Đề tài Một số phương pháp giải toán tích phân

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT TRỊ AN TỔ TOÁN Mã số : SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN TÍCH PHÂN Người Thực Hiện : Lê Công Quý Lĩnh vực nghiên cứu Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học bộ mơn Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác Sản phẩm đính kèm : Mơ hình phần mềm phim ảnh Hiện vật khác Năm học: 2011-2012 SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC ****** THƠNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ và tên : Lê Công Quý Ngày tháng năm sinh : 14/03 /1973 Nam, nữ :nam Địa chỉ : Tổ 1, Khu phố 3, Thị trấn Vĩnh An, Huyện Vĩnh Cửu, Tỉnh Đồng Nai Điện thoại di động : 01677895669 Fax: e- mail: Chức vụ: Đơn vị cơng tác: Trường THPT Trị An TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: Học vị: cử nhân Năm nhận bằng : 1996 Chuyên ngành đào tạo: Toán KINH NGHIỆM KHOA H ỌC Lĩnh vực chuyên mơn cĩ kinh nghiệm : dạy học mơn Toán Số năm cĩ kinh nghiệm: 16 năm Các sáng kiến kinh nghiệm đã cĩ trong 2 năm gần đây : Phương pháp giải phương trình lượng giác I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán học phổ thông , Tích phân là một vấn đề khó đối với học sinh , thường học sinh lúng túng khi làm bài, không biết bắt đầu từ đâu, xuất phát từ cái gì, sử dụng phương pháp gì cách biến đổi nào cho phù hợp . đọc bài giải , sách tham khảo thì có thể hiểu được nhưng khi thực hành thì khó và thường mắc sai lầm khi làm toán . Trước thực trạng đó bản thân tôi qua nhiều năm giảng dạy . đã đúc kết được một vài kinh nghiệm nhỏ khi giải toán tích phân. xin được trình bày dưới đây để đồng nghiệp và học sinh có thể tham khảo và góp ý kiến. Đề tài tích phân thì rộng , ở đây tôi chỉ giới thiệu một số phương pháp giải bài toán tích phân mà trong quá trình giảng dạy hay gặp nhất. Bên cạnh đó đưa bài toán minh họa và cách giải cụ thể rỏ ràng. Từ thấp đến cao , từ đơn giải đến phức tạp, để học sinh có thể tham khảo và hình thành được phương pháp giải cho mình, từ đó thấy hứng thú hơn trong học tập môn Toán nói chung và phương pháp giải tích phân nói riêng. II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN - Từ cơ sở sách giáo khoa giải tích lớp 12 nâng cao do nhà giáo Đồn Quỳnh tổng chủ biên tơi tĩm tắc phần lý thuyết như sau: a. Định nghĩa tích phân : cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân của f(x) từ a đến b và ký hiêu là: trong trường hợp a < b ta gọi là tích phân của f(x) trên đoạn [a;b] người ta cịn dùng ký hiệu để chỉ hiệu số F(b) – F(a) vậy theo định nghĩa ta cĩ : == F(b) – F(a) b. Tính chất của tích phân : giả sử các hàm số f(x) ,g(x) liên tục trên khoảng K và a,b,c là các số thuộc K. (1) (2) (3) (4) (5) (k : hằng số) - Trong sách giáo khoa các phương pháp tính tích phân chưa thật sự đầy đủ các dạng bài tập . do đĩ chưa đáp ứng đủ nhu cầu kiến thức phục vụ cho học sinh tham gia các kỳ thi như trung học chuyên nghiệp, cao đẳng và tuyển sinh đại học . Thơng qua đề tài này , tơi đã phân loại , bổ sung thêm các dạng tốn mà sách giáo khoa chưa giới thiệu theo tinh thần từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp . mỗi loại cĩ trình bày phương pháp cụ thể và ví dụ minh họa , bài giải một cách rõ ràng để học sinh và đồng nghiệp tiện tham khảo. 2. NỘI DUNG , BIỆN PHÁP THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI: a. Tính tích phân bằng định nghĩa phương pháp: xác định được ngay nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích phân rối áp dụng định nghĩa để tính tích phân ví dụ 1: tính các tích phân sau: a) b) c) giải a) = = = 24 b) = = c)I = vì Chú ý: ở dạng này học sinh thường mắc sai lầm khi lấy nguyên hàm , các em thường để cả dấu trị tuyệt đối khi lấy nguyên hàm . Sai lầm : nguyên hàm của f(x) = là F(x) = b. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số : Tính tích phân Cơ sở của phương pháp đổi biến số là cơng thức sau đây Trong đĩ hàm số u = u(x) cĩ đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) liên tục và sao cho hàm số f[u(x)] xác định trên K; a,b là 2 số thuộc K chú ý: nếu tính tích phân bằng phương pháp đổi biến đặt u = u(x) sao cho : h(x) = k u’(x) ( k hằng số ) và g(x) biểu diển được theo u ví dụ : Tính các tích phân sau: a) I = b) J = c) H = phân tích : a) I = Ta xem g(x) = ; h(x) = x Đặt u = -x2 Þ g(x) = eu ( g(x) : biểu diễn được theo u ) u’(x) = -2x = -2h(x) Þ h(x) = ( h(x) : bằng u’(x) nhân hằng số ) Vậy bài tốn đặt u = -x2 là hợp lý giải a) Đặt u = -x2 Þ du = -2xdx Þ xdx = Đổi cận x = 1 Þ u = -1 x = 0 Þ u = 0 do đĩ I = b) J = đặt u = 1+2sin2x Þ du = 4cos2xdx Þ cos2xdx = đổi cận x = Þ u = 3 x= 0 Þ u = 1 do đĩ J = c) H = đặt u = 1+ lnx Þ du = đổi cận x = e Þ u = 2 x = 1 Þ u = 1 do đĩ H = c. Tích phân hàm số hữu tỉ: Dạng 1: I = Dạng 2: I = ( với D = b2 -4ac) nếu D > 0 : ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) nên I = nếu D = 0 : ax2 + bx + c = a(x – x0)2 ( với x0 = ) nên I = nếu D < 0: ax2 + bx + c = a(x- x0)2 + = nên I cĩ dạng I = dùng đổi biến u = atant Dạng 3: I = phân tích I = chú ý: nếu D > 0 ta cĩ : I = phân tích đồng nhất hệ số ta tìm được A,B sau đĩ đưa về dạng 1 nếu D = 0 ta cĩ I = = ví dụ: Tính các tích phân sau: A = ; B = ; C = ; D = giải: A = = = B = = = = + == ln3 - = ln3 + C = = phân tích : giải hệ : D= Phân tích : giải hệ D== Ta cĩ: đặt đổi cận : x = 0 Þ t = x= 1 Þ t = dx = I = = vậy D = 2ln3 + d. Tích phân của hàm vơ tỉ: phương pháp : 1) khi gặp tích phân của hàm chứa ta dùng phương pháp đổi biến số , đặt u = ( f(x) : đa thức hoặc phân thức) nếu biến số vừa nêu khơng giải được thì : + dùng x = acost ( hoặc x = asint ) khi gặp + dùng x = atant khi gặp 2) với dạng , đặt u = nếu (ax2+bx+c)’ = k(mx + n) ta cĩ thể đặt u = ví dụ : Tính các tích phân sau: giải a) đặt u = Þ u3 = 3x + 1Þ 3u2du = 3xdx Þ u2du = xdx và x = đổi cận : x = 0 Þ u = 1 x = 1 Þ u = b) đặt u = và x = đổi cận : x = 0 Þ u = 1 x = 1 Þ u = c) đặt u = và x2 = u2 – 2 đổi cận : x = 0 Þ u = x = 1 Þ u = Ví dụ 2: Giải đặt u = Þ x = Þ dx = đổi cận : x = 1 Þ u = 1 x = 2 Þ u = ½ chú ý: đặt t = Þ t2 = x2 + 2x + 2 Þ tdt = (x+ 1)dx đổi cận : x = 0 Þ t = x = 1 Þ t = Ví dụ 3: giải đặt x-1 = 3sint , xỴ Þ dx = 3costdt đổi cận : x = Þ t = x = 1 Þ t = 0 Do đĩ : A = đặt x = tant , xỴ đổi cận : x = Þ t = x = 1 Þ t = dx = (1 + tan2x)dt , x2 = tan2t