Đề tài Các bài toán về số, chữ số và dãy số

Những Vấn đề chung I-/Tính cấp thiết Hiện nay học Toán và giải toán của học sinh nhìn chung có chiều hướng tiến bộ so với trước. Có được điều đó chính là nhờ các em đã chú trọng, đầu tư nhiều cho việc học nói chung trong đó có học toán. Mặt khác, điều cốt lõi là các giáo viên đã đổi mới phương pháp dạy học phát huy tính chủ động, sáng tạo và óc tư duy cho học sinh. Nhưng do đặc điểm lứa tuổi, đại đa số các em chưa có khả năng tổng hợp các kiến thức đã học thành hệ thống nhất là khi các kiến thức này nằm rải rác ở các lớp. Vì vậy nhiệm vụ của giáo viên bồi dưỡng học sinh là phải giúp các em hệ thống lại các kiến thức đã học thành từng chuyên đề nhỏ, từng loại toán, dạng toán để các em dễ dàng tiếp thu hơn và tiếp thu một cách khoa học. Đối với các bài toán về số, chữ số và dãy số thì các kiến thức cơ bản có từ lớp 1 đến lớp 5, các kiến thức này được đưa ra từ đơn giản đến phức tạp, từ cơ bản đến nâng cao nhằm phù hợp với khả năng tư duy của các em. Do vậy nếu người dạy đầu tư thời gian công sức tập hợp các kiến thức này thành một chuyên đề có tính hệ thống và hướng dẫn, giúp đỡ học sinh các kiến thức từ dễ đến khó thì chắc chắn các em sẽ dễ dàng nắm được lượng kiến thức mà giáo viên và bài học đặt ra. Từ đó khả năng học toán của các em được nâng lên đến độ thích hợp để tiếp thu kiến thức theo trình độ nâng chuẩn và trên chuẩn II-/Mục đích và yêu cầu Khi chọn chuyên đề này để áp dụng cho việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi thì mục đích của đề tài là giúp các em có điều kiện nâng cao khả năng học toán đặc biệt là khả năng tư duy lôgíc và óc khái quát, tổng hợp. Bên cạnh đó đề tài này còn giúp các em có khả năng từ cách giải bài toán cụ thể mà khái quát hoá đưa các bài toán khác cùng loại về dạng đã học để giải. Học xong phần này các em phải đạt được các yêu cầu sau: Nắm được các kiến thức cơ bản về dãy số có nâng cao. Có kĩ năng giải toán và giải được các bài toán cùng dạng và cùng loại. Đạt kết quả tốt trong hoc toán và trong các kì thi chọn học sinh giỏi. III-/Đối tượng và phương pháp Đề tài này dành cho đối tượng học sinh khá giỏi lớp 4 -5 trong các trường, đặc biệt nó có kết quả khả quan hơn trong việc bồi dưỡng các đội tuyển học sinh giỏi. Phương pháp chính là: Phân tích, tổng hợp, giảng giải, vấn đáp, trực quan, điều tra..... đặc biệt chú trọng phương pháp phân tích để tìm ra cách giải của bài toán và tổng hợp để trình bày lời giải của bài toán. Ngoài ra còn sử dụng 1 số phương pháp khác như: thực hành, luyện tập, hoặc thảo luận theo nhóm... Nội dung và kết quả I-/Nội dung Các bài toán về số, chữ số và dãy số là các bài toán yêu cầu học sinh biết dựa vào các tính chất, các đặc điểm của chữ số, số để giải toán đồng thời tính toán trên cơ sở dãy số hoặc quy về dãy số để tính toán và giải toán. Khi bắt đầu bồi dưỡng kiến thức cho các em, qua điều tra và trắc nghiệm tôi thấy kiến thức về số, chữ số và dãy số của các em còn bị hổng nhiều. Các em chưa biết cách giải các bài toán về số, chữ số và dãy số nhất là các bài toán phải quy về dãy số để giải. Ví dụ “Một quyển sách có 234 trang. Hỏi để đánh số trang quyển sách đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số “hoặc” Một bạn học sinh viết liên tiếp các số tự nhiên từ mọt thành một số lớn. Hỏi chữ số thú 2004 là chữ số nào” Qua một số bài làm của học sinh và một số bài kiểm tra, kết quả cụ thể của học sinh như sau: Tổng số bài làm Điểm 9 - 10 Điểm 7 - 8 Điểm 5 - 6 Điểm 1 - 4 35 7 = 20% 14 = 40% 14 = 40% Với kết quả này các em chưa đạt trình độ chuẩn của học sinh giỏi. Như vậy các em khó mà đạt được điểm cao trong các kì thi chọn học sinh giỏi các cấp. Từ đó tôi thấy cần phải giúp các em hệ thống hoá kiến thức về dãy số và các bài toán về số, chữ số và dãy số để các em có cái nhìn tổng quát về kiến thức đã và đang học Bước đầu để các em làm quen với số, chữ số và dãy số tôi đưa ra các ví dụ cụ thể sau đó tổng quát thành các kiến thức đơn giản, cơ bản các em cần nắm được cụ thể như sau: Số và chữ số Những kiến thức cần lưu ý: a- Chữ số là các kí hiệu có tính chất quy ước, dùng để ghi các số. Có mười chữ số là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Khi viết 1 số tự nhiên ta sử dụng mười chữ số trên. chữ số đầu tiên kể từ bên trái của 1 số tự nhiên phải khác 0. Với 10 chữ số này, ta có thể viết được tất cả các số. b- Phân tích cấu tạo của một số tự nhiên : ab = a x 10 + b abc = a x 100 + b x 10 + c = ab x 10 + c abcd = a x 1000 + b x 100 + c x 10 + d = abc x 10 + d = ab x 100 + cd c- Quy tắc so sánh hai số tự nhiên : c.1- Trong 2 số tự nhiên, số nào có chữ số nhiều hơn thì số đó lớn hơn. c.2- Nếu 2 số có cùng chữ số thì số nào có chữ số đầu tiên kể từ trái sang phảilớn hơn sẽ lớn hơn. d- Số tự nhiên có tận cùng bằng 0, 2, 4, 6, 8 là các số chẵn. Số chẵn có tính chất là luôn chia hết cho 2. e- Số tự nhiên có tận cùng bằng 1, 3, 5, 7, 9 là các số lẻ. Số lẻ có tính chất là không chia hết cho 2, mà khi chia cho 2 thì luôn dư 1. g- Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị. Hai số hơn (kém) nhau 1đơn vị là hai số tự nhiên liên tiếp. h- Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Hai số chẵn hơn (kém) nhau2 đơn vị là 2 số chẵn liên tiếp. i- Hai số lẻ liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Hai số lẻ hơn (kém) nhau2 đơn vị là 2 số lẻ liên tiếp. k- Khi phải viết số có nhiều chữ số giống nhau người ta thường chỉ viết 2 chữ số đầu rồi ... sau đó viết chữ số cuối bên dưới ghi số lượng chữ số giống nhau đó 10 . . . 0 8chữ số 0 2- Các dạng toán: F Dạng 1 : Sử dụng cấu tạo thập phân của số ở dạng này ta thường gặp các loại toán sau: Loại 1: Viết thêm 1hay nhiều chữ số vào bên phải, bên trái hoặc xen giữa một số tự nhiên. Bài 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số,biết rằng nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được một số lớn gấp 13 lần số đã cho . Giải : Gọi số phải tìm là ab. Viết thêm chữ số 9 vào bên trái ta dược số 9ab. Theo bài ra ta có : 9ab = ab x 13 900 + ab = ab x 13 900 = ab x 13 – ab 900 = ab x ( 13 – 1 ) 900 = ab x 12 ab = 900 : 12 ab = 75 Bài 2 : Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì nó tăng thêm 1 112 đơn vị . Giải : Gọi số phải tìm là abc. Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải ta dược số abc5. Theo bài ra ta có : abc5 = abc + 1 112 10 x abc + 5 = abc + 1 112 10 x abc = abc + 1 112 – 5 10 x abc = abc + 1 107 10 x abc – abc = 1 107 ( 10 – 1 ) x abc = 1 107 9 x abc = 1 107 abc = 123 Bài 3: Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng nếu viết chữ số 0 xen giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đó ta được số lớn gấp 10 lần số đã cho, nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái số vừa nhận dược thì số đó lại tăng lên 3 lần. Giải: Gọi số phải tìm là ab. Viết thêm chữ số 0xen giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số a0b. Theo bài ra ta có : ab x 10 = a0b Vậy b = 0 và số phải tìm có dạng a00. Viết thêm chữ số 1 vào bên trái số a00 ta được số 1a00. Theo bài ra ta có : 1a00 = 3 x a00 Giải ra ta được a = 5 .Số phải tìm là 50 Loại 2 : Xoá bớt một chữ số của một số tự nhiên Bài 1: Cho số có 4 chữ số . Nếu ta xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số đó giảm đi 4455 đơn vị. Tìm số đó. Giải : Gọi số phải tìm là abcd. Xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số ab. Theo đề bài ta có abcd – ab = 4455 100 x ab + cd – ab = 4455 cd + 100 x ab – ab = 4455 cd + 99 x ab = 4455 cd = 99 x (45 – ab) Ta nhận xét tích của 99 với 1 số tự nhiên là 1 số tự nhiên nhỏ hơn 100. Cho nên 45 – ab phải bằng 0 hoặc 1. - Nếu 45 – ab = 0 thì ab = 45 và cd = 0. - Nếu 45 – ab = 1 thì ab = 44 và cd = 99. Số phải tìm là 4500 hoặc 4499. Loại 3 : Số tự nhiên và tổng, hiệu, tích các chữ số của nó Bài 1 : Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tỏng các chữ số của nó. Giải : Cách 1 : Gọi số phải tìm là ab. Theo bài ra ta có ab = 5 x (a + b) 10 x a + b = 5 x a + 5 x b 10 x a – 5 x a = 5 x b – b (10 – 5) x a = (5 – 1) x b 5 x a = 4 x b Từ đây suy ra b chia hết cho 5. Vậy b bằng 0 hoặc 5. + Nếu b = 0 thì a = 0 (loại) + Nếu b = 5 thì 5 x a = 20, vậy a = 4. Số phải tìm là 45. Cách 2 : Theo bài ra ta có ab = 5 x ( a + b) Vì 5 x (a + b) có tận cùng bằng 0 hoăc 5 nên b bằng 0 hoặc 5. + Nếu b = 0 thay vào ta có : a5 = 5 x (a + 5) 10 x a + 5 = 5 x a + 25 Tính ra ta được a = 4. Thử lại : 45 : (4 + 5) = 5 . Vậy số phải tìm là 45. Bài 2 : Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số chia cho hiệu các chữ số của nó được thương là 28 và dư 1 Giải : Gọi số phải tìm là ab và hiệu các chữ số của nó bằng c. Theo bài ra ta có : ab = c x 28 + 1, vậy c bằng 1, 2 hoặc 3. + Nếu c = 1 thì ab = 29. Thử lại : 9 – 2 = 7 ạ1 (loại) + Nếu c = 2 thì ab = 57. Thử lại : 7 – 5 = 2 ; 57 : 2 = 28 (dư 1) + Nếu c= 3 thì ab = 58. Thử lại : 8 – 5 = 3 ; 85 : 3 = 28 (dư 1) Vậy số phải tìm là 85 và 57. Bài 3 : Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó. Giải : Cách 1 : Gọi số phải tìm là abc. Theo bài ra ta có abc = 5 x a x b x c. Vì a x 5 x b x c chia hết cho 5 nên abc chia hết cho 5. Vậy c = 0 hoặc 5, nhưng c không thể bằng 0, vậy c = 5. Số phải tìm có dạng ab5. Thay vào ta có. 100 x a + 10 x b + 5 = 25 x a x b. 20 x a + 2 x b +1 = 5 x a x b. Vì a x 5 x b chia hết cho 5 nên 2 x b + 1 chia hết cho 5. Vậy 2 x b có tận cùng bằng 4 hoặc 9, nhưng 2 x b là số chẵn nên b = 2 hoặc 7. - Trường hợp b = 2 ta có a25 = 5 x a x 2. Vế trái là số lẻ mà vế phải là số chẵn. Vậy trường hợp b = 2 bị loại. - Trường hợp b = 7 ta có 20 x a + 15 = 35 x a. Tính ra