Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 THCS - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Hoài Nhơn (Có đáp án)

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO Năm học 2018 – 2019 Môn: TOÁN 9 Đề chính thức Ngày thi: 01/12/2018 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1. (4.0 điểm) 2 3 6 8 4 a) Thu gọn biểu thức: A . 2 3 4 2 2018 b) Cho x . Tính giá trị của biểu thức B 1 2 x x2 x3 x 4 . 1 1 2 1 1 2 1 1 c) Cho x 3 3 2 2 3 3 2 2 và y 3 17 12 2 3 17 12 2 . Tính giá trị của biểu thức: C x3 y3 3 x y 2018 . Bài 2. (4.0 điểm) a) Tìm các số nguyên dương có hai chữ số, biết số đó là bội của tích hai chữ số của chính số đó. 1 1 1 1 b) Chứng minh rằng số tự nhiên A 1.2.3.....2017.2018. 1 ... chia hết cho 2 3 2017 2018 2019 . Bài 3. (5.0 điểm) 3.1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a2 b2 c 2 a b 2 b c 2 c a 2 a) Tính a b c , biết rằng ab bc ca 9 . b) Chứng minh rằng: Nếu c a, c b thì c a b . 3.2. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x 2019 y 2019 z 2019 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: E x2 y2 z 2 . Bài 4. (4.0 điểm) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Hai điểm M , N lần lượt di động trên AM AN hai đoạn thẳng AB, AC sao cho 1. Đặt AM x và AN y . Chứng minh rằng: MB NC a) MN2 x2 y 2 xy . b) MN a x y . c) MN luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Bài 5. (3.0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O , gọi M là trung điểm của cạnh BC , H là trực tâm của tam giác ABC và K là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh KM BC . Tính diện tích của tam giác ABC , biết OM HK và AM 30 cm. 4 ----------  HẾT  ---------- ĐÁP ÁN THAM KHẢO Bài 1. (4.0 điểm) 2 3 6 8 4 a) Thu gọn biểu thức: A . 2 3 4 Lời giải. 2 3 6 8 4 2 3 4 2 2 3 4 Ta có: A 1 2 . 2 3 4 2 3 4 2 2018 b) Cho x . Tính giá trị của biểu thức B 1 2 x x2 x3 x 4 . 1 1 2 1 1 2 1 1 Lời giải. 2 2 Ta có: x 2. Thay x 2 vào biểu 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2018 2 3 4 2018 2018 thức, ta được: B 1 222 2 2 1222224 1 1. c) Cho x 3 3 2 2 3 3 2 2 và y 3 17 12 2 3 17 12 2 . Tính giá trị của biểu thức: C x3 y3 3 x y 2018 . Lời giải. 3 ● Ta có x 3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3.x 3 2 2 6 3x 3 và y3 3 17 122 3 17 222 17 122 3.y 17122 34 3y ● Cộng vế theo vế, ta được: x 3 y3 40 3 x 3 y x3 y 3 3 x y 2018 2058 .  Vậy C 2058 khi x 3 3 2 2 3 3 2 2 và y 3 17 12 2 3 17 12 2 . Bài 2. (4.0 điểm) a) Tìm các số nguyên dương có hai chữ số, biết số đó là bội của tích hai chữ số của chính số đó. Lời giải. Gọi số cần tìm là ab , theo đề, ta có 10a b k . a . b . (Trong đó: 1 a,b 9 và a,, b k ). 10 10 10 10 1 Suy ra b . Vì 1 b 9 1 9 k 10. k.a 1 1 1 k k 9 a a a a 10 1 k 10 9 a 1 5 5  Từ  k ;2; ;5;10  . 