Đề cương ôn tập Toán 7 học kỳ 2

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 7 HỌC KỲ II Năm học: 2011-2012 Câu hỏi-bài tập yêu cầu HS luyện giải PHẦN ĐẠI SỐ A. Lý thuyết 1.Các phép toán trong tập hợp Q. 2. Công thức tính luỹ thừa số hữu tỉ ( nhân, chia luỹ thừa cùng cơ số; luỹ thừa của một luỹ thừa, luỹ thừa của một tích, luỹ thừa của một thương) 3.Nêu quy tắc cộng hai số nguyên ( cùng dấu ; khác dấu ) Nêu quy tắc nhân dấu , chia dấu ( cùng dấu , khác dấu ), 4.Nêu quy tắc chuyển vế ; quy tắc bỏ dấu ngoặc 5. Thế nào là biểu thức đại số ? Cách tính giá trị của biểu thức đại số? lấy ví dụ. 6. Đơn thức là gì ?, Đơn thức thu gọn là gì , bậc của đơn thức, Quy tắc nhân hai đơn thức ?, 7. Hai đơn thức đồng dạnglà hai đơn thức như thế nào ? Phát biểu quy tắc cộng, trừ đơn thức đồng dạng ?Cho ví dụ. 7. Đa thức là gì ? Nêu quy tắc cộng trừ hai đa thức ? 8.Thế nào là đa thức một biến? cho ví dụ. Nêu cách cộng trừ đa thức ; đa thức một biến. 9.Khi nào số a là nghiệm của đa thức P(x) ? Cách tìm nghiệm của đa thức? B. Bài tập: I. CÁC PHÉP TÍNH TRÊNTẬP SỐ HỮU TỈ: *Dạng 1: Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ: Kiến thức : 1) Các phép toán trong Q : + Phép cộng: với x; y Î Q và x = ; y = có : x + y = + = +Phép trừ : với x; y Î Q và x = ; y = có : x - y = - = + Phép nhân : với x; y Î Q và x = ; y = có : x . y = . = + Phép cộng và nhân có các tính chất : giao hoán kết hợp và tính chất phân phối giữa phép nhân và phép cộng ‚Ví dụ: Thực hiện phép tính: (bằng cách hợp lí nhất nếu có thể ) a) = b) = c) (-4,2) +(-15,6) + 35 +(-5,8) +(-4,6) = [(-4,2)+(-5,8)]+[-15,6+(-4,6)]+ 35 =-10+(-20,2) + 35 = - 30,2 d)11,2.(-3,5) + 8,8.(-3,5) = (-3,5).( 11,2 + 8,8) = -3,5.20 = -70 ƒ Bài tập tương tự : Bài 1: Thực hiện phép tính ( tính bằng cách hợp lí nhanh nếu có thể) a) b) g) c) d) e) f) Bài 2: Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý nhất: a) b) c) d) e) f) g) p) i) k) q) n) h) u) v) m) „Lưu ý :(nếu có thể vận dụng linh hoạt tính chất các phép tính để lựa chọn cách tính hợp lý cho nhanh kết quả nhất) : … Đáp số : Bài 1-1: a) b) c) d) e) f) ; g) Bài 1-2: Tính bằng cách hợp lý: a); b) c)= d) ; e) ; f) -; g); h) i) k) tương tự kết quả i - m) n) p) q) u) – 5 v) – 49 *Dạng 2: Các phép tính luỹ thừa.  Kiến thức cơ bản : Công thức tính luỹ thừa với số mũ tự nhiên: + Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số : xn . xm = xn+m ( x ÎQ ; m;n ÎN) + Chia hai luỹ thừa cùng cơ số : x n : xm = xn- m ( x ¹ 0 ; n³ m) + Luỹ thừa của một luỹ thừa : ( xn)m = xn.m + Luỹ thừa của một tích : ( x.y)n = xn.xm + Luỹ thừa của một thương : ( y ¹ 0) +Quy ước : x0 = 1 ; x1 = x ‚Ví dụ1: tính : d. 3-2 . e) ‚Ví dụ 2: Thực hiện phép tính: ƒ Bài tập tương tự: Bài 1 : Tính a) b) c) f, (-5,3)0 Bài 2: Thực hiện phép tính: a) b, = c, (-7,5)3:(-7,5)2 = ...... ; d, = e, = ; f (1,5)3.8 = g, (-7,5)3: (2,5)3 = ; h, Bài 3: Tính : a) b) c) d) „Đáp số : Bài 1 : a) b) c)15,625 d) 1 e) 1 f) 0 *Dạng 3:Tính GTBT Hữu tỉ (Thứ tự thực hiện phép tính )  Kiến thức cơ bản : Một số quy tắc ghi nhớ khi làm bài tập a)Quy tắc thực hiện các phép toán