ta được a = 1. Thử lại : 175 = 5 x 7 x 5. Vậy số phải tìm là 175. Cách 2 : Tương tự cach 1 ta có : ab5 = 25 x a x b Vậy ab5 chia hết cho 25, suy ra b = 2 hoặc 7. Mặt khác, ab5 là số lẻ cho nêna, b phải là số lẻ suy ra b = 7. Tiếp theo tương tự cách 1 ta tìm được a = 1. Số phải tìm là 175. Loại 4 : So sánh tổng hoặc điền dấu Bài 1 : Cho A = abc + ab + 1997 B = 1ab9 + 9ac + 9b So sánh A và B Giải : Ta thấy : B = 1009 + ab0 + 900 + ac + 90 + b = 1999 + ab0 + a0 + c + b = 1999 + abc + ab . . .ị a > B Bài 2 : So sánh tổng A và B. A = abc +de + 1992 B = 19bc + d1 + a9e Giải : Ta thấy : B = 1900 + bc + d0 + 1 + a00 + e + 90 = abc + de + 1991 Từ đó ta suy ra A > B. bài 3 : Điền dấu 1a26 + 4b4 +5bc ƒ abc + 1997 abc + m000 ƒ m0bc + a00 x5 + 5x ƒ xx +56 F Dạng 2 : Kĩ thuật tính và quan hệ giữa các phép tính. Bài 1 : Tổng của hai số gấp đôi số thứ nhất. Tìm thương của 2 số đó. Giải : Ta có : STN + ST2 = Tổng. Mà tổng gấp đôi STN nên STN = ST2 suy ra thương của 2 số đó bằng 1. Bài 2 : Một phép chia có thương là 6 và số dư là 3, tổng của số bị chia, số chia và số dư bằng 195. Tìm số bị chia và số chia. Giải : Gọi số bị chia là A, số chia là B Ta có : A : B = 6 (dư 3) hay A = B x 6 + 3 Và : A + B + 3 = 195 ị A + B = 1995 – 3 = 1992. 3 A : | | | | | | | | | 1992 B : | | B = (1992 – 3) : (6 + 1) = 27 A = 27 x 6 + 3 = 165. Bài 3 : Hiệu của 2 số là 33, lấy số lớn chia cho số nhỏ được thương là 3 và số dư là 3. Tìm 2 số đó. Giải : 3 Số lớn : | | | | | 33 Số bé : | | Số bé là : (33 – 3) : 2 = 15 Số lớn là : 33 + 15 = 48 Đáp số : SL 48 ; SB 15. * Bài tập về nhà : Bài 1 : Tìm 1 số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm số 21 vào bên trái số đó ta được 1 số lớn gấp 31 lần số phải tìm. Bài 2 : Tìm 1 số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được số lớn gấp 26 lần số phải tìm. Bài 3 : Tìm 1số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta được số lớn hơn số phải tìm 230 đơn vị. Bài 4 : Cho số có 3 chữ số, nếu ta xoá chữ số hàng trăm thì số đó giảm đi 5 lần. Tìm số đó. Bài 5 : tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó lớn gấp ba lần tích các chữ số của nó . Bài 6 : Cho A = abcde + abc + 2001 B = ab56e + 1cd8 + a9c + 7b5 So sánh A và B Bài 7 : Cho hai số, nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ ta được thương là 7 và số dư lớn nhất có thể có được là 48. Tìm hai số đó. Bài 8 : Tìm số có hai chữ số biết tổng các chữ số của số đó bằng số lẻ nhỏ nhất có hai chữ số, còn chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 3 đơn vị F Dạng 3 : Thành lập số và tính tổng. Bài 1 : Cho 4 chữ số : 0, 3, 8 và 9. a, Viết được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã cho. b, Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho. c, Tìm số lẻ lớn nhất, số chẵn nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho. Giải : Cách 1: Chọn 3 làm chữ số hàng nghìn, ta có các số : 8 – 9 : 3089 0 9 – 8 : 3098 0 – 9 : 3809 3 8 9 – 0 : 3890 0 – 8 : 3908 9 8 – 0 : 3980 Nhìn vào sơ đồ trên ta thấy : Từ 4 chữ số đã cho ta viết được 6 số có chứ số hàng nghìn bằng 3 thoả mãn điều kiện của đề bài. Chữ số 0 không thể đứng ở vị trí hàng nghìn. Vậy só các số thoả mãn điều kiện của