Đề thi chọn học sinh giỏi khối 11 thpt môn: toán năm học: 2006 – 2007

Trường THPT Đề thi chọn học sinh giỏi khối 11 THPT Gia Viễn B Môn: Toán.(Đề gồm 1 trang) Năm học: 2006 – 2007. (Thời gian làm bài 180 phút) Bài I: (6điểm). 1) Tính giá trị của biểu thức: A = . 2) Giải hệ phương trình: Bài II: (5điểm). 1) Cho dãy số (un) thoả mãn điều kiện: , với mọi n=1, 2, .... Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn và tìm . 2) Giải phương trình: . Bài III: (6điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Cạnh SC có độ dài bằng a, hợp với đáy góc và hợp với mặt bên SAB một góc . 1) Tính độ dài các cạnh SA, AB theo a, , . 2) Khi , hãy xác định để diện tích đáy đạt giá trị lớn nhất. Bài IV: (3điểm). Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . ---Hết--- đáp án đề thi chọn học sinh giỏi khối 11 THPT Năm học: 2006 –2007. Môn: Toán.(Đáp án gồm 3 trang). Bài I: 1) Chứng minh 200, 400, 800 là các nghiệm của phương trình: 4sin2(3x) = 3. 0,5đ Do đó sin2200, sin2400, sin2800 là các nghiệm của phương trình:. 0,5đ Hay 4 sin2200, 4 sin2400, 4 sin2800 là các nghiệm của phương trình: . (1) Đặt . Khi đó là ba nghiệm phân biệt của phương trình (1), vì vậy theo định lý Vi-et ta có: . 0,5đ Biểu thức cần tính được viết lại là . Hiển nhiên là các số khác không. Do là các nghiệm của (1) nên ta có: , tương tự đối với ta có được: . . 1,0đ Do đó. 0,5đ 2) Hệ đã cho được viết lại là: . Kiểm tra thấy không thoả mãn hệ, nên: 0,5đ Hệ lại được viết lại là: . Đặt x = tg(t) thì ta có y = tg(2t), z = tg(4t) 1,0đ Do đó x = tg(12t). Do vậy: tg(t) = tg(12t) 12t = t + . 1,0đ Như vậy hệ đã cho có các nghiệm là trong đó k = 0,1,...,10. 0,5đ Bài II: 1) Ta có . 0,5đ Từ hệ thức truy hồi bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta có được , n = 1, 2,.... Từ công thức xác định số hạng tổng quát của dãy, ta dễ dàng chứng minh dãy số có giới hạn. 1,0đ . 1,0đ 2) Điều kiện để phương trình xác định là: . 0,5đ Đặt ,ta kiểm tra được f(x) là hàm đồng biến trong khoảng [0; 4/5). 1,0đ Mặt khác f(1/2) = 5 nên x =1/2 là nghiệm duy nhất của phương trình. 1,0đ Bài III: S 1) A D O B C Do nên góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là . 0,5đ Ta chứng minh được rằngdo đó gócgiữa SC và mặt bên (SAB) là . 0,5đ áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC, SBC ta có: . 1,0đ áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông SAB ta có: . 1,0đ 2) Khi , ta có diện tích hình chữ nhật ABCD là . 1,0đ . 1,0đ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . 1,0đ Bài IV: áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân đối với 3 số thực dương x, y, z ta có: , (1). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. 0,5đ Ta có . Dấu “=” xảy ra a = b. Do đó . Dấu “=” xảy ra . Tương tự ta có: . Dấu “=” xảy ra. . Dấu “=” xảy ra. Vì vậy: . 1,0đ Từ các bất đẳng thức: . Dấu “=” xảy ra . . Dấu “=” xảy ra . Kết hợp với giả thiết ta có được: hay . Dấu “=” xảy ra . 1,0đ Vậy giá trị lớn nhất của P bằng đạt được khi . 0,5đ