trong Q : b)Thứ tự thực hiện phép tính: + Đối với biểu thức không có dấu ngoặc: - Nếu chỉ có phép cộng ,trừ hoặc nhân chia thì thực hịên từ trái phải - - -Nếu có cả phép tính cộng ,trừ, nhân, chia, luỹ thừa thì thực hiện: Luỹ thừa nhân chia cộng trừ + Đối với biểu thức có dấu ngoặc : (...) c) Quy tắc bỏ ngoặc: + Bỏ ngoặc đằng trước có dấu “-” thì đồng thời đổi dấu tất cả các hạng tử có trong ngoặc, + Bỏ ngoặc đằng trước có dấu “+” thì vẫn giữ nguyên dấu các hạng tử trong ngoặc. ‚Ví dụ1: a) Tính: GTBT A === C = Ví dụ 2:.b)Thứ tự thực hiện phép tính : Lưu ý :(nếu có thể vận dụng linh hoạt tính chất các phép tính để lựa chọn cách tính hợp lý nhất cho nhanh kết quả ) : ƒ Bài tập tương tự Bài 1:Thực hiện phép tính: Bài 2: Thực hiện phép tính: a) b) c) 1 d) e) f) g) h) i) k) c, Lớp chọn 7A1 Bài 4. Tính giá trị biểu thức: a, b, c) C = 26 : + : d) B = + : e) „Đáp số : Bài 1: a) 30,2 b) -70 c) 85 d) - 41,8 e) 188,5 f) – 280 g) ; h: i) k) Bài 4: a)=1. b) c) C= e) *Dạng 4: toán tìm x:  Kiến thức cơ bản : a) Quy tắc chuyển vế: Với mọi x, y, z ÎR : x + y = z => x = z – y Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó ‚Ví dụ1 : Tìm x biết: a) b) => x = hoặc x = - c) 1,6- = 0 d) 3x-1 = 81 3x-1 = 34 => x – 1 = 4 => x = 5 e) f) , = Ví dụ2: a)Tìm x ; y biết Giải : luôn có và Do đó 0 chỉ khi Þ x – 5 = 0 Þ x = 5 y – 1 = Þ y = 1 b) Tìm x ; y biết Giải : Ta luôn có và 0 chỉ khi x – 5 = 0 Þ x = 5 và y – 1 = 0 y = 1 c)Tìm số tự nhiên n biết : ƒ Bài tập tương tự Bài 1: Tìm x biết: x – 5 = 0 a) b) c) d) h) e) f) g) i). Bài 2: Tìm x biết: g) h. i. k. m. n. Bài 3: Tìm x và n biết : a/ b/ c) d/ = e/ f/Tìm x, y biết: = và x + y = 22 l)2.16 h) 9.27 i) k) (nN) Bài 4. Tìm x và y biết; 8, a. (x -)50 + (y +)40 = 0 b. (2x – 5)2000 + (3y + 4)2002 = 0 „Đáp số : Bài 1: tìm x biết: a) x = ; b) x = ; c) x = d)x = ; e)x = ; f) x = ; g) x = h)x = i) x = 13 Bài 2: Tìm x biết: a)x = b)x = c)x = d)x = - e)x = f)x = g)x = 50 h)x = i) x = 2 k) x = m) x = n) x = ; . p) x = q) x = u) x = - ; v) Bài 3 : Tìm n: h) i) n = 5 k) n = 5 l) n = 6 Bài 4: a) x= y b, x = ; y = II. ĐƠN THỨC_ĐA THỨC: A. KIẾN THỨC CƠ BẢN : 1) Biểu thức đại số là : Biểu thức ngoài các số, các ký hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa, còn có các chữ ( đại diện cho các số) Người ta gọi những biểu thức như vậy là biểu thức đại số. Ví dụ : 2( 5x2 – 4y) ; xy2 .... 2) Đơn thức : là BTĐS chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến. . Ví dụ : -xyz2 ; ..... ; 0 3) Đơn thức đồng dạng : là các đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến. Ví dụ : 2x3y4  và  ; -... 4) Cách cộng ( trừ) đơn thức đồng dạng : Ta cộng ( trừ) phần hệ số , giữ nguyên phần biến. 5) Đa thức : là tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức là một hạng tử của đa thức đó. Ví dụ : P = 3x2 y – x3 + 2xy - 3 6)Đa thức một biến : là tổng của các đơn thức có cùng một biến. Ví dụ : A(x) = 7y3 - + y2 – 1 7) Nghiệm của đa thức 1 biến: x = a là nghiệm của đa thức f(x) f(a) = 0 B.CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: Thu gọn biểu thức đại số: *Dạng1a: a) Thu