đề bài là 6 x 3 = 18 (số) Cách 2 : Lần lượt chọn các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị như sau : - có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn của số thoả mãn điều kiện đề bài (vì số 0 không thể đứng ở vị trí hàng nghìn). - Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm (đó là 3 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn) - Có 2 cách chọn chữ số hàng chục (đó là 2 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn và hàng trăm). - Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị (đó là chữ số còn lại khác hàng nghìn, hàng trăm và hàng chục). Vậy các số viết được là : 3 x 3 x 2 x 1 = 18 (số) b, Số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho phải có chữ số hàng nghìn là chữ số lớn nhất (Trong 4 chữ số đã cho). Vậy chữ số hàng nghìn của số phải tìm bằng 9. Chữ số hàng trăm phải là chữ số lớn nhất trong 3 chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng trăm bằng 8. Chữ số hàng chục là chữ số lớn trong 2 chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng chục là 3. Số phải tìm là 9830. Tương tự phần trên ta nhận được số bé nhất thoả mãn điều kiện của đề bài là 3089. c, Số lẻ lớn nhất thoả mãn điều kiện của đề bài phải có chữ số hàng nghìn là số lớn nhất trong 4 chữ số đã cho. Vậy chữ số hàng nghìn của số phải tìm bằng 9. Số phải tìm có chữ số hàng nghìn bằng 9 và là số lẻ nên chữ số hàng đơn vị phải bằng 3. Chữ số hàng trăm phải là chữ số lớn nhất trong hai chữ số còn lại, nên chữ số hàng trăm phải bằng 8. Vậy số phải tìm là 9830. Tương tự số chẵn nhỏ nhất là 3098. Bài 2 : Viết liên tiếp 15 số lẻ đầu tien để được một số tự nhiên. Hãy xoá đi 15 chữ số của số tự nhiên vừa nhận được mà vẫn giữ nguyên thứ tự các chữ số còn lại đẻe được : a, Số lớn nhất. b, Số nhỏ nhất. Viết các số đó. Giải : Viết 15 số lẻ đầu tiên liên tiếp ta được số tự nhiên : 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Để sau khi xoá 15 chữ số ta nhận được số lớn nhất thì chữ số giữ lại đầu tiên kể từ bên trái phải là chữ số 9. Vậy trước hết ta xoá 4 chữ số đầu tiên của dãy 1, 3, 5, 7. Số còn lại là : 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Ta phải xoá tiếp 15 – 4 = 11 chữ số còn lại để được số lớn nhất. Để sau khi xoá nhận được số lớn nhất thì chữ số thứ hai kể từ bên trái phải là chữ số 9. Vậy tiếp theo ta phải xoá tiếp những chữ số viết giữa hai chữ số 9 trong dãy, đó là 11 13 15 17 1. Số còn lại là : 992 123 252 729. Ta phải xoá tiếp 11 – 9 = 2 chữ số từ số còn lại để được số lớn nhất. Chữ số thứ ba còn lại kể từ bên trái phải là 2, vậy để được số lớn nhất sau khi xoá 2 chữ số ta phải xoá số 12 hoặc 21. Vậy số lớn nhất phải là 9 923 252 729. b, Lập luận tương tự câu a. số phải tìm là 1 111 111 122 Bài 3 : Cho 3 chữ số 2, 3 và 5. Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số mà mỗi số có đủ 3 chữ số đã cho. Hỏi : a, Lập được mấy số như thế b, Mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng mấy lần? c, Tính tổng các số. Giải : a, Ta lập được 6 số sau 235 325 523 253 352 532 b, Mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng 2 lần. c, Tổng các số đó là : (2 + 3 + 5) x 2 x 100 + (2 + 3 + 5) x 2 x 10 + (2 + 3 + 5) x 1 = 10 x 2 x (100 + 10 + 1) = 10 x 2 x 111 = 2220 Bài 4 : Cho 4 chữ số 1, 2, 3, 4. Hãy lập tất cả các số có 4 chữ số mà ở mỗi số có đủ 4 chữ số đẫ cho. Tính tổng các số đó. Giải : Chọn chữ số 1 ở hàng nghìn ta lập được 6 số sau : 1234 1324 1423 1243 1342 1432 Ta thấy mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng 6 lần. Vậy tổng các số lập được : (1 + 2 + 3 + 4) x 1000 x 6 + (1 + 2 + 3 + 4) x 100 x 6 + (1 + 2 + 3 + 4) x 10 x 6 + (1 + 2 + 3 + 4) x 1 x 6 = 10 x 6 x (1000 + 100 + 10 + 1) = 60 x 1111 = 66660. Bài 5 : Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hãy lập tất cả các số có 5 chữ số mà ở mỗi số có đủ 5 chữ số đã cho. Tính tổng Giải : Chọn chữ số 1 ở hàng chục nghìn ta lập được 24 số Tương tự nên ta lập được 24 x 5 = 120 (số) Tổng là : (1 + 2 + 3 + 4 + 5) x 10000 x 24 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) x 1000 x 24 + (1 + 2 + + 3 + 4 + 5) x 100 x 24 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) x 10 x 24 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) x x 1 x 24 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) x 24 x 11111 = 15 x 24 x 11111 = 3999960 Bài 6 : Cho 3 chữ số 3, 3, 4. Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số mà mỗi số có đủ 3 chữ số đã cho mà mỗi chữ số trên chỉ viết 1 lần. Tính tổng các số đó. Giải : Ta lập được 3 số 334, 343, 433 Tổng các số : (3 + 3 + 4) x 100 x 1 + (3 + 3 + 4) x 10 + (3 + 3 + 4) x 1 = 10 x (10 + 10 + 1) = 10 x 111 = 1110. Bài 7 : Cho 4 chữ số : 2, 2, 5, 1. Hãy lập tất cả các số có 4 chữ số mà mỗi số có đủ 4 chữ số đã cho. Tính tổng Giải : - Chọn chữ số 1 ở hàng nghìn ta lập được các số : 1225 1522 1252 - Chọn chữ số 5 ở hàng nghìn ta cũng lập được 3 số. - Chọn chữ số 2 ở hàng nghìn ta lập được 6 số 2152 2251 2512 2125 2215 2521 Vậy ta lập được 12 số. Tổng là : (1 + 2 + 2 + 5) x 1000 x 3 + (1 + 2 + 2 + 5) x 100 x 3 + (1+ 2 + 2 + 5) x 1 x 3 = (1 + 2 + 2 + 5) x 3 x 1111 = 10 x 3 x 1111 = 33330 Bài 8 : Cho 3 chữ số 0, 3, 7. Hãy lập tất cảc các số có 3 chữ số sao cho mỗi số có đủ 3 chữ số đã cho. Tính tổng các số vừa lập Giải : Ta lập được 4 số 703 730 Tổng (3 + 7) x 100 x 2 + (3 + 7) x 10 + (3 + 7) x 1 = 10 x 100 x 2 + 10 x 10 + 10 x 1 = 20 x 100 + 100 + 10 = 2110. Các bài tập áp dụng: Bài 1 : Cho 4 chữ số : 0, 2, 3, 5. Hãy lập tất cả các số mà mỗi số có đủ 4 chữ số đã cho. Tính tổng. Bài 2 : Cho 4 chữ số : 1, 3, 3, 4. Hãy lập tất cả các số có 4 chữ số mà mỗi số có đủ 4 chữ số đã cho. Tính tổng. Bài 3 : Cho 5 chữ số : 0, 1, 3, 2, 4. Hãy lập tất cả các số có 5 chữ số mà mỗi số có đủ 5 chữ số đã cho. Tính tổng. Bài 4 : Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. a, Có thể viết đượcbao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho? Trong các số viết được có bao nhiêu số chẵn? b, Tìm số chẵn lớn nhất, số lẻ nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 5 chữ số đã cho Bài 5 : Có thể viết được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau, biết rằng : a, Các chữ số của chúng đều là những số lẻ? b, Các chữ số của chúng đều là những số chẵn? Bài 6 : a, Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 5 chữ số được viết tữ 3 chữ số khác nhau. b, Tìm số tự