1 a 3 2  10 : k a a 1 a 3 1 5 a. 3k 5 3 8 ● Nếu k  k (không thỏa) hoặc k 2 (thỏa)  ab 36 . a 3 b 6 3 b 6 b 6 a 1 1 a. k 2 1 ● Nếu k 2  k 3 (thỏa)  ab 15 . a b 5 b 5 a 1 a 2 1 5 a. 2k 5 2 7 ● Nếu k  k (không thỏa) hoặc k 3 (thỏa)  ab 24 . a 2 b 4 2 b 4 b 4 a 1 1 a. k 5 1 ● Nếu k 5  k 6 (thỏa)  ab 12 . a b 2 b 2 a 1 1 a. k 10 1 ● Nếu k 10  k 11 (thỏa)  ab 11. a b 1 b 1 Vậy ab 11;12;15;24;36. 1 1 1 1 b) Chứng minh rằng số tự nhiên A 1.2.3.....2017.2018. 1 ... chia hết cho 2 3 2017 2018 2019 . Lời giải. 1 1 1 Ta có B 1.2.3..... n . 1 ... là số tự nhiên. Thật vậy 2 3 n ● Với n 1 thì B 1  đúng. ● Với n 2 thì B 3  đúng. 1 1 1 ● Giả sử đúng khi n k , nghĩa là B 1.2.3..... k . 1 ... . 2 3 k 1 1 1 ● Cần chứng minh đúng khi n k 1, nghĩa là B 1.2.3..... k 1 . 1 ... . 2 3k 1 1 1 1 1 1 1 Ta có 1.2.3..... k 1 . 1 ... 1.2.3..... 1 ... . k 1 1.2.3.....k . 2 3k 1 2 3 k 1 1 1 1.2.3..... 1 ... 2 3 k Có k 1  B . 1.2.3.....k 1 1 1 Vậy 1.2.3.....n . 1 ... là số tự nhiên. 2 3 n 1 1 1 1 1 Suy ra, với n 2k thì 1.2.3.....2k . 1 ... và 1.2.....k . 1 ... là các số tự nhiên 2 3 2k 2 k 1 1 1  ... . k 1 k 2 .....2 k cũng là các số tự nhiên. k 1 k 2 2k 1 1 ● Áp dụng các chứng minh ta có: 1.2.....1009. 1 ... và 2 1009 1 1 1 ... .1010.1011.....2018 cũng là các số tự nhiên. 1010 1011 2018 1011 3 Ta có  1010.1011.....1342.....2018 2019 1342 673 1 1  1.2.....1009. 1 ... .1010.1011.....1342.....2018 2019 . 2 1009 33 Và  1.2.3.....673.....1009 2019 673 673 1 1 1  1.2.....1009. ... .1010.1011.....2018 2019 . 1010 1011 2018 1 1 1 1  Vậy số tự nhiên A 1.2.3.....2017.2018. 1 ... chia hết cho 2019 . 2 3 2017 2018 Bài 3. (5.0 điểm) 3.1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a2 b2 c 2 a b 2 b c 2 c a 2 a) Tính a b c , biết rằng ab bc ca 9 . Lời giải. Từ a2 b 2 c 2 a b 2 b c 2 c a 2  a2 b 2 c 2 2 ab bc ca 4 ab bc ca . Mà ab bc ca 9 nên a b c 2 36  a, b, c 0 a b c 6 . b) Chứng minh rằng: Nếu c a, c b thì c a b . Lời giải. Ta có a2 bc 2 2 ab 2 bc 2 ca 2 cab 2 4 ab . Không mất tính tổng quát, giả sử: c a b . Khi đó, ta có: c a b 2 b 1 2 2 c a b 4 ab 4 b . c a b 2 b 2 ● 1 c a b 0  c a b . ● 1 c a b 2 b c a b 0 , mà c a 0 suy ra vô lí.  Vậy: nếu c a, c b thì c a b . 3.2. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x 2019 y 2019 z 2019 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: E x2 y2 z 2 . Lời giải. Cách 1. ● Áp dụng bất đẳng thức COSI ta có các đánh giá sau: 2019 2019 2 x x 1 1 1 ... 1 2019x . Dấu " " xảy ra khi x 1. 2017so 1 2019 2019 2 y y 1 1 1 ... 1 2019y . Dấu " " xảy ra khi y 1. 2017so 1 2019 2019 2 z z 1 1 1 ... 1 2019z . Dấu " " xảy ra khi z 1. 2017so 1 2019 2019 2019 ● Khi đó: 6 x 2019 y 2019 z 2019 6051 2019 x2 y 2 z 2  x y z 3 x2 y 2 z 2 3 . Dấu " " xảy ra khi x y z 1.  Vậy E đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x y z 1. Cách 2. ● Áp dụng bất đẳng thức COSI ta có các đánh giá sau: 2019 3 2019 3 2019 3 x 1 1 1 ... 1 673x ; y 1 1 1 ... 1 673y và z 1 1 1 ... 1 673z 672so 1 672so 1 672so 1 2019 2019 2019 x 1 1 1 ... 1 2019x ; y 1 1 1 ... 1 2019y và z 1 1 1 ... 