gọn đơn thức, tìm bậc, hệ số của đơn thức Phương pháp: B1: Dùng qui tắc nhân đơn thức để thu gọn: + nhân các hệ số với nhau, nhân phần biến với nhau rồi thu gọn phần biến B2: Xác định hệ số, bậc của đơn thức đã thu gọn. + Bậc của đơn thức với hệ số 0 là tổng các số mũ của các biến có mặt trong đơn thức ‚Ví dụ 1: Thu gọn đơn thức, tìm bậc, hệ số. bậc 9 vì tổng các số mũ là 9 và hệ số là 4 Bậc 8 vì tổng các số mũ là 8 và hệ số là - 6 Bài 7: Thu gọn các đơn thức. a. 5x3yy2 c. 5xy2(-3)y. b. a2b3 . 2,5a3 d. 1,5p.q.4p3.q2 Giải: a. 5x3yy2 = 5(y3.y.y2) = 5y6. b. a2b3 . 2,5a3 = a2.a3.b2 = .a5.b6 c. 5xy2(-3)y = - 15xy3. d. 1,5p.q.4p3.q2 = 1,5 .4 (P.P3.q.q2) = 6p4.q3 Ví dụ 2: a) Tính tích các đơn thức sau : 5xy2 ; 0,7y4z và 40x2z3. Giải: 5xy2 . 0,7y4z . 40x2z3 = 5 . 0,7 . 40.x.x2.y2.y4.z.z3 = 196x3y6z b)Phân tích các biểu thức d. 2x12y10 thành tích của hai đơn thức trong đó có một đơn thức là 20x5y2. Giải 2x12y10 = x7y8 . 20x5y2 c) Tính giá trị của đơn thức sau: ax3y6z tại x = - 3; y = - 1; z = 2 Giải: a (- 3)3 .(- 1)6 . 2 = - ƒBài tập tự luyện: Bài 1-1: Cho các đơn thức sau: thu gọn và xác định bậc của đơn thức hệ số,phần biến của chúng: a) xy2 .( - 3y2) b) xy2 . ( 2x2y)3.( xy) c) ( -xz)3.( x2) ( -2x2z2)2 Bài 1-2: Thu gọn các đơn thức sau và tìm bậc, hệ số phÇn biÕn. của đơn thức K = L = Bài1-3 : Thực hiện các phép nhân: b) - 0,5ab(-1a2bc). 5c2b3 c)- 1,2ab.(- 10a2.b.c2). (- 1,5a2c). d) - 0,32a7b4.(-3a3b6) Bài 1-4: Phân tích các biểu thức sau thành tích của hai đơn thức trong đó có một đơn thức là 20x5y2. a. - 120x5y4 b. 60x6y2. c. -5x15y3 Bài 1-5 : Tính giá trị của các đơn thức sau: a. 15x3y3z3 tại x = 2; y = - 2; z = 3. b. - x2y3z3 tại x = 1; y = - ; z = - 2 „Đáp số : Bài 1-1: a) -3xy4 ( bậc 5 ; phần hệ số - 3 ; phần biến xy4) b)-2x8y6 ( bậc 14 ; hệ số - 2; phần biến x8 y6) c)3x9 z7 ( bậc 16 ; hệ số 3; phần biến x9z7 Bài 1-3: b. 3a3c3b5; c. - 1,8a3b2c3; d. 0,04a10b10 Bài 1-4: a) = - 6y2. 20x5y2 b) = 3x. 20x5y2. c) = - x. 20x2y2. Bài 1-5: a.= - 8640. b. = - *Dạng 1 b: b) Thu gọn đa thức, tìm bậc, hệ số cao nhất của đa thức  Kiến thức cơ bản: - Nhận biết được hai đơn thức đồng dạng -Nắm cách cộng hay trừ các đơn thức đồng dạng :( ta cộng hay trừ các hệ số và giữ nguyên phần biến ‚Phương pháp: „…‚ƒ„…†‡Œ Bước 1: Nhóm các hạng tử đồng dạng, tính cộng, trừ các hạng tử đồng dạng. Bước 2: : xác định hệ số cao nhất, bậc của đa thức đã thu gọn. Lưu ý: Khi nhóm ,giữa các nhóm nên đặt dấu cộng để tránh nhầm dấu ‚Ví dụ1: Thu gọn đa thức, tìm bậc, hệ số của đa thức a) = ( đa thức có bậc 3, hệ số 5,5 ) ( Đa thức có bậc 4, hệ số cao nhất là 5 , ( Đa thức có bậc 3, hệ số hệ số cao nhất là 1 , ‚Ví dụ2: Điền đơn thức thích hợp vào ô trống: ƒBài tập tương tự: Bài 2-1: Thu gọn đa thức, tìm bậc, hệ số cao nhất. Bài 2-2 : Tìm bậc của đa thức M biết : M = 2x2y – 4xy3 – 3x2y + 2xy3 = - x2y – 2xy2 M = x2 – 7xy + 8y2 +3xy – 4y2 = x2 – 4xy + 4y2 M= 25x2y – 13xy2 + y3 – 11x2y – 2y3 = 14x2y – 13xy2 – y3 Bài 2-3: Điền đơn thức thích hợp vào ô trống: a) 3x2y + ... = 5 x2y b) ..... - 2 x2 = -7 x2 c) ...... + ..... + x5 = x5 „Đáp số : Bài 2-1: Bài 2-2: a) M = - x2y – 2xy2 b)M = x2 – 4xy + 4y2 c) M = 14x2y – 13xy2 – y Bài 2-3: a) 2 x2y b) -5x2 c) nhiều trường hợp : 3x5 + - x5 + - x5 = x5 DẠNG 2 : Cộng, trừ đa thức nhiều biến Phương pháp: a)Cách1: thông thường: Bước 1: viết phép tính cộng, trừ các đa thức. Bước 2: Bỏ dấu ngoặc (nếu có dấu trừ đằng trước ngoặc sau phải đổi dấu tất cả các hạng tử ở trong ngoặc khi viết ra ngoài dấu ngoặc ) Bước 3: Áp dụng t/chất giao hoán và kết hợp để kết hợp nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau Bước 4: Cộng hay trừ các hạng tử đồng dạng. Thu gọn các hạng tử đồng dạng b) Lưu ý : Cách 2: nếu các đa thức có các hạng tử đồng dạng thì có thể đặt phép cộng theo cột dọc sao cho các hạng tử đồng dạng thẳng cùng một cột rồi thực hiện phép cộng ‚Ví dụ 1: cho M = x2 – 2yz + z2 và N = 3yz – z2 + 5x2. Cộng và trừ hai đa thức sau : M + N và M – N Giải Cách 1: M + N = (x2 – 2yz + z2 ) + (3yz – z2 + 5x2) = ( x2 + 5x2 ) + (z2 – z2) + ( – 2yz + 3yz) = 6 x2 + yz M – N = (x2 – 2yz + z2 ) - (3yz – z2 + 5x2 ) = x2 – 2yz + z2 - 3yz + z2 - 5x2 = (x2 - 5x2 ) + (– 2yz - 3yz ) + (z2 + z2 ) = - 4x2 – 5yz + 2z2. Cách 2: M = x2 – 2yz + z2 N = 5x2 - 3yz – z2 M + N = 6 x2 + yz + 0 M = x2 – 2yz + z2 N = 5x2 - 3yz – z2 M - N = -4 x2 - 5yz +2z2. Cách 2: ‚Ví dụ 2: a)Tìm đa thức M biết : M + y2+ 2xy + x2 + 1 = 2x2 + 2y2 + 1 b)Tìm đa thức N biết: N - (x2 -2xy+y2) = (y2+ 2xy + x2 + 1) Giải: a) M = (2x2 + 2y2 + 1) – (y2+ 2xy + x2 + 1) = 2x2 + 2y2 + 1 - y2- 2xy - x2 - 1 = (2x2 - x2) +( 2y2- y2) -2xy + (1-1) = x2 + y2 – 2xy b)N = (x2 -2xy+y2) + (y2+ 2xy + x2 + 1) = x2- 2xy + y2 + y2 + 2xy + x2 + 1 = ( x2+ x2 ) + (y2 + y2 )+( 2xy - 2xy) + 1 = 2x2 + 2y2 + 1 Giải: b)(3xy – 4y2)- N= x2 – 7xy + 8y2 Cho 2 đa thức : M = 3xyz - 3x2 + 5xy - 1 và N = 5x2 + xyz - 5xy + 3 - y Tính M + N ; N - M Giải M + N = (3xyz-3x2+5xy - 1) + (5x2+xyz -5xy + 3 - y) = 4xyz + 2x2 - y + 2 M - N = (3xyz-3x2+5xy - 1) - (5x2+xyz -5xy + 3 - y) = 3xyz-3x2+5xy - 1 - 5x2 - xyz +5xy - 3 + y = 2xyz + 10xy - 8x2+y - 4. N - M = (5x2+xyz -5xy + 3 - y) - (3xyz-3x2+5xy - 1) = -2xyz - 10xy + 8x2 - y + 4 M + N = (x2 -2xy+y2)+(y2+ 2xy + x2 + 1) = x2- 2xy + y2 + y2 + 2xy + x2 + 1 = 2x2 + 2y2 + 1 M - N = (x2 - 2xy + y2)-(y2+2xy+x2+1) = x2 - 2xy + y2 - y2 - 2xy - x2 - 1 = - 4xy -1 N - M=(y2+2xy+x2 + 1) - (x2 - 2xy + y2) = y2 + 2xy + x2 + 1 - x2 + 2xy - y2 = 4xy + 1 ƒLưu ý : a)M + (Đa thức đã biết ) = Đa thức tổng M = (Đa thức tổng ) - (Đa thức đã biết ) b) M – ( Đa thức trừ ) = Đa thức hiệu M = ( Đa thức hiệu ) + ( Đa thức trừ ) c) (Đa thức bị trừ) – M = Đa thức hiệu M = (Đa thức bị trừ ) – (Đa thức hiệu) „Bài tập tương tự: Bài 4-1 : Tính tổng và hiệu của hai đa thức và tìm bậc của đa thức thu được a) A = 4x2 – 5xy + 3y2; B = 3x2 + 2xy - y2 Tính A + B; A – B b) A = 4x2 – 5xy + 3y2 ; B = 3x2 + 2xy - y2 Bài 2 : Tìm đa thức M, biết : M + (5x2 – 2xy) = 6x2 + 9xy – y2 b) c) M + (3x2 y − 2xy3 ) = 2x2 y − 4xy3 d)M – ( 3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2 e)( 25x2y – 13xy2+ y3 ) – M = 11x2y – 2y3 f) M + ( 12x4 – 15x2y + 2xy2 + 7 ) = 0 Bài 4- 2 : Tìm đa thức M,N biết : a) M + (5x2 – 2xy) = 6x2 + 9xy – y2 b) (3xy – 4y2) - N= x2 – 7xy + 8y2 * Dạng 5: Cộng , trừ đa thức một biến: Phương pháp: Bước 1: thu gọn các đơn thức và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến. Bước 2: viết các đa thức sao cho các hạng tử đồng dạng thẳng cột với nhau. Bước 3: thực hiện phép tính cộng hoặc trừ các hạng tử đồng dạng cùng cột. Chú ý: A(x) - B(x)=A(x) +[-B(x)] Cách 1: Bước 1: Viết phép tính cộng, trừ các đa thức. Bước 2: Áp dung qui tắc bỏ dấu ngoặc. Thu gọn các đơn thức( nếu có ) -Sau đó thực hiện tương tự như các bước ở phép cộng, trừ đa thức nhiều biến. Bước 3: Thu gọn các đơn thức và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến. Cách 2: ( Thực hiện theo cách sắp xếp ) Bước 1: Thu gọn các đơn thức ( nếu có ) và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến. Bước 2: Viết các đa thức sao cho các hạng tử đồng dạng thẳng cột với nhau. Bước 3: Thực hiện phép tính cộng hoặc trừ các hạng tử đồng dạng cùng cột. Chú ý: A(x) - B(x)=A(x) +[-B(x)] ƒLưu ý: để trống hoặc viết số 0 vào chỗ khuyết hạng tử bậc trung gian ‚Ví dụ: Cho P(x) = 2x5+5x4-x3+x2-x-1 Q(x) = -x4 + x3 + 5x+2 a)Tổng P(x)+ Q(x) P(x) = 2x5+5x4-x3+x2 -x-1 Q(x) = -x4 + x3 + 5x+2 = 2x5+ 4x4+ x2 + 4x-1 Cách 2: b) P(x)- Q(x) P(x) =2x5+5x4-x3+x2-x-1 Q(x)= -x4 + x3 +5x+2 =2x5+6x4-2x3+x2- 6x-3 Cách 3 : b)P(x) - Q(x) = P(x) +[-Q(x)] P(x) = 2x5+5x4-x3+x2-x-1 -Q(x) = + x4 - x3 - 5x-2 =2x5+6x4-2x3+x2- 6x-3 ƒBài tập tương tự : Bài 5-1: Cho đa thức a) M(x) = x4+5x3-x2+x-0,5 và N(x) = 3x4 -5x2 - x - 2,5 Tính : M(x) + N(x) và M(x) - N(x) ; N(x) - M(x) b)A(x) = 3x4 – 3/4x3 + 2x2 – 3 B(x) = 8x4 + 1/5x3 – 9x + 2/5 Tính : A(x) + B(x); A(x) - B(x); B(x) - A(x); c) Cho P(x) = x3 - 2x + 1 ; Q(x) = 2x2 – 2x3 + x - 5. Tính: a) P(x) + Q(x); b) P(x)-Q(x) Bài 5- 2: tính tổng và hiệu của hai đa thức sau: a) A(x) = 3x4 – x3 + 2x2 – 3 ; B(x) = 8x4 + x3 – 9x + Tính : A(x) + B(x); A(x) - B(x); B(x) - A(x); b) Tính C(x) + D(x) ; C(x) - D(x) ; D(x) - C(x) c) Tính P(x) + Q(x) ; P(x) - Q(x) ; Q(x) - P(x) Cho hai đa thức: A = x2 + 2xy – y2 – 13. B = 5xy – x2 – 3y2 – 8. a/ Tính : A + B. b/ Tính : A – B. giải A + B = (x2 + 2xy – y2 – 13) + (5xy – x2 – 3y2 – 8) = x2 + 2xy – y2 – 13 + 5xy – x2 – 3y2 – 8 = (x2 – x2) + (2xy + 5xy) + (- y2 – 3y2) + (- 13 – 8) = 7xy – 4y2 – 21 A – B = (x2 + 2xy – y2 – 13) - (5xy – x2 – 3y2 – 8) = x2 + 2xy – y2 – 13 - 5xy + x2 + 3y2 + 8 = (x2 + x2) + (2xy – 5xy) + (- y2 + 3y2) + (- 13 + 8) = 2x2 – 3xy + 2y2 – 5. Cho hai đa thức: M = 5xy – 2y2 – 1 + x2 N = 3y2 + 7xy – 2x2 – 9. a/ Tính : M + N. b/ Tính : M – N. M + N = (5xy – 2y2 – 1 + x2) + (3y2 + 7xy – 2x2 – 9) = 5xy – 2y2 – 1 + x2 + 3y2 + 7xy – 2x2 – 9 = (5xy + 7xy) + (- 2y2 + 3y2) + (x2 – 2x2) + (- 1 – 9) = 12xy + y2 – x2 – 10. M - N = (5xy – 2y2 – 1 + x2) - (3y2 + 7xy – 2x2 – 9) = 5xy – 2y2 – 1 + x2 - 3y2 - 7xy + 2x2 + 9 = (5xy - 7xy) + (- 2y2 - 3y2) + (x2 + 2x2) + (- 1 + 9) = - 2xy – 5y2 + 3x2 + 8 Bài 5-3: Cho các đa thức: f(x) = x3 - 2x2 + 3x + 1 g(x) = x3 + x – 1 h(x) = 2x2 - 1 a) Tính: f(x) - g(x) + h(x) b) Tìm x sao cho f(x) - g(x) + h(x) = 0 Bài 8: Tính hiệu. a. (3x + y - z) - (4x - 2y + 6z) b. (x3 + 6x2 + 5y3) - (2x3 - 5x + 7y3) c. (5,7x2y - 3,1xy + 8y3) - (6,9xy - 2,3x2y - 8y3) Giải: a. (3x + y - z) - (4x - 2y + 6z) = 3x + y - z - 4x + 2y - 6z = - z + 3y - 7z b. Làm giống câu a. c. 5,7x2y - 3,1xy + 8y3 + 2,3x2y - 6,9xy - 8y3 = 8x2y - 10xy Bài 9: Cho đa thức A = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + 1 B = - 2x2 + xy + 2y3 - 3 - 5x + y C = 7y2 + 3x2 - 4xy - 6x + 4y + 5 Tính A + B + C; A - B + C; A - B - C rồi xác định bậc của đa thức đó. Giải: A + B + C = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + 1- 2x2 + xy + 2y3 - 3 - 5x + y = 2x2 - 6xy + 8y2 - 9x + 3y + 3: có bậc hai A - B + C = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + 1 + 2x2 - xy - 2y2 + 5x - 2y + 3 + 3x2 - 4xy + 7y2 - 6x + 4y + 5 = 6x2 - 8xy + 4y2 + x - y + 9: có bậc hai A - B - C = - 10y2 + 13x - 9y - 1: có bậc hai Bài 10: Cho các đa thức. A = 4x2 - 5xy + 3y2; B = 3x + 2xy + y2 C = - x2 + 3xy + 2y2 Tính A + B + C; B - C - A; C - A – B. Giải: A + B + C = (4x2 - 5xy + 3y2) + (3x + 2xy + y2 ) + (- x2 + 3xy + 2y2) = 4x2 - 5xy + 3y2 + 3x2 + 2xy + y2 - x2 + 3xy + 2y2 = 6x2 + 6y2 DẠNG 4 : Thu gọn , tính giá trị biểu thức đại số : Phương pháp : Bước 1: Thu gọn các biểu thức đại số. Bước 2: Thay giá trị cho trước của biến vào biểu thức đại số. Bước 3: Tính giá trị biểu thức số. ‚Ví dụ: Tính giá trị biểu thức: A = 3x2y – 4xy3 – 3x2y + 4 xy3 + 16x2y5 -2x3y2 a) Với x = 0,5; y = -1 b) với x = ; y = -1 Giải Bước 1: Thu gọn biểu thức : A = 16x2y5 +3x2y – 4xy3 – 3x2y - 2x3y2 + 4 xy3 = 16x2y5 -2x3y2 Bước 2 : a)Thay x = 0,5; y = -1 vào biểu thức ta có: b) Thay x = ; y = -1 vào biểu thức ta có: ƒBài tập tương tự : Bài 3- 1 : Tính giá trị biểu thức a) A = 3x3 y + 6x2y2 + 3xy3 tại b) B = x2 y2 + xy + x3 + y3 tại x = –1; y = 3 b) B = x2 + 2xy - 3x3 + 2y3 + 3x3 - y3 = x2 + 2xy + y3 tại x = 5 ; y = 4 tại x =0,5 và y = -1. tại x = 0,1 và y = -2. Bài 3-2 : a) Cho đa thức :P(x) = x4 + 2x2 + 1; vàQ(x) = x4 + 4x3 + 2x2 – 4x + 1; Tính: P(–1);P(); Q(–2); Q(1); b)Cho đa thức: a)P(x) = x4 + 2x2 + 1; Q(x) = x4 + 4x3 + 2x2 – 4x + 1; Tính : P(–1); P(); Q(–2); Q(1); Bài tổng hợp Bài 4: Cho hai đa thức: A(x) = –4x5 – x3 + 4x2 + 5x + 9 + 4x5 – 6x2 – 2 B(x) = –3x4 – 2x3 + 10x2 – 8x + 5x3 – 7 – 2x3 + 8x a) Thu gọn mỗi đa thức trên rồi sắp xếp chúng theo lũy thừa giảm dần của biến. b) Tính P(x) = A(x) + B(x) ; Q(x) = A(x) – B(x) và tìm bậc của đa thức P(x); Q(x) c) Chứng tỏ x = –1 là nghiệm của đa thức P(x). Bài 5: Cho f(x) = x3 − 2x + 1, g(x) = 2x2 − x3 + x −3 a) Tính f(x) + g(x) ; f(x) − g(x). b) Tính f(x) +g(x) tại x = – 1; x =-2 B ài 6: Cho đa thức: M = x2 + 5x4 − 3x3 + x2 + 4x4 + 3x3 − x + 5 N = x − 5x3 − 2x2 − 8x4 + 4 x3 − x + 5 a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến. b)Xác định bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của mỗi đa thức. c) Tính M+N; M- N Bài 7: Cho đa thức A = −2 xy 2 + 3xy + 5xy 2 + 5xy + 1 a. Thu gọn đa thức A. b. Tính giá trị của A tại x= ;y=-1 B ài 8: Cho hai đa thức: f(x) = 9 – x5 + 4x - 2x3 + x2 – 7x4 g(x) = x5 – 9 + 2x2 + 7x4 + 2x3 - 3x a) Sắp