Đề cương ôn tập học kỳ I môn toán lớp 9

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKI MÔN TOÁN LỚP 9 Phần A- Đại số Chương I CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA Œ Kiến thức cơ bản: 1. Điều kiện tồn tại : có nghĩa 2. Hằng đẳng thức: 3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương: 4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương: 5. Đưa thừa số ra ngoài căn: 6. Đưa thừa số vào trong căn: 7. Khử căn thức ở mẫu: 8. Trục căn thức ở mẫu:  Bài tập:  Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) ‚ Rút gọn biểu thức Bài 1 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) Bài 2 1) 2) 3) 4) - 5) + 6) ƒ Giải phương trình: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN: A.Các bước thực hiên:  Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu được) ‚Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại. ƒQuy đồng, gồm các bước: + Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất. + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng. + Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung. „Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức. …Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng. †Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên). ‡Rút gọn. B.Bài tập luyện tập: Bài 1 Cho biểu thức : A = với ( x >0 và x ≠ 1) a) Rút gọn biểu thức A; b) Tính giá trị của biểu thức A tại . Bài 2. Cho biểu thức : P = ( Với a 0 ; a 4 ) a) Rút gọn biểu thức P; b)Tìm giá trị của a sao cho P = a + 1. Bài 3: Cho biểu thức A = a)Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa; b)Rút gọn biểu thức A; c)Với giá trị nào của x thì A< -1. Bài 4: Cho biểu thức A = ( Với ) a) Rút gọn A; b) Tìm x để A = - 1. Bài 5: Cho biểu thức : B = a) Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B; b) Tính giá trị của B với x =3; c) Tìm giá trị của x để . Bài 6: Cho biểu thức : P = a) Tìm TXĐ; b) Rút gọn P; c) Tìm x để P = 2. Bài 7: Cho biểu thức: Q = ( a) Tìm TXĐ rồi rút gọn Q; b) Tìm a để Q dương; c) Tính giá trị của biểu thức biết a = 9- 4. Bài 8: Cho biểu thức: M = a) Tìm ĐKXĐ của M; b) Rút gọn M. Tìm giá trị của a để M = - 4. Bài 9 : Cho biểu thức : K = a) Tìm x để K có nghĩa; b) Rút gọn K; c) Tìm x khi K= ; d) Tìm giá trị lớn nhất của K. Bài 10 : Cho biểu thức: G= a)Xác định x để G tồn tại; b)Rút gọn biểu thức G; c)Tính giá trị của G khi x = 0,16; d)Tìm gía trị lớn nhất của G; e)Tìm x Î Z để G nhận giá trị nguyên; f)Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dương; g)Tìm x để G nhận giá trị âm; Bài 11 : Cho biểu thức: P= Với x ≥ 0 ; x ≠ 1 a)Rút gọn biểu thức trên; b)Chứng minh rằng P > 0 với mọi x≥ 0 và x ≠ 1. Bài 12 : cho biểu thức Q= a)Tìm a dể Q tồn tại; b)Chứng minh rằng Q không phụ thuộc vào giá trị của a. Bài 13: Cho biểu thức : A= a)Rút gọn A b)Tìm các số nguyên dương x để y = 625 và A < 0,2 Bài 14:Xét biểu thức: P= (Với a ≥0 ; a ≠ 16) 1)Rút gọn P; 2)Tìm a để P =-3; 3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố. Chương II HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT I. HÀM SỐ: Khái niệm hàm số * Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số. * Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng. II. HÀM SỐ BẬC NHẤT: Œ Kiến thức cơ bản:  Định nghĩa: Hàm số bậc nhất có dạng: , trong đó a; b là các số cho trước Như vậy: Điều kiện để hàm số dạng: là hàm số bậc nhất là: Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 – m)x - 2 (1) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) là hàm số bậc nhất. Giải: Hàm số (1) là bậc nhất ‚ Tính chất: + TXĐ: + Đồng biến khi . Nghịch biến khi Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 – m)x - 2 (2) Tìm các giá trị của m để hàm số (2): + Đồng biến trên R; + Nghịch biến trên R. Giải: + Hàm số (2) đồng biến ; + Hàm số (2) nghịch biến . ƒ Đồ thị: + Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc nhất là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b. cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng . + Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y = ax+b: Cho x = 0 => y = b => điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b. Cho y = 0 => x = => điểm (;0) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b. Đường thẳng qua hai điểm (0;b) và ( ;0) là đồ thị hàm số y = ax + b Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + 1 Giải: Cho x = 0 => y =1 => điểm (0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1 Cho y = 0 => x = => điểm ( ;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1 Đường thẳng qua hai điểm (0;1) và ( ;0) là đồ thị hàm số y = 2x + 1 „ Điều kiện để hai đường thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, : + Cắt nhau: (d1) cắt (d2). */. Để hai đường thẳng cắt nhau trên trục tung thì cần thêm điều kiện . */. Để hai đường thẳng vuông góc với nhau thì : + Song song với nhau: (d1) // (d2). + Trùng nhau: (d1) (d2). Ví dụ: Cho hai hàm số bậc nhất: y = (3 – m)x + 2 (d1) y = 2x – m (d2) a)Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số song song với nhau; b) Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau; c) Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Giải: a)(d1)//(d2) b) (d1) cắt (d2) c) (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung … Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b là a. + Cách tính góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lượng giác -Trường hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là góc nhọn. -Trường hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là góc tù () Ví dụ 1: Tính góc tạo bởi đường thẳng y = 2x + 1 với trục Ox Giải: Ta có: Vậy góc tạo bởi đường thẳng y = 2x + 1 với trục Ox là: Ví dụ 2: Tính góc tạo bởi đường thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox. Ta có: Vậy góc tạo bởi đường thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox là: † Các dạng bài tập thường gặp: - Dạng1: Xác dịnh các giá trị của các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng song song; cắt nhau; trùng nhau. Phương pháp: Xem lại các ví dụ ở trên. -Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b ¤Xác định toạ độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, Phương pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phương trình ta tìm được giá trị của x; thay giá trị của x vào (d1) hoặc (d2) ta tính được giá trị của y. Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đường thẳng. ¤Tính chu vi - diện tích của các hình tạo bởi các đường thẳng: Phương pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py- ta -go để tính độ dài các đoạn thẳng không tính trực tiếp được. Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh. + Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S. -Dạng 3: Tính góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox Xem lại các ví dụ ở trên. -Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị: Phương pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b. Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không? Thay giá trị của x1 vào hàm số; tính được y0. Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị. Nếu y0y1 thì điểm M không thuộc đồ thị. -Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng: Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1). Phương pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta được phương trình y0 = ax0 + b (1) + Thay x1; y1 vào y = ax + b ta được phương trình y1 = ax1 + b (2) + Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của a và b. + Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta được phương trình đường thẳng cần tìm. -Dạng 6: Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy: Ví dụ: Cho các đường thẳng : (d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Với m 1; m -1 ) (d2) : y = x +1 (d3) : y = -x +3 a) C/m rằng khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua 1điểm cố định . b) C/m rằng khi d1 //d3 thì d1 vuông góc d2 c) Xác định m để 3 đường thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui Giải: a) Gọi điểm cố định mà đường thẳng d1 đi qua là A(x0; y0 ) thay vào PT (d1) ta có : y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Với mọi m => m2(x0+1) -(x0 +y0 +5) = 0 với mọi m ; Điều này chỉ xảy ra khi : x0+ 1 = 0 x0 + y0 + 5 = 0 suy ra : x0 = -1 y0 = - 4 Vậy điểm cố định là A (-1; - 4) b) +Ta tìm giao điểm B của (d2) và (d3) : Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1 Thay vào y = x +1 = 1 +1 =2 Vậy B (1;2) Để 3 đường thẳng đồng qui thì (d1) phải đi qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = 2 vào pt (d1) ta có: 2 = (m2 -1) .1 + m2 -5 m2 = 4 => m = 2 và m = -2 Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thì 3 đường thẳng trên đồng qui.  