Đề tài Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỉ

Sở giáo dục và đào tạo hà nội Phòng giáo dục và đào tạo đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học Tờn đề tài: Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỉ Tỏc giả: Chức vụ: Giỏo viờn Mụn đào tạo: Toỏn Đơn vị cụng tỏc: Trường THCS Thuộc: Đề tài thuộc lĩnh vực: Giảng dạy  Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc -------***------- đề tài sáng kiến kinh nghiệm I . sơ yếu lí lịch Họ và tên : Ngày, tháng, năm sinh : Năm vào ngành : Ngày vào Đảng : Chức vụ, đơn vị công tác : Giáo viên - Trường THCS . Trình độ chuyên môn : Bộ môn giảng dạy : Toán 9 Khen thưởng :  II . nội dung đề tài 1. Tên đề tài : Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỉ 2. Lý do chọn đề tài Một trong những công tác quan trọng trong nhà trường phổ thông là đào tạo bồi dưỡng nhân tài. Để hoàn thành nhiệm vụ đó với cương vị là giáo viên giảng dạy bộ môn Toán, tôi nhận thấy cần thiết phải cải tiến phương pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy học. Được phân công giảng dạy bộ môn Toán 9 và trực tiếp bồi dưỡng HSG môn toán 9 nên đề tài năm nay tôi chọn viết là chuyên đề :  “Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỉ”. Trong SGK Toán 9 đã đưa ra cho học sinh một số phương trình vô tỉ song mới chỉ là các phương trình ở mức độ đơn giản, các em chưa có hệ thống phương pháp giải. Vì vậy khi gặp các bài toán giải phương trình vô tỉ các em lúng túng và thường mắc những sai lầm khi giải. Chính vì vậy tôi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỉ” để tránh được cho các em những sai lầm hay mắc phải và có hệ thống phương pháp giải phương trình vô tỉ để luyện tập được nhiều dạng bài và phương trình vô tỉ trở thành quen thuộc đối với các em. 3. Phạm vi, thời gian thực hiện đề tài: Phạm vi: Lớp 9 - Trường THCS Thời gian: 12 tiết trong đó có 2 tiết kiểm tra.  III Quá trình thực hiện đề tài A- Khảo sát thực tế Khi chưa thực hiện đề tài này, gặp các bài toán giải phương trình vô tỉ các em lúng túng, đa số mắc phải sai lầm trong quá trình giải như không đặt điều kiện cho ẩn để phương trình có nghĩa và điều kiện cho ẩn trong các phép biến đổi tương đương dẫn đến sai nghiệm của phương trình. B- Những biện pháp thực hiện Biện pháp 1: Giúp các em hiểu được thế nào là phương trình vô tỉ. Phương trình vô tỉ là phương trình có có chứa ẩn trong dấu căn. Ví dụ: x + = 13 - = Biện pháp 2: Chỉ cho học sinh thấy một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ. 