Đề cương ôn thi vào 10

Chuyên đề: căn bậc hai Dạng I : Căn bậc hai - Định nghĩa , kí hiệu. Ví dụ 1 : Tìm x biết x2 = 8. Giải : x = Ví dụ 2 : Tìm x biết Giải : Ta có Ví dụ 4 : Tính Giải : Bài tập tự giải : Tìm x biết Tính So sánh Tìm giá trị nhỏ nhất của y biết: a)y = x2 – 2x +3 b)y = Dạng 2 : Căn thức bậc hai- điều kiện tồn tại- hằng đẳng thức Ví dụ 1 : a) Tìm x để biểu thức có nghĩa ? Giải : Ta có có nghĩa khi b) Tìm x để có nghĩa? Giải : Ta thấy nên có nghĩa với mọi x. Ví dụ 2 : Giải phương trình : Giải : Pt Ví dụ 3 : Tính Giải : Ta có : Bài tập tự giải : Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa : Rút gọn biểu thức : Giải phương trình: x2+2x = 3- Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: Dạng 3 :Quy tắc khai phương. Ví dụ 1 : Tính . Ví dụ 2 : Tính Giải : a) b) Ví dụ 3 : Tính a) Giải : a) b) c) Ví dụ 4 : Tính a) b) Giải : a) b) Bài tập : Rút gọn biểu thức a) b) Rút gọn và tính giá trị biểu thức : Tính : a) b)(1+ c) d) e) 4)Tính a) b) 5)Tìm x biết: a) b) c) 6)Tìm x biết: a) b) 7) Phân tích thành tích: a) b) c) d) e) f) Dạng 4 : Các phép toán về căn bậc hai : Ví dụ 1 : Ví dụ 2 : Ví dụ 3 : Bài tập : So sánh Khử mẫu : Tính : 4) Tính b) c) Rút gọn biểu thức: b) Chuyên đề: rút gọn biểu thức Phương pháp: Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử; Tìm ĐKXĐ (Nếu bài toán chưa cho ĐKXĐ) Rút gọn từng phân thức(nếu được) Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất như: + Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia. + Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức + Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng. + Phân tích thành nhân tử – rút gọn Chú ý: - Trong mỗi bài toán rút gọn thường có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu thức; giải phương trình; bất phương trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất. Do vậy ta phải áp dụng các phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho từng loại bài. *Tính giá trị của A tại x=? *Tìm giá trị của xz *Tìm giá trị nhỏ nhất, giá tri lớn nhất của A *Tìm giá trị của x để A.f(x) =g(x) *Tìm giá trị của x để A=k; Ak *Tìm x để . *Tìm x để . Dạng 1 Bài 1 Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A b)Tính giá trị của A khi x=3-2 Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x1. Rút gọn b. Khi x= 3-2 = Bài 2: Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A b) Với giá trị nào của xthì A > c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất Bài giải: a) ĐKXĐ x .=. A = b) A > ( vì 3( Kết quả hợp với ĐKXĐ: thì A > 1/3. c) đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất. Mà lúc đó AMax= Bài 3: Cho biểu thức a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị của x để P = c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M Bài giải: a) ĐKXĐ x P = = b) (TMĐK) c) = ta có Vậy Mmin= 4. Bài 4: Cho biểu thức: a) Tìm ĐKXĐ ,rút gọn biểu thức b) Tìm x để D < - c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D Dạng 2 Bài 1 :Cho biểu thức: a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm a để P nhận giá trị nguyên. Bài giải: a) ĐKXĐ: a b) để P nhận giá trị nguyên thì