Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS - Môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI cấp tỉnh LỚP 9 thcs NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Mụn Toỏn Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề Đề thi cú 01 trang Câu 1 (4 điểm) a) Chứng minh rằng A = (2n - 1)(2n + 1) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n. b) Tìm số các số nguyên n sao cho B = n2 – n + 13 là số chính phương ? Câu 2 (5 điểm) Giải phương trình b) Giải hệ phương trình Câu 3 (3 điểm) Cho ba số x, y, z thoả mãn: . Tính giá trị của biểu thức: Câu 4 (6 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB cố định, AB = . Điểm P di động trên dây AB (P khác A và B). Gọi (C; R1) là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại A, (D; R2) là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại B. Hai đường tròn (C; R1) và (D; R2) cắt nhau tại điểm thứ hai M. a) Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM//CD và 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh khi P di động trên dây AB thì điểm M di động trên đường tròn cố định và đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định N. c) Tìm vị trí của P để tích PM.PN lớn nhất ? diện tích tam giác AMB lớn nhất? Câu 5 (2 điểm) Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 670. Chứng minh rằng ----------------------------- Hết ------------------------------ Họ và tên thí sinh ..................................................................... SBD ............................. Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009-2010 MễN TOÁN (Hướng dẫn chấm thi đề chớnh thức cú 6 trang) I. Một số chỳ ý khi chấm bài ã Hướng dẫn chấm thi dưới đõy dựa vào lời giải sơ lược của một cỏch, khi chấm thi giỏm khảo cần bỏm sỏt yờu cầu trỡnh bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic. ã Thớ sinh làm bài cỏch khỏc với Hướng dẫn chấm mà đỳng thỡ tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm. ã Điểm bài thi là tổng cỏc điểm thành phần khụng làm trũn số. II. Đáp án và biểu điểm Câu 1 (4 điểm) a) Chứng minh rằng A = (2n - 1)(2n + 1) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n. b) Tìm số các số nguyên n sao cho B = n2 – n + 13 là số chính phương ? ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM a) Theo giả thiết n là số tự nhiên nên: 2n – 1, 2n , 2n + 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp. 0,5 điểm Vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 nên (2n - 1).2n.(2n + 1) chia hết cho 3 0,5 điểm Mặt khác (2n, 3) = 1 nên chia hết cho 3 Vậy A chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n 0,5 điểm b) Ta thấy B là số chính phương 4B là số chính phương Đặt 4B = k2 (kN) thì 4B = 4n2 – 4n + 52 = k2 (2n-1-k)(2n-1+k) =-51 1,0 điểm Vì 2n-1+k 2n-1-k nên ta có các hệ 0,5 điểm Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta tìm được n = -12, n =-3, n =13, n =4 Vậy các số nguyên cần tìm là n 1,0 điểm Câu 2 (5 điểm) a) Giải phương trình b) Giải hệ phương trình ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM a) Ta có: nên tập xác định của phương trình là R 0,5 điểm Phương trình đã cho tương đương với Đặt thì phương trình đã cho trở thành (thoả mãn điều kiện) 1,0 điểm Với y = 1 ta có x = 1 Với y = 3 ta có Vậy phương trình có 3 nghiệm x1 = 1, x2 = -1, x3 =3. 1,0 điểm b) Hệ đã cho tương đương với (*) 1,0 điểm Từ hệ (*) ta suy ra (I) hoặc (II) 0,5 điểm Giải hệ (I) ta tìm được (x; y) = ( 2; -1), (-2; 1) Hệ (II) vô nghiệm Vặy hệ có nghiệm (x; y) = ( 2; -1), (-2; 1). 1,0 điểm Câu 3 (3 điểm) Cho ba số x, y, z thoả mãn: Tính giá trị của biểu thức: Đáp án biểu điểm Từ giả thiết suy ra x, y, z khác 0 và 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm nên P = 0 0,5 điểm Câu 4 (6 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB cố định, AB = . Điểm P di động trên dây AB (P khác A và B). Gọi (C; R1) là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại A, (D; R2) là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại B. Hai đường tròn (C; R1) và (D; R2) cắt nhau tại điểm thứ hai M. a) Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dâyAB, chứng minh OM//CD và 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh khi P di động trên dây AB thì điểm M di động trên cung tròn cố định và đường thẳng MP luôn đi qua một điểm N cố định. c) Tìm vị trí của P để tích PM.PN lớn nhất ? diện tích tam giác AMB lớn nhất? Đáp án biểu điểm a) Nối CP, PD ta có ACP, OAB lần lượt cân tại C, O nên CPA =CAP =OBP do đó CP//OD (1) Tương tự DBP, OAB lần lượt cân tại D, O nên DPB =DBP =OAB nên OD//CP (2). Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ODPC là hình bình hành 0,5 điểm Gọi CD cắt MP tại H cắt OP tại K thì K là trung điểm của OP Theo tính chất 2 đường tròn cắt nhau ta có CDMP H là trung điểm MP Vậy HK//OM, do đó CD//OM 0,5 điểm Ta phải xét 2 trường hợp AP BP, đáp án chỉ yêu cầu xét 1 trường hợp giả sử AP < BP Vì tứ giác CDOM là hình bình hành nên OC = DP, DP = DM = R2 nên tứ giác CDOM là hình thang cân do đó 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đường tròn 0,5 điểm b) Xét tam giác AOB có: nên tam giác AOB vuông cân tại O Vì 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc 1 đường tròn (kể cả M trùng O) nên COB =CMD (1) 0,5 điểm Xét MAB vàMCD có MAB =MCD ( cùng bằng sđ của (C)) MBD =MDC ( cùng bằng sđ của D)) nên MAB đồng dạng với MCD (g.g) 0,5 điểm Vì MAB đồng dạng với MCD suy ra AMB =COD hay AMB =AOB = Do AB cố định nên điểm M thuộc đường tròn tâm I đường kính AB 0,5 điểm Ta có nên AMP =ACP = (góc nội tiếp và góc ở tâm của (C)) BMP =BDP = (góc nội tiếp và góc ở tâm của (D)) Do đó MP là phân giác 0,5 điểm Mà AMB =AOB =900 nên M đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AOB 0,5 điểm Giả sử MP cắt đường tròn (I) tại N thì N là trung điểm cung AB không chứa điểm O nên N cố định 0,5 điểm c) MAP và BNP có MPA =BPN (đđ), AMP =PBN (góc nội tiếp cùng chắn 1 cung) nên MAP đồng dạng với BNP (g.g) 0,5 điểm Do đó (không đổi) Vậy PM.PN lớn nhất bằng khi PA = PB hay P là trung điểm dây AB 0,5 điểm Vì tam giác AMB vuông tại M nên Diện tích tam giác AMB lớn nhất bằng khi PA = PB hay P là trung điểm dây AB 0,5 điểm CÂU 5 (2 điểm) Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 670. Chứng minh rằng Đáp án biểu điểm Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức: Với a, b, c R và x, y, z > 0 ta có (*) Dấu “=” xảy ra Thật vậy, với a, b R và x, y > 0 ta có (**) (luôn đúng) Dấu “=” xảy ra áp dụng bất đẳng thức (**) ta có Dấu “=” xảy ra 0,5 điểm áp dụng bất đẳng thức (*) ta có (1) Chú ý: = , và 0,5 điểm Chứng minh: (2) Do đó: = (3) 0,5 điểm Từ (1) và (3) ta suy ra Dấu “=” xảy ra x = y = z = . 0,5 điểm Hết