1. Sai lầm do không chú ý điều kiện có nghĩa của căn thức. Ví dụ1: Giải phương trình: (1) Lời giải sai (1) Vậy phương trình có nghiệm x = -2 Phân tích sai lầm: Giá trị x = -2 không là nghiệm của phương trình (1) vì x = -2 thì không có nghĩa. Để khắc phục sai lầm này ta có 2 cách: Cách 1: Tìm điều kiện có nghĩa của căn thức Cách 2: Thử lại giá trị tìm được vào phương trình ban đầu Lời giải đúng như sau: Điều kiện có nghĩa của căn thức: Khi đó (1) (không thoả mãn điều kiện) Nên phương trình (1) vô nghiệm 2. Sai lầm do không đặt điều kiện của ẩn để biến đổi tương đương. Ví dụ 2: Giải phương trình x + (2) Lời giải sai (2) x - 1 = 9 - 6x + x2 x2 - 7 x + 10 = 0 x1 = 2 ; x2 = 5 Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 2 ; x2 = 5. Nhưng giá trị x2 = 5 không phải là nghiệm của phương trình (2) Vì khi đó = 2 còn 3 - x = 3 - 5 = - 2 Để khắc phục sai lầm này ta phải đặt điều kiện cho vế phải là một số không âm, vì khi đó vế trái là một số không âm. Lời giải đúng : đk : x - 1> 0 x > 1 (2) ĐK: 3- x > 0 x < 3 x - 1 = 9 - 6x + x2 x2 - 7 x + 10 = 0 x1 = 2 ; x2 = 5 loại vì không thoả mãn điều kiện x < 3 Chỉ có 2 thoả mãn điều kiện 1 < x < 3. Vậy phương trình có nghiệm x = 2 3. Có những bài toán học sinh mắc cả 2 sai lầm trên Ví dụ 3: Giải phương trình (3) Lời giải sai: (3) x - 1 = 5x -1 + 3x - 2 + 2 2 - 7x = 2 (3’) 4 - 28 x + 49 x2 = 60 x2 - 52 x + 8 (3’’) 11x2 - 24 x + 4 = 0 (11x - 2) (x - 2) = 0 x1 = ; x2 = 2 Vậy PT (3) có 2 nghiệm là x1 = ; x2 = 2. Phân tích sai lầm: * Các em không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức: Thật vậy: ĐK : Do đó x = không phải là nghiệm của phương trình (3) Để khắc phục sai lầm này ta cần tìm điều kiện có nghĩa của căn thức hoặc phải thử lại các giá trị tìm được vào phương trình (3) * Các em không đặt ĐK để biến đổi tương đương: Thật vậy các phương trình (3’) và (3’’) là không tương đương khi 2 - 7x 0, do đó x = 2 cũng không phải là nghiệm của phương trình (3). Nên phương trình vô nghiệm. Lời giải đúng: Cách 1: Sau khi tìm được x1 = ; x2 = 2 thử lại vào (3) không thoả mãn kết luận phương trình vô nghiệm. Cách 2: Đặt điều kiện có nghĩa cho căn thức của (3) là x > 1, sau đó đặt điều kiện cho (3’) tương đương với (3’’) là x < các giá trị x1; x2 không thoả mãn các điều kiện đó kết luận phương trình vô nghiệm. Cách 3: Từ việc đặt điều kiện có nghĩa của các căn thức là x > 1 x <5x từ đó kết luận phương trình (3) vô nghiệm Biện pháp 3: Hướng dẫn cho các các em một số phương pháp giải phương trình vô tỉ thường dùng. Mỗi phương pháp giáo viên nêu ra một số ví dụ cho HS làm, sau đây là một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. I. Phương pháp nâng lên luỹ thừa: Để làm mất dấu căn ta nâng hai vế lên lũy thừa cùng bậc. Ví dụ 1: Giải phương trình 3 + = x (4) ĐK x > Giải: (4) = x - 3 ĐK: x - 3 > 0 x> 3 2x - 3 = x2 - 6 x + 9 x2 - 8x + 12 = 0 (x - 6) (x - 2) = 0 x1 = 6 ; x2 = 2 (không thoả mãn điều kiện) loại Vậy phương trình có nghiệm x = 6 Ví dụ 2: Giải phương trình x + = 13 (5) ĐK x > 1 (*) Giải: (5) = 13 - x ĐK x < 13 (**) x - 