nhận giá trị nguyên dương. thuộc ước dương của 2. a=1 (Loại vì không thoả mãi điều kiện) Vậy P nhận giá trị nguyên khi a = 0 Bài 2: Cho biểu thức a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B. b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên. Bài giải: a) ĐKXĐ B = b) B nhận giá trị nguyên khi nhận giá trị nguyên. Ư(1) thoả mãn điều kiện Vậy x= -1; x= -3 thì B nhận giá trị nguyên Bài 3: Cho biểu thức: a) Tìm ĐKXĐ , rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P c) Tìm x để biểu thức nhận giá trị nguyên. Dạng 3 Bài 1: Cho biểu thức: a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm x để P > 0 Bài giải a) ĐKXĐ x>0; x b) P > 0 ( vì Kết hợp với ĐKXĐ: thì P > 0 Bài 2: Cho biểu thức: a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P b) Tìm giá trị của a để P > 0 Bài 3 : Cho biểu thức: a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm x để P < Bài 4: Cho biểu thức: a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P. b) Tìm x để P < Bài 5: Cho biểu thức: a)Tìm ĐKXĐ, rút gọn B b)Tìm a để B < 7- 4 Bài 6: Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức K b) Tìm giá trị của K khi a = 3+2 c) Tìm giá trị của a sao cho K < 0 Dạng 4 Bài 1 : Cho biểu thức: a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0 c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình A. có nghiệm. Bài giải a) ĐKXĐ: x > 0; x b) A < 0 (vì ) kết hợp với ĐKXĐ 0 <x < 1 thì A < 0 c) P.t: A. Đặt >0 ta có phương trình để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (*) phải có nghiệm dương. Để phương trình (*) có nghiệm dương thì: Vậy m>-1 và m thì pt A có nghiệm. Bài 2: Cho biểu thức: a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm giá trị của P khi x = 25 c) Tìm x để P. Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x b) Khi x= 25 c) TMĐK Vậy x = 2005 thì P. Dạng 5 Bài 1: Cho biểu thức a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A. b)Tính giá trị của A khi x=. c)Tìm giá trị của x để Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x . = b) Khi x = c) Vậy x > 9 thì Bài 2: Cho biểu thức: a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của biểu thức A c) Với giá trị nào của x thì Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x . b) Khi x=36 c) (vì ) Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì Chuyên đề: tam thức bậc hai A.lý thuyết I. áp dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn để xét số nghiêm phương trình bậc hai. Cho phương trình bậc hai: ax+bx+c=0(a0) .Nếu b =2b thì = b- ac 1. Phương trình có nghiệm khi . Ta có thể xét hai trường hợp: +Trường hợp 1: Nếu a = 0,phương trình có nghiệm x=. +Trường hợp 2 : hoặc 2.Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi . hoặc 3.Phương trình có nghiệm kép khi. hoặc 4. Phương trình vô nghiệm khi. hoặc Ví dụ1: Cho phương trình 2x-(4m+3)x+2m-1=0.Với m là tham số,tìm giá trị m để phương trình. a.Phương trình có nghiệm b.Phương trình có2nghiệm phân biệt c.Phương trình có nghiệm kép d. Phương trình vô nghiệm Giải: =(4m+3)-4.2(2m-1)=24m+17. a.Phương trình có nghiệm khi . m b.Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi. c.Phương trình có nghiệm kép khi. d. Phương trình vô nghiệm khi. Ví du 2 : Cho phương trình mx-2(m-1)x+(m-4)=0 .Với m là tham số,tìm giá trị m để phương trình. a.Phương trình có nghiệm b.Phương trình có 2 nghiệm phân biệt c.Phương trình có nghiệm kép d. Phương trình vô nghiệm Giải: Ta có :a0m,= b-ac=-m(m-4)=m-2m+1-m+4m=2m+1 a.Phương trình có nghiệm khi . +Trường hợp 1: Nếu a=0 m=0 ,phương trình có nghiệm x==2. +Trường hợp 2 : b.Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi. c.Phương trình có nghiệm kép khi. d. Phương trình vô nghiệm khi. II . Hệ thức vi- ét và ứng dụng. 1. Hệ thức vi- ét Nếu x,xlà hai nghiệm của phương trình ax+bx+c=0(a0) thì x+ x=và x.x= Ví dụ . Tính nhấm nghiêm của phương trình x-7x+12=0 Giải. Ta có =(-7)-4.12=49-48=1>0 Theo định lý Vi-ét x+ x==7, x.x==12 x=3; x=4 2.áp dụng để tính nhấm nghiệm . Cho phương trình ax+bx+c=0(a0) -Nếu a+b+c=0 thì x=1và x= Ví dụ : Giải phương trình 3x-7x+4=0 Giải. Ta có a+b+c=3+(-7)+4=0 x=1và x== -Nếu a-b+c=0 thì x=-1và x= Ví dụ : Giải phương trình 7x-5x-12=0 Giải. Ta có a-b+c=7-(-5)+(-12)=0 x=-1và x== 3.áp dụng để xác định dấu các nghiệm Cho phương trình ax+bx+c=0(a0) cú 2 nghiệm: trỏi dấu, cựng dấu, cựng dương, cựng õm . Ta lập bảng xột dấu sau: Dấu nghiệm x1 x2 D Điều kiện chung trỏi dấu P < 0 P < 0 D ³ 0 D ³ 0 ; P < 0. cựng dấu, P > 0 P > 0 D ³ 0 D ³ 0 ; P > 0 cựng dương, + + S > 0 P > 0 P > 0 D ³ 0 ³ 0 ; P > 0 ; S > 0 cựng õm - - S < 0 P > 0 P > 0 D ³ 0 ³ 0 ; P > 0 ; S < 0 Ví dụ : Cho phương trình x+(2m+2)x+m-4=0 Có hai nghiệm trái dấu Có hai nghiệm cùng dấu Có hai nghiệm dương Có hai nghiệm âm Giải : = b- 4ac = (2m+2)- 4(m-4) = 4m+ 8m + 4 - 4m-16 = 8m -12 * Có hai nghiệm trái dấu x.x== m- 4 = (m+1)(m-1)<0 -Trường hợp 1. -1< m <1 -Trường hợp 2. m <-1 và 1 < m *Có hai nghiệm cùng dấu m>2 *Có hai nghiệm dương m>2 *Có hai nghiệm âm khi m>2 4.áp dụng để xác định hai số biết tổng S và P của chủng -Nếu hai số x,x sao cho x+x=S, x.x=P thì x,xlà nghiệm phương trình x-Sx+P=0 Ví dụ: Tìm hai số, biết tổng của chủng là 15 và tích của chủng là 54. Giải : Nếu hai số phải tìm là x,x sao cho x+x=S =15, x.x=P=54 thì x,xlà nghiệm phương trình x-15x+54=0 =(-15)-4.54=225-216=9;=3 x=; x= Vậy hai số cần tìm là 9 và 6. b.Bài tập Bài tập 1. Cho phương trình (m-4)x-2mx+m-2=0,trong đó m là tham số a.Giải phương trình khi m=3. b.Tìm m để phương trình có nghiệm x=. c.Tìm m để -phương trình có nghiệm kép -phương trình có hai nghiệm phân biệt Giải : a.với m=3 ta có -x-6x+1=0 =(-3)+1=10;= -phương trình có hai nghiệm phân biệt x=-3- ; x=-3+ b. Phương trình có nghiệm x=,thay vào phương trình ta có (m-4)2-2m+m-2=0m=10(3+2) c.-Phương trình có nghiệm kép khi Ta có x= x== -Phương trình có hai nghiệm phân biệt Công thức tính nghiệm của phương trình là x= ; x= Bài tập 2. Giải và biện luận phương trình a.2x - (2-k)x=k(k-2). b.(2k-1)x-4kx+1=0. Giải : a.Phương trình đã cho có thể viết 2x-(2-k)x-k(k-2)=0 =(2-k)+8k(k+2)=4-4k+k+8k+16k=9k+12k+4=(3k+2)với mọi k. Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi k . b.