Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học: 2010 – 2011 môn thi: Toán – Lớp 9

PHÒNG GD – ĐT NINH SƠN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học : 2010 – 2011 Môn thi: TOÁN – Lớp 9 Ngày thi: 17/11/2007 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI: Bài 1: (3 điểm) Cho a,b. Chứng minh rằng nếu a + 5b chia hết cho 7 thì 10a + b cũng chia hết cho 7 Bài 2: (4 điểm) Cho a, b, c, x, y, z là nhựng số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện: và Tính giá trị của biểu thức: Bài 3: (4 điểm) Cho 3 số thực a, b, c. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca + Bài 4: (4 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = Bài 5: Cho hình vuông ABCD, đường chéo có độ dài bằng 1. Gọi MNEF là tứ giác lồi có bốn đỉnh lần lượt nằm trên các cạnh của hình vuông. Chứng minh rằng: MN + NE + EF + FM 2. Dấu “=” xảy ra khi nào? ------------------------ Hết ------------------------ PHÒNG GD – ĐT NINH SƠN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học : 2010 – 2011 Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐÁP ÁN THAM KHẢO: Bài 1: (3 điểm) Ta có: 10a + b = 10(a + 5b) – 49b Vì: a + 5b chia hết cho 7, nên: 10(a + 5b) chia hết cho 7; a,b. 49b chia hết cho 7, với b Suy ra: 10a + b chia hết cho 7; a,b. Vậy: nếu a + 5b thì 10a + b chia hết cho 7, a,b. Bài 2: (4 điểm) Cho a, b, c, x, y, z là nhựng số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện: và Tính giá trị của biểu thức: * (vì abc 0) * Mặt khác ta có: Bài 3: (4 điểm) Ta có: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca + 2a2 +2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca (a2 – 2ab + b2 ) + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ac + a2 ) (a – b )2 + (b – c)2 + (c – a )2 Bất đẳng thức này luôn đúng với mọi số thực a, b, c. Vậy: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca + ; với mọi số thực a, b, c. Bài 4: (4 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Ta có: M = = 2 (x2 – 4x + 5) + – 4 = 2[(x – 2)2 + 1] + – 4 Vì: 2[(x – 2)2 + 1] 2 1 Nên: M 2 + 1 – 4 hay M –1 Vậy: Min M = –1 khi: x = 2 Bài 5: Chứng minh: MN + NE + EF + FM 2. Dấu “=” xảy ra khi nào? Gọi H, S, K lần lượt là trung điểm của MF, ME và NE. Ta có: AH = MF (Vì AH là trung tuyến thuộc cạnh huyền MF) CK = NE (Vì CK là trung tuyến thuộc cạnh huyền NE) HS = EF (Vì HS là đường trung bình của MEF) SK = MN (Vì KS là đường trung bình của NME) Vậy: MN + NE + EF + FM = 2(SK + CK + HS + AH) 2(CS + AS) 2AC = 2. (Vì AC = 1) Dấu “=” xảy ra khi: H, S, K Khi đó: Tứ giác MNEF là hình chữ nhật.