1 = 169 - 26 x + x2 x2 - 27 x + 170 = 0 (x-1) (x-10) = 0 x1 = 17 (không thoả mãn **) loại x2 = 10 (thoả mãn đk) Vậy phương trình (5) có nghiệm x = 10 Ví dụ 3: Giải phương trình (6) ĐK: x > Giải: = +2 2x + 5 = 3x - 5 + 4 + 4 6-x = 4 Với đk x < 6 Phương trình 36 - 12x + x2 = 16(3x-5) x2 - 60x + 116 = 0 (x-58)(x-2) = 0 x1 = 58 loại (không thoả mãn đk) x2 = 2 (thoả mãn đk) Vậy PT(6) có nghiệm x = 2 Ví dụ 4: Giải PT (7) Giải: ĐK: (7) 10 - x + x + 3 + 2 = 25 = 6 - x2 + 7x + 30 = 36 x2 - 7x + 6 = 0 (x-1) (x-6) = 0 x1 = 1 (thoả mãn đk) x2 = 6 (thoả mãn đk) Vậy phương trình (7) có 2 nghiệm x1 = 1 ; x2 = 6. Ví dụ 5: Giải phương trình = x + 1 (8) Giải : ĐK 1 + x > 0 (8) 1 + x = x2 + 2x + 1 x = x (x+2) x [ -( x - 2 )] = 0 PT (*) x2 + 4 = x2 + 4x +4 4x = 0 x = 0 Dễ thấy x = 0 thì 1 + x = 1 > 0 thoả mãn đk Nêu pt có nghiệm x = 0 Ví dụ 6: Giải PT Giải: ĐK : (9) ĐK: Do Dễ thấy x = thì (thoả mãn đk) Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 7: Giải phương trình Giải: (10) x + 45 - x + 16 - 3 (x + 45) (x - 16) = 8000 x2 - 29x - 8720 = 0 (x - 80) (x + 109) = 0 x1 = 80 x2 = -109 Vậy phương trình (10) có 2 nghiệm x1 = 80 ; x2 = -109 Ví dụ 8: Giải phương trình (11) Giải: (11) 2x + 1 + x + 3 3x + 3 x (2x+1) = - x3 x(x2 + 2x + 1) = 0 x (x+1)2 = 0 x1= 0; x2 = -1 Giá trị x2 không thoả mãn (11) Ví dụ 9: Giải phương trình (12) đk : x> 0 Giải: (12) x + - x (*) Với điều kiện 1 - x > 0 x < 1 Phương trình (*) x2 + x = 1 - 2x + x2 3 x = 1 x = (thoả mãn đk) Vậy phương trình (12) có nghiệm x = Ví dụ 10: Giải phương trình (13) Giải: ĐK : Khi đó (13) = x +3 (vì x>1) x +3 = x2 + 6x + 9 x2 + 5x + 6 = 0 (x+2) (x+3) = 0 x1 = -2 (loại) x2 =-3 (loại) Vậy phương trình (13) vô nghiệm Ví dụ 11: Giải phương trình (14) Giải: ĐK : Khi đó (14) ( Vậy phương trình (14) có nghiệm x1 = 1; x2 = 2 II/ Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Các em cần nắm vững hằng đẳng thức để làm mất dấu căn. Sau đó để phá dấu GTTĐ ta có thể xét khoảng hoặc dùng các bất đẳng thức. xảy ra dấu “=” A.B > 0 > A xảy ra dấu “=” A > 0 > - A xảy ra dấu “=” A < 0 Ví dụ 1: Giải phương trình: (15) Giải: Điều kiện x > 1 (15) = 2 áp dụng BĐT > - A xảy ra dấu “=” A < 0 Ta có < 1 x < 2 Kết hợp với đk x > 1 PT (15) có nghiệm là 1< x < 2 Ví dụ 2: Giải phương trình (16) Giải: ĐK : x > 4 (16) áp dụng BĐT xảy ra dấu “=” A.B > 0 Ta có: = 1 ( 1 < < 2 1 < x- 4 < 4 5 < x < 8 (thoả mãn đk) Vậy nghiệm của phương trình (16) là 5 < x < 8 Ví dụ 3: Giải phương trình (17) Giải: ĐK x > 1 (17) (*) + xét 0 < < 1 1 < x < 2 PT (*) 1 - = 1 = 0 x -1 = 0 x = 1 KĐX + Xét > 1 x > 2 PT (*) -1 - = 1 vô nghiệm Vậy PT (17) có 1 nghiệm x = 1 Ví dụ 4: Giải phương trình (18) Giải: ĐK : x > (18) + = 2 = 1 - áp dụng BĐT > - A xảy ra dấu “=” A < 0 Ta có: > 1 - Xảy ra = 1 - - 1 < 0 < 1 x < 1 Kết hợp với đk x > Vậy PT (18) có nghiệm < x < 1 Ví dụ 5: Giải phương trình (19) Giải: ĐK: x > (19) + = 6 = 3 - áp dụng BĐT > - A xảy ra dấu “=” A < 0 Ta có : > 3 - Dấu “=” xảy ra - 3 < 0 < -3 6x - 9 < 9 x < 3 Kết hợp với đk x > Vậy phương trình (19) có nghiệm là < x < 3 Ví dụ 6: Giải phương trình (20) Giải: ĐK: x > (20) = 4 = 3 - áp dụng BĐT > - A xảy ra dấu “=” A < 0 Ta có: > 3 - Xảy ra = 3 - - 3 < 0 < -3 x < 7 Kết hợp với đk x > Vậy phương trình có nghiệm < x < 7 III. Phương pháp đặt ẩn phụ Biến đổi sao cho trong phương trình có chứa những biểu thức đồng dạng sao cho đặt ẩn phụ đưa về phương trình đơn giản hơn hoặc đặt ẩn phụ để đưa phương trình về hệ phương trình thì bài toán trở nên quen thuộc dễ giải. Lưu ý điều kiện của ẩn phụ (nếu có) Ví dụ 1: Giải phương trình 3 x3 + 21 x + 18 + 2 (21) Giải: ĐK : x2 + 7 x + 7 > 0 (21) 3(x2 + 7 x + 7) + 2 - 5 = 0 Đặt = t (t > 0) Ta có phương trình: 3 t2 + 2t - 5 = 0 (t - 1) (3t + 5) = 0 (loại) Với t = 1 = 1 x2 + 7 x + 7 = 1 x2 + 7 x + 6 = 1 0 ( thoả mãn x2 + 7 x + 7 > 0) Vậy phương trình (21) có 2 nghiệm là x1 = -1 và x2 = - 6 Ví dụ 2: Giải phương trình 3x2 + 2 x = 2 (22) Giải: ĐK : x2 + x > 0 x(x+1) > 0 (22) 3(x2 + x) - 2 - 1 = 0 Đặt = t (t > 0) Ta có PT: 3 t2 - 2t - 1 = 0 (t-1) (3t+1) = 0 (loại) Với t = 1 = 1 x2 + x = 1 x2 + x - 1 = 0 thoả mãn Vậy phương trình (22) có 2 nghiệm: Ví dụ 3: Giải phương trình: (23) Giải: đk đúng (23) Đặt Ta có phương trình Vậy phương trình (16) có 2 nghiệm x1= 6 ; x2= - 2 Ví dụ 4: Giải phương trình: = 2 (24) Giải: ĐK (24) =2 Đặt Ta có phương trình t + = 2 t2 - 2t +1 = 0 (t-1)2 = 0 t = 1 Với t = 1 = 1 2x = 1 + x x = 1 (thoả mãn điều kiện) Vậy PT (24) có nghiệm x = 1 Ví dụ 5: Giải phương trình (25) Giải: đk ; Đặt Thay vào phương trình (25) ta được Vậy phương trình (25) có 1 nghiệm Ví dụ 6: Giải phương trình (26) Giải: Ta thấy nên Đặt Khi đó (26) Với: ( do Với : Vậy phương trình (26) có 2 nghiệm x1 = -2; x2 = 2. Ví dụ 7: Giải phương trình (27) Giải: Ta nhận x =1 không phải là nghiệm cuả pt (27) Với x Phương trình (27) Đặt Với t1=1 vô nghiệm Với t2=-3 Vậy phương trình (27) có 1 nghiệm Ví dụ 8: Giải phương trình (28) Đặt = a = b Ta có hệ phương trình : Giải (2) (1- a)(1 + a + a2 ) +2( 1- a)2 = 0 (1- a)(1 + a + a2 + 2 - 4a + 2a2) = 0 3 (1- a)(a2 - a + 1) = 0 Do a2 - a + 1 = (a - ) + > 0 với a 1 - a = 0 a = 1 b = 0 x = 0 là nghiệm của phương trình (28) Ví dụ 9: Giải phương trình: (29) Giải: ĐK Đặt = a > 0 > 0 Ta có . (29) a + b = 1 + a.b a(1- b) - (1- b) = 0 Với a = 1 = 1 x - 1 = 1 x = 2 (thoả mãn đk) Với b = 1 x3 + x2 + x + 1 = 1 x3 + x2 + x = 0 x(x2 + x +1) = 0 Do x2 + x +1= (x +)2 + > 0 Vậy phương trình (29) có 1 nghiệm x = 2 Ví dụ 10: Giải phương trình (30) Giải: ĐK: (30) Đặt: (30) a.b + c = b + a.c a(b - c) - (b - c) = 0 (a - 1)(b - c) = 0 Với a = 1 x - 1 = 1 