 63 = 9.7 và 49 là bội của 7 nên suy ra 7 Þ 7 Þ 100x + y 7 Þ 2x +y 7 Þ ( x; y ) = ( 0;7), ( 1; 5), ( 2; 3 ) , ( 3; 1), ( 3; 8 ), ( 4; 6), ( 5; 4 ), ( 6; 2), ( 7; 7 ), ( 8; 5), ( 9; 3). Lần lượt thay các cặp giá trị x và y vào biểu thức Ta nhận thấy các cặp số( x; y ) = ( 2; 3 ), (7; 7) làm cho biểu thức nguyên. Vậy các số thoả yêu cầu bài toán là : 302337 và 307377. Câu 5.( 6 điểm) a) Phương trình đã cho có nghiệm là x = khi và chỉ khi : Û 64 - 48+180 -15 + 31a – 8a +4b - b - 1 = 0 Û ( 31a +4b + 223 ) – ( 8a + b +63 ) = 0 Û b) Với a = - 9, b = 9 phương trình (1) thành: x3 - 9x2 + 9x - 1 =0 ( 1) tương đương với : ( x – 1 )( x2 – 8 x + 1 ) = 0 Û Phương trình: x2 – 8 x + 1 = 0 Û x2 – 8 x +16 = 15Û ( x – 4 )2 = 15 Û x – 4 = Û x = 4 . Do đó phương trình đã cho có ba nghiệm, không mất tính tổng quát ta gọi ba nghiệm đó là : x1 = 1, x2 = 4 + , x3 = 4 – . Khi đó ta có Sn = 1 + + Đặt Tn = +. Để ý rằng x2+ x3 = 8 và x2x3 = 1,nên ta có : Tn+2 = (x2+ x3 )( +) – ( x2+x3) = 8 Tn+1 – x2x3( +) = 8 Tn+1 – Tn . Như vậy Tn+2 = 8 Tn+1 – Tn (*). Để ý rằng : T0 = 2, T1 = 8 nên từ (*) ta có T n Î Z, "n Î N Þ Sn Î Z, "n Î N – ( đpcm). c) Từ (*) ta nhận thấy Tn+2 º Tn ( mod 8) ÞT2007 º T2005 º T2003 º ... º T1=8 º 0( mod 8) Þ S2007 = 1 + T2007 º 1 ( mod 8). Vậy số dư khi chia S2007 cho 8 là 1. Câu 6. ( 5 điểm) Tổng các hệ số của đa thức Q(x) là giá trị của đa thức tại x = 1. Gọi tổng các hệ số của đa thức là A, ta có : A = Q(1) = ( 3+2-7)64 = 264. Để ý rằng : 264 = = . Đặt 42949 = X, 67296 = Y, ta có : A = ( X.105 +Y)2 = X2.1010 + 2XY.105 + Y2 . Tính trên máy kết hợp với giấy ta có: X2.1010 = 1 8 4 4 6 1 6 6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2XY.105 = 5 7 8 0 5 9 1 8 0 8 0 0 0 0 0 Y2 = 4 5 2 8 7 5 1 6 1 6 A = 1 8 4 4 6 7 4 4 0 7 3 7 0 9 5 5 1 6 1 6 Câu 7.( 6 điểm) Gọi số ngày thực hiện xay thóc của ba máy theo thứ tự là a,b,c ngày; số giờ mỗi máy thực hiện xay trong ngày là m,n,p giờ, công suất của mỗi máy theo thứ tự là x,y,z tấn / giờ. X,Y,Z là tổng số tấn thóc mà mỗi máy xay được . Ta có : X = xam, Y = ybn, Z = cpz. Vì số ngày thực hiện xay của ba máy tỉ lệ với 6,7 và 8; số giờ xay tỉ lệ với 4,5, 6; công suất của ba máy lại tỉ lệ nghịch với 9, 8 và 7, nên ta có : (1) ; (2) và 9x = 8y = 7z (3) Từ (3) suy ra x:y:z = = 56:63:72 Þ (4). Từ (1),(2),(4) ta có : Þ ( 5). Theo bài ra ta lại có máy I xay ít hơn máy II số thóc 861 tấn nên ta có : Y – X = 861(6). Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , từ (5) và (6) ta có : Þ . Vậy Số tấn thóc xay được của ba máy theo thứ tự là : 1334 tấn, 2205 tấn, 3456 tấn. Câu 8. ( 5 điểm) Chia 77 cho 52 ta được: =1,480769231. Như vậy ta đã có được 8 chữ số thập phân đầu tiên chắc chắn của số là: 4,8,0,7,6,9,2,3. Ta tìm các chữ số thập phân tiếp theo của số đã cho bằng cách sửa lại trên màn hình máy tính thành: 77 – 52 x 1,48076923 rồi ấn = được kết quả: 0,00000004. Chia 4 cho 52 ta được : 0,076923076. Ta có thêm 8 chữ số tiếp theo ở phần thập phân của só đã cho là: 0,7,6,9,2,3,0,7 Ta có : =1,4807692307692307... Tiếp tục tìm dư của phép chia vừa rồi bằng cách sửa lại trên màn hình máy tính thành: 4-52 x 0,07692307 rồi ấn = ta được số : 0,00000036. Tiếp tục chia 36 cho 52 ta có kết quả: 0,692307692. Ta có thêm 8 chữ số tiếp theo ở phần thập phân của số đã cho là : 6,9,2,3,0,7,6,9. Ta lại có: =1,4807692307692307692307692.... Đến đây ta nhận thầy= 1,48(076923). Chu kỳ có 6 chữ số. 2007 º 3 ( mod 6) Þ 20072008 º 32008 (mod 6 ). Vì 32008 = ( 6 – 3 )2008 º 3 ( mod 6) . Như vậy nếu tính từ khởi đầu chu kỳ trở đi thì chữ số thứ 20072008 là chữ số thứ 3 của chu kỳ và nếu tính từ dấu phẩy trở đi thì chữ số thứ 20072008 là chữ số 0. Câu 9. ( 4 điểm) Sử dụng máy tính Casio 570 MS, Gán số 1 cho các biến X,B,C. Viết vào màn hình của máy dãy lệnh: X=X+1: A = 1û X : B = B + A : C = Ö (CB rồi thực hiện ấn phím = liên tiếp cho đến khi X = 30, lúc đó ta có kết quả gần đúng chính xác đến 6 chữ số thập phân của S là: S » 3,960077. Câu 10. ( 4 điểm) Gọi a,b,g là góc tạo bởi các đường thẳng y = 2x+5, y = -2x+3 và y = x -1 với Ox . ta có : tga = 2; tg( 180o -b ) = 2 và tg = . Sử dụng máy tính có chức năng tính được các góc có tỉ số lượng giác cho trước, ta tính được: a » 63o26’5,82”, 180o - b » 63o26’5,82” và g » 18o26’5,82”. A = 180o - 2a = 53o7’48,37” . B = a - g » 63o26’5,82” - 18o26’5,82” = 45o. C = 180o – (A + B ) » 81o52’11,64” 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 3 đ 2đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ 0,5đ 0,5đ 1đ 0,5đ 1đ 1đ 0,5đ 1đ 1đ 1đ 1đ 2đ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ 0,5đ 1đ 0,5đ 1đ 1đ 1đ 3đ 1đ 1đ 1đ 2đ Ghi chú: Thí sinh có cách giải khác, lập luận chặt chẽ , lôgich và đúng kết quả của từng câu thì vẫn cho điểm tối đa câu đó.