- Nếu 2k-1=0 hay k= thì -4kx+1=-2x+1=0,ta có nghiệm x=. - Nếu 2k-10 hay k thì ta tìm được =(-2k)-(2k-1)=4k-4k+4k-1=4k-10 Tức là k ,phương trình có nghiệm. Vậy với k >và kphương trình có hai nghiệm phân biệt x=;x= Với k = phương trình có một nghiệm kép x= x=-= Với k < thì phương trình vô nghiệm Bài tập 3. Cho phương trình x+7x-5=0.Không giải phương trình hãy tính . a.Tổng và tích của hai nghiệm b.Tổng các nghịch đảo của hai nghiệm c.Tổng các bình phương của hai nghiệm d.Bình phương của hiệu hai nghiệm e.Tổng các lập phương của hai nghiệm Giải : Ta thấy rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm vì các hệ số avà c khác dấu. a.Tổng của hai nghiệm là S=x+x=-7 và tích của hai nghiệm là P= x.x=-5. b. Tổng các nghịch đảo của hai nghiệm là c.Tổng các bình phương của hai nghiệm d.Bình phương của hiệu hai nghiệm là 59+10=69. e.Tổng các lập phương của hai nghiệm là Bài tập 4. Cho phương trình 2x+(2p-1)x+p-1=0 a.Tìm p để phương trình có hai nghiệm phân biệt . b.Tìm p để cả hai nghiệm đều dương. c.Tìm một hệ thức không phụ thuộc vào p. Giải : a.Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi =(2p-1)- 4.2(p-1)=(2p-3)> 0 p b.Phương trình có hai nghiệm đều dương ta giải hệ phương trình Hệ phương trình vô nghiệm ,không có giá trị nào của p để cả hai nghiệm đều dương. c. Do S= và P== nên ta có :S+2P=+ Vậy hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào p là Bài tập 5. Cho phương trình x- mx + m-1=0 với m là tham số . a.Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m. b.Gọi x,xlà các nghiệm .Tìm giá trị nhỏ nhất của A= . Giải . a.Ta có ,vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m . b. A= = +2xx-2xx=(x+x)- 2xx= m-2(m-1)= m-2m+2= m-2m+1+1=(m-1)+11 mA nhỏ nhất bằng 1 khi (m-1)=0 m=1 Bài tập 6. Cho phương trình x- 2x + m =0 với m là tham số . a.Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x,xđều là số dương. b. Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x,xthỏa mãn : Giải: a.Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương là : b.Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt =1-m > 0m<1(1) Khi đó S=x+x=2 và P= x.x= m nên : Điều kiện m(2) Ta có 3(4-2m)=-10m4m=-12m=-3 thỏa mãn (1),(2). Bài tập 7. Cho phương trình x+ 2(m+1)x + m=0 ,với m là tham số . a.Giải phương trình khi m=2 . b.Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt . c.Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt và trong đó có một nghiệm bằng (-2). Giải: a.Khi m=2 thay vào phương trình ,ta có x+ 6x + 4=0 =3-4=5, = Phương trình có hai nghiệm phân biệt x= -3+, x=-3-. b.Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi =(m+1)- m=2m+1>0m > c.Phương trình có hai nghiệm phân biệt và trong đó có một nghiệm bằng (-2). - Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi >0 m > - Theo hệ thức Vi- ét ta có - Theo giá thiết , phương trình có một nghiệm bằng (-2) , giả sử x=-2 .Từ hệ phương trình (1) ta có -Từ hệ phương trình (2), rút gọn hai vế ta có m+4m=0m(m+4)=0 Với m=-4 (loại),m=0 (thỏa mãn) điều kiện m >. Vậy m=0 phương trình có hai nghiệm phân biệt và trong đó có một nghiệm bằng (-2). Bài tập 8. Cho phương trình (m+1)x+ 5x + m-1=0 ,với m là tham số . a.Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. b.Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và trong hai nghiệm đó có một nghiệm bằng 4. Giải: a.Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi b.Phương trình có hai nghiệm trái dấu và trong hai nghiệm đó có một nghiệm bằng 4. -áp dụng hệ thức Vi-ét ta có Thay giá trị x=4 vào (I) ta có m+16m+35=0 m=-8+;m=-8- Các giá trị m, mđều thỏa mãn điều kiện m<1 và m-1 Vậy m=-8+;m=-8- phương trình có hai nghiệm trái dấu và trong hai nghiệm đó có một nghiệm bằng 4. Bài tập 9. Cho phương trình (m+1)x- 2(m-10x + m-3 =0 ,với m là tham số . a.Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m khác (-1). b.Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu c. Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu và trong hai nghiệm đó có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia . Giải : a.Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt khi Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m -1. b.-Theo câu a ,ta đã có >0 với mọi giá trị m-1 -Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi Vậy phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi m>3 hoặc m<-1 c.Theo câu a ,b phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi >0 và ta có m>3 hoặc m<-1. Mặt khác theo hệ thức Vi-ét ta có : Với giả thiết cho x=2x,thay vào (I) ta có Rút ra ta được : m- 2m- 35 = 0 m=-5 ;m=7 .Với giá trị m ;mđều thỏa mãn điều kiện m >3 và m <-1. Vậy phương trình có hai nghiệm cùng dấu và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia khi m=-5 hoặc m=7. Bài tập 10. Cho phương trình m(x-4x+3)+2(x-1)=0 a.Giải phương trình khi m=-. b. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . c.Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên. Giải: a.Với m=- .Ta có x-8x+7=0 Có a+b+c = 1+(-8)+7 = 0 x=1;x==7. b.Phương trình đã cho trở thành : mx-2(m-1)x+3m-2=0 (1) + Với m=0 ,(1) 2x-2=0 x=1. + Với m0 :0 . Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. c.Ta có m(x-4x+3)+2(x-1)= (x-1) Xét phương trình m(x-3)+2 = 0 Để phương trình có hai nghiệm thì m0 khi mx-3m+2=0x==3-. Để phương trình có hai nghiệm nguyên thì 2m hay m=1;m= Bài tập 11. Cho phương trình x- (m+2)x+2m = 0 (1) a.Giải phương trình khi m=-1 b.Tìm m để phương trình có hai nghiệm x,xthỏa mãn (x+x)- x.x5. Giải: a.Với m=-1 .Ta có x- x-2 = 0 Có a-b+c= 1-(-1)+(-2)=0 x=-1,x=2 b. Ta có: =(m+2)-4.2m=m+ 4m + 4- 8m = m- 4m + 4 = ( m- 2)0 . Vậy phương trình có nghiệm . Ta có (x+x)- x.x=m+2m+4 5 m+2m+ 1+3 5 m+2m+ 1 5-3 (m+1) 2 -m+1-1-m-1 Bài tập 12. Cho phương trình x- px + p-1 = 0 a.Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của p . b.Tính theo p giá trị biểu thức M=x+x- 6x.x. c.Tìm giá trị nhỏ nhất của M. Giải: a.Ta có .Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của p . b.Ta có M=x+x- 6x.x =(x+x)-2x.x- 6x.x=(x+x)-8x.x = p- 8(p-1) = p- 8p + 8 = p- 8p + 16 - 8 = (p-4)- 8. c.M=(p-4)- 8-8,vậy M đạt giá trị nhỏ nhất M=-8 khi (p-4)=0 p-4=0p=4. Bài tập 13. Chứng minh rằng nếu các hệ số của hai phương trình bậc hai x+px+q=0 và x+px+ q=0 ,liên hệ với nhau bởi hệ thức pp=2(q+q) thì ít nhất một trong hai phương trình trên có nghịêm. Giải Gọi phương trình x+px+q=0 (1) và x+px+ q=0 (2) Ta có =p-4 q;=-4 q; += p-4 q+-4 q= p+- 4(q+ q). Vì 2(q+q)= pp4(q+ q) = 2pp. Do đó += p+- 4(q+ q)= p+-2pp= Điều này chứng tỏ ít nhất một trong hai biệt thức hoặc phải >0 .Vậy ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm. Bài tập 14. Chứng minh rằng phương trình ax+ bx + c = 0 có nghiệm nếu một trong hai điều kiện sau a( a + 2b + 4c ) < 0 5a + 3b + 2c = 0 Giải: Ta có . a( a + 2b + 4c ) = a+2ab+4ac ( a+b)0 0,phương trình có nghiệm . b) 5a + 3b + 2c = 0 10a+6ab+4ac=0(3a+b)+ a= b-4ac00,phương trình có nghiệm . Bài tập 15. Chứng minh rằng nếu hai phương trình bậc hai x+px+q=0 và x+px+ q=0 có nghiệm chung thì : (q- q)+(p-p)(qp-qp)=0. Giai: Hai phương trình có nghiệm chung có nghiệm Đặt y=x,ta có -Nếu pp,giải hệ phương trình ta có x=và y=.Do y=xsuy ra =(),khai triển biến đổi ta có :(q-q)+( q-q)( qp-qp)=0. -Nếu p=pta có hệ Hệ này có nghiệm ,suy ra q=q.Do đó đẳng thức cần chứng minh có dạng 0 = 0, hiến nhiên đúng. chuyên đề: Hàm số bậc nhất Dạng 1 : Hàm số bậc nhất * Ví dụ 1 : Các hàm số sau, hàm số nào đồng biến , nghịch biến ? a) y = 2x- 3 b) y = 1 – 2x c) y = (1 - Giải : a) a= 2 > 0 : Đồng biến a = - 2 < 0 : Nghịch biến a = 1 - < 0 : Nghịch biến. * Ví dụ 2 : Tìm m để hàm số sau đồng biến , nghịch biến ? y = ( 2m – 1 ) x + m – 2 Giải : Hàm số đồng biến khi 2m – 1 > 0 Hàm số nghịch biến khi 2m – 1 < 0 * Ví dụ 3 : Cho hàm số y = -2x + b . Tìm b biết khi x = 2 thì y = -1? Giải : Thay x =2 , y = -1 vào ta có : -2 . 2 +b = -1 vậy y = -2x + 3. * Ví dụ 4 : Cho hàm số y = mx – 3 . Tìm m biết khi x=2 thì y=1? Giải : Thay x=2 , y=1 vào ta có : m.2 – 3 = 1 => m= 2 ; vậy y=2x- 3. * Ví dụ 5 : Cho hàm số y= ( m-1)x + 3. Tìm m để đồ thị hàm số song song đường thẳng y=2x? Tìm m để đồ thị hàm số tạo với 2 trục toạ độ tam giác cân? Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành 1 góc 450? Giải : m-1=2 => m=3 vậy y =3x+3 Đồ thị cắt Oy tại (0;3) , cắt Ox tại nên Để thì hay * Ví dụ 6 : Tìm m để các đường thẳng sau song song? y=(m-3)x + 2 , y=(3m – 7)x – 3 . Giải : để 2 đường thẳng song song thì m-3 = 3m – 7 => m= 2 * Ví dụ 7 : a) Chứng minh 3 đường thẳng sau đồng quy : y=2x + 1 (1), y=-x+1 (2) y= b) m=? để các đường thẳng sau đồng quy : : y=mx + 2 (1), y=-x + 3 (2) , y=2x – 1 (3) ? Giải : Giao của (1) và (2) là (0;1) thay vào (3) thoả mãn .Vậy 3 đường đồng quy . Giao của (2) và (3) là (4/3;5/3) thay vào (1) được m=2. * Ví dụ 8: CMR đường thẳng y = mx+3 - m luôn đi qua 1 điểm cố định ? Giải : y = mx+3 - m => m(x-2) = y-3 ,không phụ thuộc m khi x=2,y=3.Từ đó đường thẳng luôn đi qua điểm cố định ( 2;3) với mọi m. * Ví dụ 9 : Tìm m để 2 đường thẳng sau vuông góc ? y = 2x - 3 ; y = (m-2)x + 3 Giải : 2 đường thẳng vuông góc khi tích 2 hệ số góc bằng 1 tức là 2(m-2) = 1 suy ra m=5/2. * Ví dụ 10 : Viết phương trình đường thẳng di qua A(1;3) và song song đường thẳng y = 2x – 1 (1) ? Giải : PT đường thẳng qua A có dạng y = ax + b, ta có a.1 + b = 3 , mặt khác đường thẳng song song (1) => a = 2 từ đó b = 1 . Vậy y = 2x + 1. Dạng 2 . Hệ phương trình. * Ví dụ 1 : giải hệ phương trình : Giải : * Ví dụ 2 : Cho hệ phương trình : Giải hệ khi m=1 Tìm m để hệ có 1 nghiệm , VSN , VN ? Giải : m=1 ta có hệ : Hệ đã cho (*) , Từ đó : Phương trình có 1 nghiệm khi Phương trình VSN :không xảy ra. Phương trình VN khi m-4=0 tức là m = 4. * Ví dụ 3 : Lập phương trình đường thẳng đi qua các điểm A(1;2) và B(-1;3) ? Giải : Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b (a). Đường thẳng đi qua A,B nên ta có hệ phương trình : * Bài tập : Giải hệ phương trình Tìm a,b để hệ có nghiệm x=2 , y=5 ? Tìm a để hệ có nghiệm âm ? Cho hệ phương trình : Tìm m để hệ có nghiệm (x=1;y=1) Tìm m để hệ có VSN ; VN ? Giải hệ phương trình : 6) Lập phương trình đường thẳng đi qua : a) A(1;2) , B(1;3) b) A(2;3) , B(-1;3) c) A(-1;4) , B(2;5). Chuyờn đề PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT MỘT ẨN, HỆ HAI PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT HAI ẨN. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRèNH THƯỜNG GẶP. A. PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT MỘT ẨN, HỆ HAI PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT HAI ẨN. 1. Kiến thức cần nhớ : * Phương trỡnh bậc nhất một ẩn là phương trỡnh cú dạng : ax + b = 0 () ; a, b , x là ẩn. Phương trỡnh cú duy nhất một nghiệm x = . * Hệ phương trỡnh bậc nhất hai ẩn : Trong đú : a, b, c, a', b', c' ; a, b khụng đồng thời bằng 0, a' và b' khụng đồng thời bằng 0 và x, y là ẩn. Cỏc phương phỏp giải hệ phương trỡnh : a) Phương phỏp thế : +) Từ một trong hai phương trỡnh rỳt ra một ẩn theo ẩn kia, thế vào phương trỡnh thứ hai ta được phương trỡnh bậc nhất một ẩn +) Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai. b) Phương phỏp cộng. +) Quy đồng hệ số một ẩn nào đú (làm cho ẩn nào đú của hệ số cú hệ số bằng nhau hoặc đối nhau). +) Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai. c) Phương phỏp đặt ẩn phụ. Trong quỏ trỡnh giải toỏn, tựy vào từng trường hợp cụ thể để cú phương phỏp hợp lý. B. VÍ DỤ. Vớ dụ 1. Giải cỏc phương trỡnh sau: a) b) . Phương phỏp. Đõy là phương trỡnh chứa ẩn ở mẫu để giải bài toỏn này người ta thường làm như sau : Biến đổi phương trỡnh về dạng : ax + b = 0 hoặc ax2 + bx + x = 0 bằng cỏch : + Tỡm ĐKXĐ. + Quy đồng và khử mẫu. + Giải phương trỡnh vừa tỡm được. + Kết hợp với ĐKXĐ để trả lời. Giải. a) ĐKXĐ : x 1, x - 2. , thỏa món. b) ĐKXĐ : 0 (*) . Với thay vào (*) ta cú . Vậy là nghiệm. Vớ dụ 2. Tỡm m nguyờn để phương trỡnh sau đõy cú nghiệm nguyờn : (1) Giải. Với m nguyờn thỡ vậy phương trỡnh 1 cú nghiệm : Để phương trỡnh cú nghiệm nguyờn thỡ 2m - 3 phải là ước của 4 hay 2m - 3 . Giải ra ta được m = 2 và m = 1. Vớ dụ 3. Cho hệ phương trỡnh : 1) Giải hệ phương trỡnh với a = 1. 2) Tỡm giỏ trị của a để hệ phương trỡnh cú nghiệm (x ; y) thỏa món x > 0, y < 0. Giải. 1) Với a = 1, ta cú hệ phương trỡnh : 2) Lấy phương trỡnh đầu cộng với phương trỡnh thứ hai ta cú : Hệ cú nghiệm Vậy với hệ phương trỡnh cú nghiệm x > 0, y < 0. Vớ dụ 4. Cho hệ phương trỡnh : 1) Giải hệ khi m = -1. 