Bài tập: Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( 2 + m )x + 1 và (d2): y = ( 1 + 2m)x + 2 1) Tìm m để (d1) và (d2) cắt nhau . 2) Với m = – 1 , vẽ (d1) và (d2) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) bằng phép tính. Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a . Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao? Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x + m + 3 đi qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao? Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – 2 ;(mvà y = (2 - m)x + 4 ;. Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng trên: a)Song song; b)Cắt nhau . Bài 5: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt nhau tại một điểm trên trục tung .Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với (d’): y = và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 10. Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua điểm A(2;7). Bài 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3). Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = và (d2): y = a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm)? Bài 9: Cho các đường thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m0 (d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9) a; Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2) b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2 c; C/m rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm cố định B . Tính BA ? Bài 10: Cho hàm số : y = ax +b a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2) b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc µ tạo bởi đường thẳng trên với trục Ox ? c; Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với đường thẳng y = - 4x +3 ? d; Tìm giá trị của m để đường thẳng trên song song với đường thẳng y = (2m-3)x +2 Phần B - HÌNH HỌC Chương I. HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VUÔNG  Hệ thức giữa cạnh và đường cao:‚Hệ thức giữa cạnh và góc: + + + + + + + ¤Tỷ số lượng giác: ¤Tính chất của tỷ số lượng giác: 1/ Nếu Thì: 2/Với nhọn thì 0 < sin < 1, 0 < cos < 1 *sin2 + cos2 = 1 *tg = *cotg= *tg . cotg=1 ¤Hệ thức giữa cạnh và góc: + Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Sin góc đối: + Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Cos góc kề: + Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Tg góc đối: + Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Cotg góc kề: Bµi TËp ¸p dông: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết b = 4 cm, c = 3 cm. Giải tam giác ABC Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có b’ = 7, c’ = 3. Giải tam giác ABC? Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có b = 4, b’ = 3.2. Giải tam giác ABC? Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH = 4.8, BC =10. Giải tam giác ABC? Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có h = 4, c’ = 3. Giải tam giác ABC? Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có b = 12, a = 20. Giải tam giác ABC? Bài7: Chotam giác ABC vuông tại A có h = 4, c = 5. Giải tam giác ABC? Bài 8: Cho tam giác ABC vuông có A = 900, b = 5, B = 400. Giải tam giác ABC? Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có a = 15, B = 600. Giải tam giác ABC? Bài 10:Cho tam giác ABC vuông tại A có AH = 3, C = 400. Giải tam giác ABC? Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A có c’ = 4, B = 550. Giải tam giác ABC? Bài 12: Chotam giác ABC vuông tại A, có trung tuyến ứng với cạnh huyền m= 5, h = 4. Giải tam giác ABC? Bài13: Chotam giác ABC vuông tại A, trung tuyến ứng với cạnh huyền m= 5, một góc nhọn bằng 470. Giải tam giác ABC? Chương II. ĐƯỜNG TRÒN: .Sự xác định đường tròn: Muốn xác định được một đường tròn cần biết: + Tâm và bán kính,hoặc + Đường kính( Khi đó tâm là trung điểm của đường kính; bán kính bằng 1/2 đường kính) , hoặc + Đường tròn đó đi qua 3 điểm ( Khi đó tâm là giao điểm của hai đường trung trực của hai đoạn thẳng nối hai trong ba điểm đó; Bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến một trong 3 điểm đó) . ‚ Tính chất đối xứng: + Đường tròn có tâm đối xứng là tâm của đường tròn. + Bất kì đường kính vào cũng là một trục đối xứng của đường tròn. ƒ Các mối quan hệ: 1. Quan hệ giữa đường kính và dây: + Đường kính (hoặc bán kính) Dây Đi qua trung điểm của dây ấy. 2. Quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây: + Hai dây bằng nhau Chúng cách đều tâm. + Dây lớn hơn Dây gần tâm hơn. „Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn: + Đường thẳng không cắt đường tròn Không có điểm chung d > R (d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng; R là bán kính của đường tròn). + Đường thẳng cắt đường tròn Có 2 điểm chung d < R. + Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn Có 1 điểm chung d = R. … Tiếp tuyến của đường tròn: 1. Định nghĩa: Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với đường tròn đó. 2. Tính chất: Tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kính (tiếp điểm) 3.Dấu hiệu nhhận biết tiếp tuyến: Đường thẳng vuông góc tại đầu mút của bán kính của một đường tròn là tiếp tuyến của đường tròn đó. BÀI TẬP TỔNG HỢP HỌC KỲ I: Bài 1 Cho tam giác ABC (AB = AC ) kẻ đường cao AH cắt đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác tại D a/ Chứng minh: AD là đường kính; b/ Tính góc ACD; c/ Biết AC = AB = 20 cm , BC =24 cm tính bán kính của đường tròn tâm (O). Bài 2 Cho ( O) và A là điểm nằm bên ngoài đường tròn . Kẻ các tiếp tuyến AB ; AC với đường tròn ( B , C là tiếp điểm ) a/ Chứng minh: OA BC b/Vẽ đường kính CD chứng minh: BD// AO c/Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết OB =2cm ; OC = 4 cm? Bài 3: Cho đường tròn đường kính AB . Qua C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d với đường tròn . G ọi E , F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A , B đến d và H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chửựng minh: a/ CE = CF b/ AC là phân giác của góc BAE c/ CH2 = BF . AE Bài 4: Cho đường tròn đường kính AB vẽ các tiếp tuyến A x; By từ M trên đường tròn ( M khác A, B) vẽ tiếp tuyến thứ 3 nó cắt Ax ở C cắt B y ở D gọi N là giao điểm của BC Và AO .CMR a/ b/ MN AB c/ góc COD = 90º Bài 5: Cho ñöôøng troøn (O), ñöôøng kính AB, ñieåm M thuoäc ñöôøng troøn. Veõ ñieåm N ñoái xöùng vôùi A qua M. BN caét ñöôøng troøn ôû C. Goïi E laø giao ñieåm cuûa AC vaø BM. a)CMR: NE AB b) Goïi F laø ñieåm ñoái xöùng vôùi E qua M .CMR: FA laø tieáp tuyeán cuûa (O). c) Chöùng minh: FN laø tieáp tuyeán cuûa ñtroøn (B;BA). d/ Chöùng minh : BM.BF = BF2 – FN2 Baøi 6: Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O, ñöôøng kính AB = 2R, M laø moät ñieåm tuyø yù treân nöûa ñöôøng troøn ( M ¹ A; B).Keû hai tia tieáp tuyeán Ax vaø By vôùi nöûa ñöôøng troøn.Qua M keû tieáp tuyeán thöù ba laàn löôït caét Ax vaø By taïi C vaø D. a) Chöùng minh: CD = AC + BD vaø goùc COD = 900 b) Chöùng minh: AC.BD = R2 c) OC caét AM taïi E, OD caét BM taïi F. Chöùng minh EF = R. d) Tìm vò trí cuûa M ñeå CD coù ñoä daøi nhoû nhaát. Baøi 7: Cho ñöôøng troøn (O; R), ñöôøng kính AB. Qua A vaø B veõ laàn löôït 2 tieáp tuyeán (d) vaø (d’) vôùi ñöôøng troøn (O). Moät ñöôøng thaúng qua O caét ñöôøng thaúng (d) ôû M vaø caét ñöôøng thaúng (d’) ôû P. Töø O veõ moät tia vuoâng goùc vôùi MP vaø caét ñöôøng thaúng (d’) ôû N. a/ Chöùng minh OM = OP vaø tam giaùc NMP caân. b/ Haï OI vuoâng goùc vôùi MN. Chöùng minh OI = R vaø MN laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (O). c/ Chöùng minh AM.BN = R2 d/ Tìm vò trí cuûa M ñeå dieän tích töù giaùc AMNB laø nhoû nhaát. Veõ hình minh hoaï. -------------------------------------------------------