Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học: 2006 -2007 môn: Toán

Phòng GD Tam Dương Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 Năm học: 2006 -2007 Môn : Toán Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: ( 2 đ) Chứng minh rằng không thể biểu diễn số 2007 thành tổng của hai số chính phương. Chứng minh rằng luôn tồn tại số có dạng 787878…78 chia hết cho 79. Câu 2: (1,5 đ) Rút gọn biểu thức . . Câu 3: (2,5 đ) Giải phương trình nghiệm nguyên: . Giải phương trình: Câu 4: (1,5 đ) Cho x>0, y>0 thoả mãn x+ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Câu 5: (2,5 đ) Cho hình thoi ABCD , . Một đường thẳng đi qua D không cắt hình thoi nhưng cắt các đường thẳng AB , BC lần lượt tại E và F . Gọi M là giao điểm của AF và CE . Chứng minh rằng. Tam giác AEC đồng dạng với tam giác CAF. AD2 = AM.AF  Hướng dẫn chấm Môn: Toán 9 Năm học: 2006-2007 Câu Nội dung Điểm 1a ------ 1b Xét 2 số nguyên a, b có các trường hợp xảy ra như sau: +) Nếu a, b cùng tính chẵn lẻ thì a2 và b2 cùng tính chẵn lẻ a2 + b2 là số nguyên chẵn. Do đó a2 + b2 . +) Nếu a, b khác tính chẵn lẻ : Giả sử a chẵn , b lẻ thì a2 + b2 = (2k)2 +(2l+1)2 = 4m +1 chia cho 4 dư 1, mà 2007 chia cho 4 dư 3 nên a2 + b2 2007 ( Với k, l, m ) (Trường hợp a lẻ b chẵn tương tự). Vậy không thể biểu diễn số 2007 thành tổng của 2 số chính phương ----------------------------------------------------------------------------------------- Xét 80 số có dạng an= 7878…78 (1 gồm số 78 viết liên tiếp nhau. Theo nguyên tắc Đirichlet tồn tại 2 số ak , at mà ak - at chia hết cho 79 ( với ak - at =10. . Do (10, 79) =1 chia hết cho 79 (đpcm) 0,25đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 2 ĐKXĐ: Vậy 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 3a) ------ 3b) Do với mọi Nên (thoả mãn) KL: Vậy phương trình có nghiệm . ----------------------------------------------------------------------------------------- ĐKXĐ: và áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có : (1). (2). Cộng các vế của phương trình (1) và (2) suy ra : + = Thử lại : thấy là nghiệm của phương trình. KL: nghiệm của pt là : 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ M 4 F D E C A B 5a) 5b) Do x>0, y>0 thoả mãn x+ 1. Suy ra (x+) Ta có ==8 + Vì . Vậy: Min ---------------------------------------------------------------------------------------- Ta có: đồng dạng với ( vì chúng cùng đồng dạng với ) . Suy ra hay . (Vì tam giác ABC đều) Mặt khác nên đồng dạng với Do đồng dạng với Nên suy ra Do đó đồng dạng với . Suy ra hay 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