2) Giải và biện luận hệ phương trỡnh đó cho theo m. Giải. 1) Với m = -1 hệ phương trỡnh đó cho cú dạng : 2) Xột hệ phương trỡnh : Từ (1) ta cú : thay vào (2) ta cú : (3) *) Nếu m = 1 ta cú : (3) 0 = 0 hay phương trỡnh cú nghiệm với mọi y hệ cú vụ số nghiệm. *) Nếu m = - 2 từ (3) 0 = - 3 hay hệ phương đó cho trỡnh vụ nghiệm. *) Nếu từ (3) Vậy hệ cú nghiệm duy nhất : Vớ dụ 5. Tỡm số tự nhiờn cú hai chữ số, biết rằng hai lẫn chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị. Và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thỡ được số mới cú hai chữ số bộ hơn số cũ 36 đơn vị. Phương phỏp. Bước 1 : Lập hệ phương trỡnh. - Tỡm mối liờn hệ để dự kiến phương trỡnh. - Chọn ẩn, xỏc định điều kiện cho ẩn. - Biểu thị cỏc yếu tố qua ẩn. Bước 2. Giải hệ phương trỡnh vừa lập. Bước 3. Đối chiếu giỏ trị vừa tỡm được với ĐK để trả lời. Giải. Gọi chữ số hàng chục của số cần tỡm là x, chữ số hàng đơn vị là y. Điều kiện của ẩn là x và y là số nguyờn , và Khi đú, số cần tỡm là . Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số . Theo bài ra ta cú hệ phương trỡnh : Giải hệ phương trỡnh ta cú nghiệm : x = 9, y = 5 thỏa món ĐK bài toỏn Vậy chữ số cần tỡm là : 95. Vớ dụ 6. Một ụtụ và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một quảng đường AB sau 3 giờ thỡ gặp nhau. Nếu đi cựng chiều và xuất phỏt tại một địa điểm, sau một giờ ụ tụ cỏch xe đạp 28 km. Biết quảng đường AB dài 156km, tớnh vận tốc xe đạp và ụtụ. Giải. Gọi x là vận tốc xe ụ tụ là x (km/h, x >0), vận tốc xe đạp là y (km/h, y >0). Ta cú : x = 40, y = 12 thỏa món ĐK bài toỏn. Vậy vận tốc xe đạp là 12 km/h, vận tốc xe ụ tụ là 40 km/h. Vớ dụ 7. Một chiếc xe tải đi từ A đến B, quảng đường dài 189 km. Sau khi xe tải xuất phỏt 1 giờ, một chiếc xe khỏch bắt đầu đi từ B đến A và gặp xe tải sau 1 giờ 48 phỳt. Tớnh vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khỏch đi nhanh hơn xe tải 13 km. Giải . Đổi : 1 giờ 48 phỳt = giờ. Gọi vận tốc xe khỏch là x (km/h) và võn tốc của xe tải là y (km/h). Điều kiện của ẩn là x và y là những số dương. Theo bài ra ta cú hệ phương trỡnh. x = 49, y = 36 thỏa món ĐK bài toỏn. Vậy vận tốc xe khỏch là 49 km/h, vận tốc xe tải là 36 km/h. Vớ dụ 8. Để trở một số hàng cú thể dựng một ụ tụ lớn trở 12 chuyến hoặc một ụ tụ nhỏ trở 15 chuyến. ễ tụ lớn trở một số chuyến rồi chuyển sang làm việc khỏc, ụ tụ nhỏ trở tiếp cho xong, hai xe trở tổng cộng 14 chuyến xong cụng việc. Hỏi mỗi ụ tụ trở mấy chuyến. Giải. Gọi x là sụ chuyến ụ tụ lớn chở, y là sụ chuyến ụ tụ nhỏ chở (x, y nguyờn dương) Theo bài ra ta cú hệ phương trỡnh : x = 4, y = 10 thỏa món ĐK bài toỏn. Vậy ụ tụ lớn chở 4 chuyến, ụ tụ nhỏ chở 10 chuyến. Vớ dụ 9. Hai đội cụng nhõn cựng làm một đoạn đường trong 24 ngày thỡ xong. Mỗi ngày, phần việc đội A làm được bằng đội B. Hỏi nếu làm một mỡnh thỡ mỗi đội làm xong đoạn đường đú trong bao lõu ? Giải. Gọi thời gian đội A làm một mỡnh xong đoạn đường là x (ngày) và thời gian đội B làm một mỡnh xong đoạn đường là y (ngày). Điều kiện của ẩn là x và y là những số dương. Ta cú : Cụng việc đội A làm trong một ngày (cụng việc). Cụng việc đội B làm trong một ngày (cụng việc). Theo bài ra ta cú hệ phương trỡnh : x = 60, y = 40 thỏa món ĐK bài toỏn. Vậy thời gian đội A làm một mỡnh xong đoạn đường là : 60 ngày, thời gian đội B làm một mỡnh xong đoạn đường là 40