Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS năm học 2008 - 2009

Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS Năm học 2008 - 2009 hướng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Môn: toán - bảng A ---------------------------------------------- Câu Nội dung Điểm a/ Cho A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 với k ẻ Z Vì k ẻ Z ị ta xét các trường hợp: TH1: k chẵn ị A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 là một số lẻ ị A không chia hết cho 2 ị A không chia hết cho 16 (loại) (1) 1,0 TH2: k lẻ, ta có: A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 = (k2 - 1)(k2 + 2k - 15) = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) Do k lẻ ị k - 1; k + 1; k - 3; k + 5 đều chẵn ị A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) 2.2.2.2 = 16 (thoả mãn) (2) Từ (1) và (2) với " k ẻ Z mà k lẻ thì A luôn chia hết cho 16 1,0 0,5 b/ Đặt A = a2 + b2 + c2. Do tích a.b chẵn nên ta xét các trường hợp sau: TH1: Trong 2 số a, b có 1 số chẵn và 1 số lẻ. Không mất tính tổng quát, giả sử a chẵn, b lẻ ị a2 4; b2 : 4 dư 1 ị a2 + b2 : 4 dư 1 ị a2 + b2 = 4m + 1 (m ẻ N) Chọn c = 2m ị a2 + b2 + c2 = 4m2 + 4m + 1 = (2m + 1)2 (thoả mãn) (1) 1,0 TH2: Cả 2 số a, b cùng chẵn. ị a2 + b2 4 ị a2 + b2 = 4n (n ẻ N) Chọn c = n - 1 ị a2 + b2 + c2 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 (thoả mãn) (2) Từ (1) và (2) ta luôn tìm c ẻ Z thoả mãn bài toán. 1,0 2 5,5 a/ Giải phương trình x2 - x - . ĐKXĐ: Khi đó phương trình Û x2 - x = Đặt: () Û 1 + 16x = 4y2 -4y + 1 Û 4y2 - 4y = 16x Û y2 - y = 4x (*) Ta có: Với x = y thay vào (*) ị x2 - x = 4x Û x2 - 5x = 0 Û x(x - 5) = 0 Û Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x = 5 0,25 0,5 1,25 0,5 0,25 0,25 b/ Cho x, y thoả mãn: Từ (1) ị x3 = -2y2 + 4y -3 Û x3 = -2(y2 - 2y + 1) - 1 Û x3 = -2(y - 1)2 - 1 Ê -1 với " y ị x3 Ê -1 Û x Ê -1 (*) Từ (2) ị x2(y2 + 1) = 2y Û x2 = với " y ị x2 Ê 1 Û | x | Ê 1 Û -1 Ê x Ê 1 (**) Từ (*) và (**) ị x = -1 thay vào (2) ta được: y2 - 2y + 1 = 0 Û (y - 1)2 = 0 Û y = 1 ị (x, y) = (-1, 1) (thoả mãn) ị Q = x2 + y2 = (-1)2 + 12 = 2 1,0 1,0 0,5 3 3,0 Đặt ; ; ị (x, y, z > 0) ị P = (3 + x)(3 + y)(3 + z) = 27 + 3(xy+ yz + zx) + 9(x + y+ z) + xyz ≥ (*) Lại có: (vì a, b, c > 0) mà ị Thay vào (*) ta được: = 27 + 144 + 108 + 64 = 343 Dấu "=" có khi a = b = c = ị Pmin = 343 Khi a = b = c = 1,5 0,75 0,5 0,25 4 5,5 a/ Xét DCOM và DCED có: 1 S 1 ị DCOM DCED (g-g) ị (1) Do AB, CD là 2 đường kính vuông góc với nhau ị Xét DAMC và DEAC có: S ị DAMC DEAC (g-g) ị mà (do DACO vuông cân tại O) ị (do (1)) ị AM.ED = OM.AE (ĐPCM) 1,0 1,0 1,0 b/ Tương tự câu a ta có: S DBON DBEA ị S DBND DBDE ị ị Từ câu a ta có: AM.ED = .OM.AE ị ị mà Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi: Û E là điểm chính giữa cung nhỏ AD Vậy giá trị nhỏ nhất của Û E là điểm chính giữa của cung nhỏ AD 0,5 0,5 0,5 1,0 5 A1 B1 C1 1,5