nhiên lớn nhất có 5 chữ số được viết từ 3 chữ số khác nhau. Bài 7 : Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 15 để được 1 số tự nhiên. Hãy xoá đi 10 chữ số vừa nhận được mà vẫn giữ nguyên thứ tự của các chữ số còn lại để được : a, Số lớn nhất; b, Số nhỏ nhất; Viết các số đó. Bài 8 : Viết liên tiếp 10 số chẵn khác 0 đầu tiên để được một số tự nhiên. Hãy xoá đi 10 chữ số của số vừa nhận được mà vẫn giữ nguyên thứ tự của các chữ số còn lại để được : a, Số chẵn lớn nhất; b, Số lẻ nhỏ nhất. Dãy số 1- Dãy số là gì ? Ví dụ 1: 1 , 2, 3,..............,100 Ta thấy: 2 - 1 = 1 3 - 2 = 1 ................. Ví dụ 2: 1, 2, 3, 5, 8,............ Ta thấy: 3 = 1 + 2 5 = 2 + 3 ................ Và 1 số ví dụ khác Rút ra kết luận: Dãy số là một tập hợp các dãy số được viết liền nhau liên tiếp theo một quy luật nhất định Dãy số cách đều Ví dụ 1: 1, 3, 5, 7, 9,......... Ta thấy: 3 - 1 = 2 hoặc 1 : 2 = 0 dư 1 5 - 3 = 2 3 : 2 = 1 dư 1 ............... ...................... Ví dụ 2: 2, 5, 8, 11 ................. Ta thấy: 5 - 2 = 3 hoặc 2 : 3 = 0 dư 2 8 - 5 = 3 5 : 3 = 1 dư 2 ............... ...................... Kết luận: Dãy số cách đều là dãy số mà hiệu của mỗi số hạng với số liền trước nó luôn luôn bằng nhau Hoặc: Dãy số cách đều là dãy số mà mỗi số hạng trong dãy khi đem chia cho khoảng cách giữa 2 số hạng đều có cùng số dư Dãy số khác Có nhiều dãy số khác có quy luật khác nhau. Muốn làm một bài toán về dãy số ta buộc phải tìm được quy luật của dãy số đó Ví dụ 1: 1, 2, 4, 8, 16 ........... Quy luật: Mỗi số hạng trong dãy đều gấp đôi số hạng đứng liền trước nó Ví dụ 2: 1, 4, 9, 16, 25,.................. Quy luật: Số hạng ở vị trí nào thì bằng chính số thứ tự của vị trí ấy nhân với chính nó Ví dụ 3: 1, 3, 6, 10, 15,............ Quy luật: Mỗi số hạng bằng tổng của số hạng liền trước với số thứ tự của nó trong dãy số ................. Sau khi các em nắm bắt được các kiến thức cơ bản về dãy số tôi tiếp tục nâng dần mức độ khái quát lên để các em hiểu sâu, hiểu kĩ hơn về dãy số. Đó là các bài toán về dãy số Các bài toán về dãy số cách đều @Dạng 1: Tìm số hạng của dãy số Bài toán: Cho dãy số : 1, 3, 5, 7,........99. Hỏi dãy số có bao nhiêu số hạng Lời giải cụ thể: Số cuối hơn số đầu là: 99 - 1 = 98 Khoảng cách giữa 2 số hạng liền nhau là: - 1 = 5 - 3 = 2 Số khoảng cách là: 98: 2 = 49 Số số hạng là: 49 + 1 = 50 Biểu thức đáp số là: ( 99 - 1) : ( 5 - 3) + 1 = 50 Rút ra công thức tổng quát: Số số hạng = (Số cuối - số đầu): khoảng cách + 1 Bài tập áp dụng + Bài 1: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8,..............100 Dãy số được viết theo quy luận nào ? số 51 có thuộc dãy số không? Tại sao ? + Bài 2: Cho dãy số: 1, 4, 7, 10,......... 214. Hỏi dãy số có bao nhiêu số hạng @Dạng 2: Tính tổng của dãy số Bài toán: Cho dãy số : 2, 4, 6, 8, .........100. Hãy tính tổng của dãy số đó Lời giải cụ thể Tổng của số đầu và số cuối à 2+ 100 = 102 Dãy số có số hạng là: ( 100 - 2) : 2 + 1 = 50 Tổng của dãy số là: (102 ´ 50) : 2 = 2550 Biểu thức đáp số là (2 + 100) ´ 50 : 2 = 2550 Công thức tổng quát Tổng = (số đầu + số cuối) ´ Số số hạng : 2 Bài toán áp dụng: Bài 1: Cho dãy số: 5, 9, 13,........... 