B = đặt u = sint Þ du = costdt đổi cận : t = t = ÞB== e.Tích phân hàm lượng giác *Xét tích phân dạng nếu thì đổi biến số t = cosx nếu thì đổi biến số t = sinx nếu thì đổi biến số t = tanx nếu 3 cách trên thất bại đặt t = tan *Dạng đặt biệt nếu n lẻ, m chẵn : đổi biến số t = cosx nếu n chẵn, m lẻ : đổi biến số t = sinx nếu n lẻ, m lẻ : đổi biến số t = sinx ( hoặc t =cosx) nếu n chẵn, m chẵn và mn < 0 : đổi biến số t = tanx Ví dụ1: Tính các tích phân sau: A = ; B = giải: A = = B== Ví dụ 2: A = ; B= ;; giải * A = đặt t = sinx Þ dt = cosxdx đổi cận x = Þ t = x = Þ t = 1 * B= đặt t = cosx Þ dt = -sinxdx Þ sinxdx = -dt đổi cận x = 0 Þ t = 1 x = p Þ t = -1 Þ B= = * đặt t = cosx Þ dt = -sinxdx Þ -dt = sinxdx đổi cận : x = 0 Þ t = 1 x = Þ t = chú ý : ta cĩ thể đặt t = sinx Þ dt = cosxdx khi đĩ dùng tích phân hàm hữu tỉ ta tính được , tuy khá phức tạp hơn cách làm trên , trong trường hợp này ta nên dùng đổi biến đặt t = cosx biến ở mẫu số . * Đặt t = tanx Þ dt = đổi cận: x = Þ t = ; x = Þ t = 1 Þ= f.Phương pháp tích phân từng phần Cơ sở của phương pháp này là cơng thức sau: Trong đĩ các hàm số u,v cĩ đạo hàm liên tục trên K và a,b là hai số thuộc K Ta cịn viết cơng thức dưới dạng: Các loại tích phân dùng phương pháp từng phần thường gặp: nếu P(x) : đa thức Q(x) các hàm sau : eax+b , sin(ax + b) , cos(ax + b) đặt u = P(x) ; dv = Q(x)dx nếu P(x) : đa thức Q(x) : loga(cx + d) đặt u = Q(x) ; dv = P(x)dx V í d ụ: Tính tích phân các hàm số sau: a) A= b) B= c) C= d) D = giải: a)A= đặt u = x Þ du = dx dv = e3xdx Þ v = A = = - = b)B = đặt u = x - 1 Þ du = dx cosxdx = dv Þ v = sinx B = = = c) C = đặt u = 2 – x Þ du = - dx dv = sin3xdx chọn v = - C = d) D = đặt u = ln(x-1) Þ du = dv = 2x dx chọn v = x2 – 1 nhận xét: *học sinh thường chọn v = x2 rồi tính tích phân = *ở đây ta chọn bất kỳ một nguyên hàm của 2x sao cho việc biến đổi bài tốn đơn giản nhất . Chú ý: ngồi ra cịn gặp các tích phân mà ta phải dùng tích phân từng phần nhiều lần để làm xuất hiện lại tích phân ban đầu . Và đơi khi gặp các tích phân khơng thuộc các dạng ở trên, dùng phương pháp đổi biến số khơng giải được ta cĩ thể dùng phương pháp tích phân từng phần Ví dụ tính các tích phân sau: a) A = ; b)B = ; c) C = Giải a) A = đặt u = ex Þ du = exdx cosxdx = dv chọn v = sinx Þ A = - = (1) Tính B = đặt u1 = ex Þ du1 = exdx sinxdx = dv1 chọn v1 = -cosx Þ B = -+ = 1+A (2) từ (1) và (2) Þ A = (1 + A) Þ A = b) B = đặt u = (lnx)2 Þ du = 2. dv = dx chọn v = x Þ B = Tính C = đặt :u 1 = lnx Þ du1 = dv1 = dx chọn v1 = x Þ C = vậy B = e – 1 c)C = đặt u = ln(sinx) Þ du = dv = chọn v = tanx Þ C = = BÀI TẬP LÀM THÊM Tính các tích phân sau: Bài 1: a) ; b) c) d) Bài 2: a) b) c) d) Bài 3: a) b) c) d) Bài 4: a) b) c) d) Bài 5: a) b) c) d) III.HIỆU QỦA CỦA ĐỀ TÀI : - Sau một năm áp dụng sáng kiến này vào các lớp mà tơi trực tiếp giảng dạy ở trường THPT trị an, thấy học sinh hứng thú hơn trong học tập nhận dạng được bài tốn tích phân , áp dụng giải được bài tập sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác . - số liệu thống kê kết qủa đạt được so với trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này Năm học 2010 – 2011 khi chưa làm