1 2019z 2018so 1 2018so 1 2018so 1 2019 2019 2019 ● Khi đó: x 2019 y 2019 z 2019 2016 673 x3 y 3 z 3  x y z 3 x3 y 3 z 3 3 . Dấu " " xảy ra khi x y z 1. 2019 2019 2019 x 2019 y 2019 z 2019 6054 2019 x y z  x y z 3 x y z 3 . Dấu " " xảy ra khi x y z 1. COSI ● Suy ra 6 x 3 xyyzz3 3 2 xyz2 2 2  xyz2 2 2 3 . x 3 x Dấu " " xảy ra khi y3 y  x y z 1. 3 z z  Vậy E đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x y z 1. Cách 3. (Sử dụng BĐT HOLDER) ● Áp dụng bất đẳng thức HOLDER, ta có 2019 x 2019 y 2019 z 2019 x 2019 y 2019 z 2019 3 2017 x 2 y 2 z 2 2019 2019 2019 2019  x y z 3 32019 x 2 y 2 z 2  3 x2 y 2 z 2 . Dấu bằng xảy ra khi x y z 1.  Vậy E đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x y z 1. Bài 4. (4.0 điểm) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Hai điểm M , N lần lượt di động trên AM AN hai đoạn thẳng AB, AC sao cho 1. Đặt AM x và AN y . Chứng minh rằng: MB NC a) MN2 x2 y 2 xy . b) MN a x y . c) MN luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Lời giải. AM AN AN a 1 1 x AM AN MB NC NC x a x 2 ● Vì 1   x y a . MB NC AN AM AM y a y a 1 1 y NC MB MB 2 Không mất tính tổng quát ta giả sử AM AN . Kẻ MH  AC như hình vẽ bên. AM Khi đó, ta có AH AM.cos60  . 2 a) Áp dụng định lí PYTAGO, ta có:  MN2 MH2 HN 2 AM2 AH 2 AN AH 2 AM2 AN2 2 ANAH. AM2 AN 2 AMAN. x 2 y2 xy x y 2 3 xy .  Vậy MN2 x2 y 2 xy x y 2 3 xy 1 b) Theo đề, ta có: AM AN AB AC  1 1 1 1 MB NC MB NC a a 3 a2 a x y a23 a 2 3 a x y 3 xy  a2 2 a x y 3 xy 2 a x a y Thay 2 vào 1 ta được: MN2 xy 2 2 axya 2 xy 2 2 axya 2 axy 2  Vậy MN a x y a x y (vì x y a ). c) Gọi K, E lần lượt là trung điểm của AB, AC . D là tâm đường tròn nội tiếp ABC . a 3 a a Kẻ DI MN I MN . Khi đó ta dễ dàng tính được: DK DE ; MK x; NE y . 6 2 2 a a Ta có KM NE x y MN và 2 ax ay 3 xy a a x y . 2 2 KD. MK KE.. NE AH AN ● S 2 S S S S DK. AK DMN AKD MKD NED AMN 2 2 2 DK. MN AH. AN a2 3 a 3 x3 y DK. AK . a x y 2 4 12 12 4 3 3 a 3 DK. MN a2 a a x y 3 xy  ax ay3 xy . a x y . 12 12 12 2 DI. MN DK. MN  Do đó  DI DK . Suy ra DI là bán kính đường tròn nội tiếp, mà 2 2 MN DI  MN là tiếp tuyến của đường tròn. Bài 5. (3.0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O , gọi M là trung điểm của cạnh BC , H là trực tâm của tam giác ABC và K là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh KM BC . Tính diện tích của tam giác ABC , biết OM HK và AM 30 cm. 4 Lời giải. ● Gọi D là trung điểm của AC . Ta chứng minh được AHB MOD (3 cặp cạnh song song) AH AB 2  HG 2 OG . OM MD ● Gọi G là giao điểm của AM và OH . Ta chứng minh được AGH MGO g g AG HG AH 2  AH 2 OM . GM GO OM ● Dễ dàng chứng minh được tứ giác IMKH là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông). HO KM  HO 4 OM , suy ra 3OG 4 OM . ● Áp dụng định lý PYTAGO trong tam giác vuông OGM , ta có: 16 AM 2 OM2 OG2 GM2 OM2 OM 2 5OM  AM OM 6 cm . 9 9 Khi đó OH 24cm; AH 12cm; AK 18cm . Ta có OC OA OH2 AH 2 12 5 , từ đó tính được BC 2 MC 2 OC2 OM 2 12 19 . AK. BC 18.12 19 2  Vậy S ABC 108 19 cm . 2 2