1981 Tính tổng của dãy số đó Bài 2: Viết các số chẵn liên tiếp thành dãy số: 2, 4, 6, 8, . . . , 234 a-Tính tổng của dãy số trên? b- Không làm tính cụ thể, em hãy cho biết nếu viết tiếp đến số 2004 thì tổng của dãy số đó có chia hết cho 3 không? Tại sao? @Dạng 3: Tìm só hạng thứ n của dãy số Bài toán: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7,............Hỏi số hạng thứ 100 của dãy số là số nào Lời giải cụ thể Số khoảng cách từ số đầu đến số hạng thứ 100 là 98 - 1 = 99 Mỗi khoảng cách là 3 - 1 = 5 - 3 = 2 Số hạng thứ 100 là 1 + 99 ´ 2 = 199 Công thức tổng quát: Số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách ´ (Số số hạng - 1) - Bài toán áp dụng: Cho dãy số : 101, 104, 107,...... Tìm số hạng thứ 1998 của dãy số đó. @Dạng 4: Tìm số chữ số của dãy biết số số hạng Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3,.......150. Hỏi để viết dãy số này người ta phải dùng bao nhiêu chữ số Giải: Dãy số đã cho có : ( 9 - 1) : 1 + 1 = 9 số có 1 chữ số. Có ( 99 - 10 ) : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ số có ( 150 - 100) : 1 + 1 = 51 số có 3 chữ số. Vậy số chữ số cần dùng là : 9 ´ 1 + 90 ´ 2 + 51 ´ 3 = 342 chữ số Bài toán 2: Một quyển sách có 234 trang. Hỏi để đánh số trang quyển sách đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số. Giải: Để đánh số trang quyển sách đó người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 234 thành dãy số. Dãy số này có ( 9 - 1) : 1 + 1 = 9 số có 1 chữ số Có: ( 99 - 10) : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ số Có: ( 234 - 100) : 1 + 1 = 135 số có 3 chữ số Vậy người ta phải dùng số chữ số là: 9 ´ 1 + 90 ´ 2 + 135 ´ 3 = 594 chữ số áp dụng: Bài 1: Một bạn học sinh viết liên tiếp các số tự nhiên từ 101 đến 2004 thành 1 số rất lớn. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số Bài 2: Trường Tiểu học Thành Công có 987 học sinh. Hỏi để ghi số thứ tự học sinh trường đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số @Dạng 5: Tìm số hạng biết số chữ số Bài toán: Để đánh số trang 1 quyển sách người ta dùng hết 435 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang Giải: Để đánh số trang quyển sách đó, người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên bắt đầu từ 1 thành dãy số. Dãy số này có 9 số có 1 chữ số có 90 số có 2 chữ số Để viết các số này cần số chữ số là 9 ´ 1 + 90 ´ 2 = 189 chữ số Số chữ số còn lại là: - 189 = 246 chữ số Số chữ số còn lại này dùng để viết tiếp các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết được : 3 = 82 số Số trang quyển sách đó là 99 + 82 = 181 ( trang) áp dụng: Bài 1: Để viết dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 người ta dùng hết 756 chữ số. Hỏi số hạng cuối cùng của dãy số là bao nhiêu. Bài 2: Để ghi số thứ tự học sinh của 1 trường Tiểu học, người ta phải dùng 1137 chữ số. Hỏi trường đó có bao nhiêu học sinh @Dạng 6: Tìm chữ số thứ n của dãy Bài toán: Cho dãy số 1, 2, 3,..... Hỏi chữ số thứ 200 là chữ số nào ? Giải: Dãy số đã cho có 9 số có 1 chữ số Có 90 số có 2 chữ số Để viết các số này cần 9 ´ 1 + 90 ´ 2 = 189 chữ số Số chữ số còn lại là - 189 = 11 chữ số Số chữ số còn lại này dùng để viết các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết