Đề tài Bài toán khoảng cách hình học 11

BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH HÌNH HỌC 11 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán THPT, hình học không gian luôn là mảng kiến thức khó đối với học sinh, nhất là học sinh có lực học trung bình và yếu. Các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lại càng khó đối với học sinh. Trong quá trình học, các em luôn đặt câu hỏi tại sao lại kẻ thêm các đường phụ như vậy. Và khi câu hỏi đó của các em không được trả lời thì sự tiếp thu của các em có phần hạn chế. Việc làm bài của các em mang tính rập khuôn, máy móc. Chính vì vậy tôi viết chuyên đề này mong rằng sẽ trả lời được câu hỏi trên của các em. Đây là một tài liệu nhỏ để các em và các thầy cô đồng nghiệp tham khảo. II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI: Cơ sở lý luận: Việc đổi mới phương pháp dạy và học trong nhà trường phổ thông đang được thực hiện. Việc đổi mới này nhắm đến người học, người học làm trung tâm, chủ động tìm hiểu và giải quyết vấn đề. Người dạy là người hướng dẫn, định hướng cho người học, tạo hứng thú cho người học. Thực tế lực học môn toán của học sinh trường THPT Trị An như thế nào? Tròng ba năm gần đây, chất lượng học tập của HS trường THPT Trị An nhìn chung rất thấp. Vấn đề tự rèn luyện đạo đức, kỉ luật và ý thức học tập của HS chưa cao. Sau đây là bảng số liệu thống kê về kết quả học tập môn toán của HS trường THPT Trị An trong 3 năm qua: Năm học TỈ LỆ HỌC LỰC CỦA HS KHỐI THPT(%) KHỐI 10 KHỐI 11 KHỐI 12 K - G Tbình Y - K K - G Tbình Y - K K - G Tbình Y - K 2008 – 2009 28,6 53,1 18,3 34,0 39,0 27,0 32,5 61,3 6,3 2009 – 2010 23,1 41,6 35,1 30,9 51,9 17,1 37,2 46,3 16,5 2010 - 2011 26,2 47,4 6,8 34,3 44,4 8,4 25,1 40,9 8,8 Trong đó: K – G: Khá - Giỏi; Y – K: Yếu – Kém; Tbình: Trung bình. Thống kê trên cho ta thấy được lực học môn toán của hs trường THPT Trị An là rất thấp. Việc đổi mới phương pháp dạy và học là một việc làm cấp bách. Đặc biết trong môn hình học không gian, khi đọc một bài toán, học sinh phải vẽ hình, tìm hướng giải quyết. Đối với các học sinh trung bình, yếu, đây là một việc hết sức khó khăn vì nó đòi hỏi học sinh phải hình dung được hình vẽ, kẻ thêm các đường phụ. Trong đầu các em luôn đặt câu hỏi tại sao lại kẻ thêm những đường phụ như vậy, và các bước tính toán như thế nào? Đối với bài toán khoảng cách, đa số các học sinh trung bình và yếu đều không làm được, hoặc mất rất nhiều thời gian. Hiểu được tâm lý học sinh như vậy, chuyên đề “BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH HÌNH HỌC 11” này được thực hiện theo hướng như sau: + Phân loaị theo chủ đề, đưa ra phương pháp giải + Các ví dụ minh họa, có các lời bình, giải thích tại sao ta lại làm như vậy? + Các bài tập tương tự để học sinh luyện tập. Nội dung đề tài: Những kiến thức cần nhớ: * Trong mặt phẳng: +Các hệ thức lượng trong tam giác thường dùng: - Định lí Cosin trong tam giác: BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA - Diện tích tam giác ABC: Trong đó: R: bán kính đường tròn ngoại tiếp p: nửa chu vi r: bán kính đường tròn nội tiếp - Nếu tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao ta có: BC2 = AB2 + BC2 (định lí Pytago) (công thức tính đường cao trong tam giác vuông) - Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số giữa các cạnh tương ứng bằng nhau: đồng dạng thì * Trong không gian: - Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng: - Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: - Góc giữa hai đường thẳng a,b bằng góc giữa hai đường thẳng a’,b’ cùng đi qua điểm O và a’//a, b’//b - Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến. *Các định nghĩa khoảng cách: Cho điểm O và đường thẳng a. Gọi H là hình chiếu của O trên a. Khi đó độ dài đoạn OH được gọi là khoảng cách từ O đến đường thẳng a, kí hiệu d(O,a) Khoảng cách từ O đến mặt phẳng () là khoảng cách giữa hai điểm O và H, với H là hình chiếu vuông góc của O lên (), kí hiệu d(O,()) Cho đường thẳng a song song mặt phẳng (), khoảng cách giữa a và () là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc a tới (), kí hiệu d(a,()) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song () và () kí hiệu là d((),()) là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. * Một nguyên tắc quan trọng là mọi tính toán trong hình học không gian ta đều đưa về tính toán trong một mặt phẳng nào đó. b. Các dạng toán và phương pháp giải: Vấn đề 1: khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a Phương pháp: từ M hạ MH a => MH chính là d(M,a) cách tính MH: ta chú ý tới các mặt phẳng xác định bởi M và đường thẳng a, hoặc mặt phẳng đi qua M và vuông góc đường thẳng a tại H rồi dựa vào hệ thức lượng trong tam giác để tính (cần chú ý đến yếu tố vuông góc) ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, cạnh a, và SA = a. Gọi I là trung điểm cạnh SC và M là trung điểm đoạn AB. a)Chứng minh IO (ABCD) b)Tính khoảng cách từ A đến SC b)Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM bài giải: a)Ta có: b) Trong mặt phẳng (SAC) dựng (K thuộc SC) do đó AK= d(A,SC) ABCD là hình vuông cạnh a nên AC= Tam giác SAC vuông tại A, AK là đường cao c) Trong (ICM) dựng (H thuộc CM) do đó IH = d(I,CM) ta có: Gọi N là giao điểm của MO với cạnh CD. Tam giác MHO đồng dạng tam giác MNC nên: *Giaỉ thích tại sao ta lại có định hướng và lời giải như vây? b) -AK là khoảng cách từ A đến SC -ta có nhận xét: AK nằm trong mặt phẳng chứa A và SC -ta lại có tam giác SAC vuông và AK là đường cao của tam giác đó c) IH là khoảng cách từ I đến CM - IH nằm trong (ICM) chứa I và CM. Nhưng đối với tam giác ICM ta lại có rất ít thông tin về nó. Vậy làm theo hướng như câu b), ta dễ đi vào ngõ cụt hoặc phải tính toán phức tạp - Vậy ta đi theo hướng là xác định mặt phẳng chứa I và vuông góc với CM tại H, mặt phẳng cần tìm đó là (IOH) - Tam giác IOH vuông tại O, biết IO = a/2, OH chưa có nhưng ta có thể tính được nhờ vào hai tam giác đồng dạng là MHO và MNC Ví dụ 2: Cho hình chóp OABC với AB=7, BC = 5, CA = 8,OA= 4. Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng BC Bài giải: Dựng => OH= d(O,BC) Ta có: Diện tích tam giác ABC có: S = AH là đường cao của tam giác ABC nên Suy ra giải thích: - OH là khoảng cách từ O đến đường thẳng BC đối với tam giác ABC khi biết 3 cạnh ta thường sử dụng tới công thức Hêrông để tính diện tích mặt phẳng chứa O và BC là (OBC), ta có thể tính các cạnh của tam giác OBC, rồi một lần nữa dùng công thức Hêrông để tính diện tích, sau đó ta tính được chiều cao OH của tam giác đó. Tuy nhiên, cách tính trên là phức tạp - ta lại để ý: mặt phẳng (OAH) chứa O và vuông góc BC tại H. Tam giác OAH vuông tại O, đã biết cạnh OA, cạnh AH ta tính được nhờ đã có diện tích tam giác ABC. Vấn đề 2: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng * phương pháp: Cách xác định hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P): - xác định (hoặc dựng) (Q) chứa M và vuông góc với (P) - xác định - từ M hạ (H ) Qua cách dựng trên ta được H là hình chiếu vuông góc của M lên (P). Chú ý rằng các bước trên chỉ là cách xác định (cách dựng) hình chiếu vuông góc của M lên (P), khi dựng xong ta phải có bước chứng minh . Khi đó, việc tính khoảng cách từ M đến (P) ta đưa về bài toán tính độ dài đoạn MH trong (Q). Thông thường, việc tính MH ta chú ý các điều sau: - MH nằm trong tam giác vuông, ta sử dụng định lí Pytago, công thức tính đường cao tam giác vuông, tỉ số lượng giác - MH nằm trong tam giác đã biết độ dài 2 cạnh và góc xen giữa 2 cạnh đó ta dùng định lí Cosin trong tam giác - MH nằm trong một tam giác mà tam giác này lại đồng dạng với tam giác khác, khi đó ta lập tỉ số tương ứng thích hợp giữa hai tam giác trên. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, , SA = 2a, BC = 2a, CD = a a)Tính d(A,(SBC)) b)Tính d(A,(SBD)) bài giải: a)Từ A dựng AM vuông góc SB (M thuộc SB) ta có: Tam giác SAB vuông tại A và AM là đường cao nên: b)Dựng Ta có BD vuông góc với mp(SAI) nên BD vuông góc AH *Nhận xét: a)Do điểm A nằm trong mp(SAB) vuông góc với (SBC), giao tuyến của hai mp này la SB. Vậy để tìm hình chiếu của A trên (SBC) ta chỉ cần từ A hạ AM vuông góc với SB b)trong hình chóp ta chưa thấy mp nào chứa A và vuông góc (SBD), như vậy ta phải dựng mặt phẳng như vậy -để ý là A thuộc đt SA vuông góc với BD, nên ta dựng mp (SAI) chứa A và vuông góc BD, mặt phẳng này cũng vuông góc (SBD). Giao tuyến của 2mp này là đt SI. Vậy để tìm hình chiếu của A trên (SBD), ta dựng AH vuông góc SI Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, SA = SA = 2a. tính khoảng cách: a)Từ S đến (ABCD) b)từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm của AB bài giải: a) b)dựng IK vuông góc HC Nhận xét: a)S nằm trong (SAB) vuông góc (ABCD), và giao tuyến của 2 mp này là AB. Tam giác SAB cân tại S, H là trung điểm AB. Do đó H là hình chiếu của S lên (ABCD) b)Điểm I nằm trong (ABCD) vuông góc (SHC), giao tuyến 2 mp này là HC. Vậy muốn tìm hình chiếu của I lên (SHC) ta chỉ cần dựng IK vuông góc CH Vấn đề 3: khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau *phương pháp: TH 1: a,b là hai đường thẳng chéo nhau, và ta làm như sau: dựng mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b tại B trong (P), dựng BA vuông góc a tại A. khi đó AB sẽ là đoạn vuông góc chung của a,b TH 2: a,b chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau ta làm như sau: dựng mp(P) chứa a và song song b lấy M tùy ý trên b, dựng MM’ vuông góc (P) tại M’ từ M’ dựng b’//b cắt a tại A từ A dựng AB // MM’ cắt b tại B. Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b. *chú ý: trong TH 2, việc tìm đoạn vuông góc chung là phức tạp. ta có thể làm như sau: trên đường thẳng b chọn điểm M thích hợp Khi đó: d(a,b)=d(M,(P)). Ta đưa về bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, BC = 3a, SA vuông góc (ABCD) và SA = 4a. Tính: a)d(SB,AD) b)d(SC,AB) Nhận xét: a)ta dễ nhận thấy AD vuông góc (SAB), nên AD và SB là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc (TH1). Từ A hạ AI vuông góc SB thì SI là đoạn vuông góc chung của AD và SB b)SC và AB là 2 đường thẳng chéo nhau, nhưng không vuông góc với nhau. Việc dựng đoạn vuông góc chung của 2 đt là khó khăn. Để ý SC nằm trong (SCD) và (SCD)// AB, ta đưa bài toán về tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Lời giải: a)Từ A dựng AI vuông góc SB (I thuộc SB) ta có vậy AI là đoạn vuông góc chung của AD và SB trong tam giác SAB: Vậy b) Trong tam giác SAD dựng AK vuông góc SD tại K Vậy d(CD,AB)=12a/5 Các dạng toán tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song chúng ta đều đưa về bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng mà cách tìm lời giải bài toán chúng ta đã biết CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1)Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AB