sáng kiến kinh nghiệm này tơi đã cho 2 lớp :12A11, và 12A10 làm bài kiểm tra 45 phút và kết qủa thu được như sau: lớp 12A10 Sĩ số giỏi Khá Trung bình yếu-kém 45 2 10 9 24 % 4.5 22.2 20 53.3 lớp 12A11 Sĩ số giỏi Khá Trung bình yếu-kém 46 1 11 8 26 % 2.2 23.9 17.4 56.5 năm học 2011-2012 sau khi làm xong sáng kiến kinh nghiệm này , tơi đã cho 2 lớp 12A1 và 12A4 làm bài kiểm tra 45 phút và kết quả thu được như sau: lớp 12A1 Sĩ số giỏi Khá Trung bình yếu-kém 44 10 25 8 1 % 22.7 56.8 18.2 2.3 lớp 12A4 Sĩ số giỏi Khá Trung bình yếu-kém 40 6 21 11 2 % 15 52.5 27.5 5 mặc dù việc so sánh này ở các lớp khác nhau , chất lượng học sinh khác nhau nên chưa được chính xác cho lắm. nhưng dù sao Nhìn vào 2 bảng thống kê cũng phản ánh được một phần nào đĩ sự tiến bộ của học sinh sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này . IV. ĐỀ XUẤT , KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG: Sáng kiến kinh nghiệm này cĩ phạm vi áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả cao tại trường và các trường bạn trên cơ sở đĩ đề xuất : hằng năm giáo viên trong nghành giáo dục làm rất nhiều đề tài tham gia các cuộc thi hội giảng , chiến sĩ thi đua cấp cơ sở , chiến sĩ thi đua cấp tỉnh . nghành cĩ kế hoạch chọn các đề tài chất lượng đĩng thành đĩa CD phát hành về các trường để giáo viên và học sinh tham khảo. V. TÀI LIỆU THAM KHẢO: 1. Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao do Đồn Quỳnh tổng chủ biên – nhà xuất bản giáo dục phát hành - năm 2008 2 . sách giáo khoa giải tích 12 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 do Ngơ Thúc Lanh chủ biên – nhà xuất bản giáo dục phát hành năm 2000 3. sách chuyên đề luyện thi vào đại học - Giải Tích - Đại Số tổ hợp do trần văn hạo chủ biên – nhà xuất bản giáo dục phát hành năm 2001 Vĩnh an ngày 21 / 5 / 2012 Người thực hiện Lê Cơng Quý PHIẾU NHẬN XÉT , ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học :2011-2012 Tên Sáng Kiến Kinh Nghiệm: Một số phương pháp giải tốn tích phân Họ và tên tác giả : Lê Cơng Quý , Đơn Vị Tổ : Tốn lĩnh vực : Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học bộ mơn Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác Tính mới: Cĩ giải pháp hồn tồn mới Cĩ giải pháp cải tiến , đổi mới từ giải pháp đĩ Hiệu Quả : Hồn tồn mới và đã triển khai áp dụng trong tồn nghành cĩ hiệu quả cao Cĩ tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã cĩ và đã triển khai áp dụng trong tồn nghành cĩ hiệu quả cao Hồn tồn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị cĩ hiệu quả cao Cĩ tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã cĩ và đã triển khai áp dụng tại đơn vị cĩ hiệu quả cao Khả năng áp dụng - Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối , chính sách : tốt khá đạt - Đưa ra các giải pháp khuyến nghị cĩ khả năng ứng dụng thực tiễn ,dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống : : tốt khá đạt - Đã đươc áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc cĩ khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng : : tốt khá đạt Xác nhận của tổ chuyên mơn: Thủ trưởng đơn vị : ( Ký và ghi rỏ họ tên ) ( ký tên , ghi rõ họ tên và đĩng dấu)