xếp các đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến b) Tính tổng h(x) = f(x) + g(x). c) Tìm nghiệm của đa thức h(x). Bài 9: Cho đa thức f(x) = – 3x2 + x – 1 + x4 – x3– x2 + 3x4 g(x) = x4 + x2 – x3 + x – 5 + 5x3 – x2 a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến. b)Xác định bậc của mỗi đa thức. c) Tính: f(x) – g(x); f(x) + g(x) c) Tính g(x) tại x = –1. Bµi3 Cho c¸c ®a thøc Thu gän c¸c ®a thøc trªn TÝnh M+N; M-N Bµi4 Cho ®a thøc P(x) = 5x3+ 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – x4 + 1 – 4x3 a/ Thu gän vµ s¾p xÕp c¸c h¹ng tö cña ®a thøc theo lòy thõa gi¶m dÇn cña biÕn b/ TÝnh P(1) vµ P(-1) c/ Chøng tá ®a thøc trªn kh«ng cã nghiÖm. Bµi5 Cho c¸c ®a thøc f(x) = 4x3 – x2 + 2x - 5 g(x)= 4x3 + 2x2 – x – 5 a/ TÝnh f(x) + g(x) ; f(x) - g(x) b/ TÝnh f(0); g(1/2). c/ CMR: x = 1 lµ nghiÖm cña c¶ 2 ®a thøc trªn. d/ x = -1 cã ph¶i lµ nghiÖm cña f(x) kh«ng? T¹i sao? e/ T×m x ®Ó f(x) = g(x) Bµi 6 Cho P(x) + ( 2x3 – 4x2+x -10) = 2x3 – 4x2 + 5x – 7 Q(x) – (9x3+ 8x2 – 2x – 7 ) = - 9x3 – 8x2 + 5x +11 a/ T×m ®a thøc P(x), Q(x) b/ T×m nghiÖm cña P(x), Q(x) c/ TÝnh P(x) + Q(x), P(x) – Q(x) * Dạng 5 : Tìm nghiệm của đa thức 1 biến 1. Kiểm tra 1 số cho trước có là nghiệm của đa thức một biến không Phương pháp: Bước 1: Tính giá trị của đa thức tại giá trị của biến cho trước đó. Bước 2: Nếu giá trị của đa thức bằng 0 thì giá trị của biến đó là nghiệm của đa thức. ‚Ví dụ: ƒBài tập áp dụng„… Bài 1 : Cho đa thức f(x) = x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + 5 Trong các số sau : 1; –1; 2; –2 số nào là nghiệm của đa thức f(x) 2. Tìm nghiệm của đa thức một biến Phương pháp : Bước 1: Cho đa thức bằng 0. Bước 2: Giải bài toán tìm x. Bước 3: Giá trị x vừa tìm được là nghiệm của đa thức. *Chú ý : – Nếu A(x).B(x) = 0 => A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 – Nếu P(x) = ax2 + bx + c có a + b + c = 0 đa thức có 1 nghiệm là x = 1, x2 = c/a. . – Nếu P(x) = ax2 + bx + c có a – b + c = 0 . đa thức có 1 nghiệm là x = –1, x2 = -c/a. ‚Ví dụ: h) 3x2 – 4x = 0 => x( 3x – 4) = 0 => x = 0 hoặc x = ƒBài tập áp dụng„… Bài 2 : Tìm nghiệm của các đa thức sau. F(x) = 3x – 6; H(x) = –5x + 30 G(x)=(x-3)(16-4x) K(x)=x2-81 M(x) = x2 +7x -8 N(x)= 5x2+9x+4 Bài tập 4: Tìm nghiệm của các đa thức sau: a)3x - 9 3 b) - 3x - - c) - 17x - 34 - 2 d) x2 - x 0; 1 e) x2 - x + f) 2x2 + 15 vô nghiệm Bài 1 : Cho đa thức f(x) = x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + 5 Trong các số sau : 1; –1; 2; –2 số nào là nghiệm của đa thức f(x) Bài 2 : Tìm nghiệm của các đa thức sau. f(x) = 3x – 6; h(x) = –5x + 30 g(x)=(x-3)(16-4x) k(x)=x2-81 m(x) = x2 +7x -8 n(x)= 5x2+9x+4 B ài 3: Tìm nghiệm của c¸c đa thức a) 4x + 9 b) -5x + 6 c) x2 – 1 d) x2 – 9. e) 5x - f) x2 – 2x. g) x2 – 3x h) 3x2 – 4x e) x2 – x (x + 1)( x2 +1) d)(x - 1)(x + 5) b/ x2+ 9 Bài 3 : Tìm nghiệm của đa thức : x + 9 = 0 => x = - 9 ; b)x = c) x = -1 ; x = -1 d) x = 3 ; x = -3 e)x2 – x = 0 -> x( x – 1) = 0 => x = 0 hoặc x = 1 f) x2 – 2x = 0 -> x( x – 2) = 0 -> x = 0 hoặc x = 2 g)x2 – 3x = 0 => x( x – 3) = 0 => x = 0 hoặc x = 3 h) 3x2 – 4x = 0 => x( 3x – 4) = 0 => x = 0 hoặc x = „Đáp số : * NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN Bài 1: Trong một hợp số số nào là nghiệm của đa thức, số nào không là nghiệm của đa thức P(x) = x4 + 2x3 - 2x2 - 6x + 5 Giải Ta có: P(1) = 1 + 2 - 2 - 6 + 5 = 0 P(-1) = 1 - 2 - 2 + 6 + 5 = 8 0 P(5) = 625 + 250 - 50 - 30 + 5 = 800 0 P(- 5) = 625 - 250 - 50 + 30 + 5 = 360 0 Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức P(x), còn các số 5; - 5; - 1 không là nghiệm của đa thức. Bài 2: Tìm nghiệm của đa thức sau: f(x) = x3 - 1; g(x) = 1 + x3 f(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 Giải: Ta có: f(1) = 13 - 1 = 1 - 1 = 0, vậy x = 1 là nghiệm của đa thức f(x) g(- 1) = 1 + (- 1)3 = 1 - 1, vậy x = - 1 là nghiệm của đa thức g(x) g(- 1) = (- 1)3 + 3.(- 1)2 + 3. (- 1) + 1 = - 1 + 3 - 3 + 1 = 0 Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức f(x) Bài 3: Chứng tỏ rằng đa thức f(x) = x4 + 3x2 + 1 không có nghiệm Giải: Đa thức f(x) không có nghiệm vì tại x = a bất kì f(a) = a4 + 3a2 + 1 luôn dương Giải: Vì x2 - 4x + 5 = (x - 2)2 + 1 0 + 1 > 1 Do đó đa thức x2 - 4x + 4 không có nghiệm b. Chọn D vì x2 + 1 0 + 1 > 1 Do đó đa thức x2 + 1 không có nghiệm c, Chứng tỏ đa thức Q(x) = x4 + x2 +1 không có nghiệm? Ta có: x4 0 với mọi x, x2 0 với x Q(x) 1 với mọi x. Bài 1: Cho hai đa thức f(x) = 5x - 7 ; g(x) = 3x +1 a/ Tìm nghiệm của f(x); g(x) b/ Tìm nghiệm của đa thức h(x) = f(x) - g(x) c/ Từ kết quả câu b suy ra với giá trị nào của x thì f(x) = g(x) ? Bài 2: Cho đa thức f(x) = x2 + 4x - 5 a/ Số -5 có phải là nghiệm của f(x) không? b/ Viết tập hợp S tất cả các nghiệm của f(x) Bài 3: Thu gọn rồi tìm nghiệm của các đa thức sau: a/ f(x) = x(1-2x) + (2x2 -x + 4) b/ g(x) = x (x - 5) - x ( x +2) + 7x c/ h(x) = x (x -1) + 1 Bài 4: Xác định hệ số m để các đa thức sau nhận 1 làm nghiệm. a/ mx2 + 2x + 8; b/ 7x2 + mx - 1; c/ x5 - 3x2 + m Bài 5: Cho đa thức f(x) = x2 +mx + 2 a/ Xác định m để f(x) nhận -2 làm một nghiệm b/ Tìm tập hợp các nghiệm của f(x) ứng với giá trị vừa tìm được của m Bài 6: Cho biết (x -1). f(x) = (x+4). f(x +8) với mọi x. Chứng minh rằng f(x) có ít nhất hai nghiệm. a) = b) = = Dạng 6 : Tìm hệ số chưa biết trong đa thức P(x) biết P(x0) = a Phương pháp Bước 1: Thay giá trị x = x0 vào đa thức. Bước 2: Cho biểu thức số đó bằng a. Bước 3: Tính được hệ số chưa biết ‚Ví dụ: ƒBài tập tương tự: Bài 1 : Cho đa thức P(x) = mx – 3. Xác định m biết rằng P(–1) = 2 Bài 2 : Cho đa thức Q(x) = -2x2 +mx -7m+3. Xác định m biết rằng Q(x) có nghiệm là -1. Bài 1 : Cho đa thức P(x) = mx – 3. Xác định m biết rằng P(–1) = 2 Bài 2 : Cho đa thức Q(x) = -2x2 +mx -7m+3. Xác định m biết rằng Q(x) có nghiệm là -1. Bµi 9 Cho ®a thøc f(x) = ax2 +bx +c X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè a, b, c biÕt ®a thøc cã hai nghiÖm x1 =1, x2 = 2 Bài 7: Cho f(x) = ax3 + 4x(x2 - 1) + 8 g(x) = x3 - 4x(bx +1) + c- 3 trong đó a, b, c là hằng. Xác định a, b, c để f(x) = g(x) Bài 8: Cho f(x) = 2x2 + ax + 4 (a là hằng) g(x) = x2 - 5x - b ( b là hằng) Tìm các hệ số a, b sao cho f(1) = g(2) và f(-1) = g(5) Bài tập nâng