vuông góc (BCD) và AB = a. TÍnh khoảng cách: a)Từ D đến (ABC) b)Từ B đến (ACD) 2)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = h. gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Tính khoảng cách: a)Từ B đến (SCD) b)Từ O đến (SCD) 3)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy và SA = SB = 3a. tính khoảng cách: a)Từ S đến (ABCD) b)từ trung điểm I của CD đến (SHC), với H là trung điểm AB c)Từ AD đến (SBC) 4)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA = 2a, SA vuông góc với đáy. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của: a) SB và CD b) SC và BD c) SC và AB d) SB và AD 5) Cho tứ diện OABC có OA, OB,OC đôi một vuông góc và OA=OB=OC=a. gọi I là trung điểm BC. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng a) OA và BC b) AI và OC 6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a. tính khoảng cách giưa các đường thẳng: a)SA và BD b) SC và BD c) AC và SD 7) Cho hai tam giác cân không đồng phẳng ABC và ABD có cùng đáy AB a)CM AB vuông góc CD b)Xác định đoạn vuông góc chung của AB và CD 8) Cho hình chóp S.ABC có SA = , tam giác ABC vuông tại B với AB = a. M là trung điểm AB. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SM và BC 9)Cho hình vuông ABCD cạnh a. I là trung điểm của AB. Dựng IS vuông góc (ABCD) và IS=. Gọi M,N,P là trung điểm của BC,SD,SB. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của: a)NP và AC b)MN và AP 10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. các cạnh bên SA = SB = SC = SD = . Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC a) CM: (SIK) vuông góc (SBC) b) Tính d(AD,SB) 11)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc với mặt đáy, . Tính: a)d(A,(SCD)), d(B,(SCD)) b)d(AD,(SBC)) 12)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và góc BAD = 60o. gọi O là giao điểm của AC và BD, SO vuông góc (ABCD) và SO = 3a/4. E,F lần lượt là trung điểm BC và BE a) CM: (SOF) vuông góc (SBC) b)Tính d(O,(SBC)), d(A,(SBC)) 13) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ a)CM: B’D vuông góc (BA’C’) b)Tính khoảng cách của hai mặt phẳng (BA’C’) và (ACD’) c)Tính d(BC’,CD’) 14)Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc BAD = 60o, SA = SB = SD = a)Tính d(S,(ABCD)) và độ dài SC b)CM: (SAC) vuông góc (ABCD) và SB vuông góc BC c)tính góc tạo bởi (SBD) và (ABCD) III. Kết luận: Qua thực tiễn giảng dạy, tôi đã dùng tài liệu này cho các em tham khảo. Tôi nhận thấy các em tiếp thu bài cũng nhẹ nhàng hơn và có hứng thú hơn rất nhiều đối với môn hình học không gian. Kết quả đạt được của các em trong các bài kiểm tra của các em đã được cải thiện. Tài liệu này được viết dành cho các học sinh yếu và trung bình lớp 11. quan hệ vuông góc trong không gian là một phần rất quan trọng, vì mảng kiến thức này còn liên quan nhiều đến chương trình hình học lớp 12. Đối với học sinh 12 chuẩn bị thi tốt nghiệp thì đây cũng là tài liệu bổ ích Do đối tượng là học sinh yếu và trung bình, khả năng nhận thức của các em chưa được nhanh nhạy, số tiết dạy trên lớp giáo viên chỉ truyền đạt được lý thuyết và ví dụ minh họa. Tôi kiến nghị nên tăng thời lượng môn toán để giáo viên có thể truyền đạt cho những học sinh nói trên phương pháp học tập, phương pháp lập luận và giải quyết vấn đề. Trong quá trình viết tài liệu này mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng không tránh khỏi những sai sót, rất mong quý thầy cô đồng nghiệp và các em học sinh góp ý để chuyên đề này được tốt hơn. Xin chân thành cảm ơn! Vĩnh cửu ngày 20 tháng 5 năm 2012 Người thực hiện Trịnh Anh Minh