x = 2 (thoả mãn đk) Với b = c x - 2 = x + 3 0x = 5 vô nghiệm Vậy phương trình (30) có nghiệm x = 2 Ví dụ 11: Giải phương trình x2 - = 5 (31) Giải: ĐK x > -5 Đặt : = a > 0 x + 5 = a2 x = a2 - 5 Ta có hệ phương trình (x - a )(x + a) + (x - a) = 0 (x – a)( x + a + 1) = 0 Với x = a ta có = x x + 5 = x2 (vì x = a > 0) x2 - x - 5 = 0 Với a = - x - 1 ta có = - x - 1 Vậy (31) có 2 nghiệm x1 = ; x2 = Ví dụ 12: giải phương trình ( - )(1+ = 3 (32) Giải ĐK: Đặt: = a = b = = a.b (32) (a - b)( 1 + ab) = 3 Mà a2 - b2 = x + 5 - x -2 = 3 (a - b)( 1 + ab) = a2 - b2 (a - b)( 1 + ab) = (a - b)(a +b) (a - b)( 1 + ab - a- b) = 0 (a + b)(a - 1)(b - 1) = 0 Vậy (32) có 1nghiệm là x = -1 Ví dụ 13: Giải phương trình: (33) Giải: ĐK: Đặt: = a > 0 = b > 0 (1) (33) a + b = 1 + 2 Mặt khác a2 - b2 = 1 +2 ( a- b)(a + b) = 1 + 2 a - b = 1 Vậy ta có hệ phương trình: b = (2) Từ (1) và (2) = 2x + 2 - = x +2 (x+2) - -2 = 0 b2 - b - 2 = 0 Với b = 2 ta có = 2 x + 2 = 4 x = 2 Vậy pt (33) có nghiệm x = 2 Ví dụ 14: Giải PT x3 + 1 = 2 (34) Giải: Đặt = t 2x - 1 = t3 + 1 = 2x (34) (x-t)(x2+ xt +t2)= - (x - t) (x - t)(x2+ xt +t2 + 2) = 0; do x2 + xt + t2 +2 > 0 x - t = 0 x = t = x 2x - 1 = x3 x3 - 2x + 1 = 0 (x - 1)(x2 + x -1) = 0 x1 = 1; x2 = ; x3 = Vậy (34) có 3 nghiệm x1 = 1; x2 = ; x3 = Ví dụ 15: Giải phương trình: - = 1 (35) Giải: Đặt = a ; = b. Ta có hệ phương trình hoặc Vậy phương trình (35) có hai nghiệm x1 = - 61 ; x2 = 30 Ví dụ 16: Giải phương trình: (36) Giải: Đặt u = ; v = Ta có hệ phương trình: Vậy phương trình (36) có 1 nghiệm x = 0 Ví dụ 17: Giải phương trình (37) Giải : ĐK: x < 1 Đặt a4 = 1 - x = b > 0 b4 = 2 - x a4 + b4 = 3 - 2x (37) a + b = (a + b)4 = a4 + b4 a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4 ab3 + b4 = a4 + b4 2ab (2a2 + 3ab + 2b2) = 0 Nếu Nếu a = 0 => = 0 x = 1 (thoả mãn đk) Nếu b = 0 => = 0 x = 2 (loại) Vậy (37) có 1 nghiệm là x = 1. Ví dụ 18: Giải phương trình + + = 3 (38) Giải: ĐK : -1 < x < 1 Đặt 1 + x = a > 0 ; 1 - x = b > 0 (38) = 3 áp dụng BĐT Cô si 0) 3 = < < Mà a + b = 1 + x + 1 - x = 2 Nên 3 < 2 + = 3 . Dấu “=” xảy ra a - b = 1 1 + x = 1 - x x = 0 (thoả mãn đk) Vậy (38) có 1 nghiệm là x = 0. Ví dụ 19: Giải phương trình (39) Giải: điều kiện Đặt ; 3 - (v ) u + v = 3; Ta có hệ phương trình: Vậy phương trình (39) có 2 nghiệm x1 = 4 và x2 = 1 Ví dụ 20: Giải phương trình x + (40) Giải; Đ/k: - Đặt Ta có hệ phương trình hoặc vô nghiệm hoặc x=1 hoặc x = 4 Vậy phương trình (40) có 2 nghiệm x1 = 1, x2 = 4 IV. Phương pháp bất đẳng thức: Ví dụ 1: Giải phương trình (41) Giải: Ta chứng tỏ tập giá trị hai vế rời nhau Đ/k Với đk này thì x < 5x do đó Suy ra vế trái của (41) là số âm, còn vế phải không âm phương trình vô nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: (42) Giải: ĐK: xÊ -1; x ³1. Ta có: VT = VT = do VT > VP PT (42) vô nghiệm. Ví dụ 3: Giải phương trình (43) Giải : ĐK Ta có: VT = PT (43) vô nghiệm. Ví dụ 4: Giải phương trình: (44) Giải: Pt(44) VT = VP = 0 PT (44) vô nghiệm. Ví dụ 5: Giải phương trình (45) Giải: Ta có vế trái: = Vế phải: Hai vế đều bằng 5 khi x = -1 Vậy phương trình (45) có 1 nghiệm x = -1 Ví dụ 6: Giải phương trình: (46) Giải: Ta thấy x = 0 là nghiệm đúng của phương trình (46) Với x > 0 thì Với x < 0 thì Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình (46). Ví dụ 7: Giải phương trình (47) Giải: đk Ta thấy x=3 là nghiệm của (35) Xét x >3 thì ; Vế trái của (47) lớn hơn 3 Xét -1 thì ; Nên vế phải của (47) nhỏ hơn 3 Vậy phương trình (47) có 1 nghiệm duy nhất x=3 Ví dụ 8: Giải phương trình (48) Giải: đk áp dụng bđt cô si cho 2 số dương và Ta có đều thoả mãn x> Vậy phương trình (48) có 2 nghiệm ; Ví dụ 9: Giải phương trình (49) Giải: Đ/k 2x-3 Ta có phương trình (37) Do nên thoả mãn đk x Vậy phương trình (49) có 1 nghiệm x= -1 Ví dụ 10: Giải phương trình: (50) Giải: ĐK : (50) áp dụng công thức: với Ta có Nếu VP > 0 , VT < 0 vô lí. Nếu VP 0 vô lí. Vậy chỉ có x = 2 thoả mãn điều kiện PT (50) có 1 nghiệm x = 2. Ví dụ 11: Giải phương trình: (51) Giải: ĐK (51) Dấu đẳng thức ở (1) và (3); (2) và (4) không đồng thời xảy ra Nên: và áp dụng công thức: với Vì thế: (51) Nếu x 0 ; VP < 0 Nếu x > 2 thì VT 0 Nếu x = 2 thì VT = VP = 0. Vậy phương trình (51) có nghiệm duy nhất x = 2. Ví dụ 12: Giải phương trình (52) Giải: Đ/k (52) Do ; ; Vậy phương trình (52) có 1 nghiệm (x, y, z) = (3, 7,14) Ví dụ 13: Giải phương trình : (53) Giải: Đ/k x Phương trình (53) áp dụng bđt Bunhia Côpski ta có: dấu “=” xảy ra Phương trình (43) kết hợp với đk và thử lại thấy x =1 là nghiệm của phương trình (53) Đối với PT này ta thường dùng các hằng đẳng thức như bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, BĐT Cosi, Bunhiacopxki, so sánh tập giá trị của hai vế, chứng minh nghiệm duy nhất. Đặc biệt lưu ý các dấu “=” xảy ra để kết luận nghiệm. Biện pháp 4: Bài tập về nhà Sau khi hướng dẫn các em một số phương pháp để giải phương trình vô tỉ với 53 ví dụ từ dễ đến khó với vốn kiến thức nhất định về phương trình vô tỉ giáo viên nêu ra một hệ thống bài tập để cho học sinh luyện tập nhằm củng cố khắc sâu kiến thức đã học. Giải các phương trình sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. IV. Kết quả thực hiện có so sánh đối chứng Sau một thời gian kiên trì thực hiện các biện pháp trên, các em đã có kỹ năng giải phương trình vô tỉ.  V. Những kiến nghị và đề nghị sau quá trình thực hiện đề tài: - Nhà trường mua thêm sách tham khảo. - Mong muốn được tham khảo để học tập những sáng kiến kinh nghiệm hay. Tác giả ý kiến đánh giá của hội đồng khoa học cơ sở Chủ tịch ý kiến đánh giá của hội đồng khoa học cấp trên Chủ tịch