Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Lê Lợi (Có đáp án)

PHềNG GD&ĐT QUẢNG BèNH KỲ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS Lấ LỢI NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MễN: Toỏn - Lớp 7 Thời gian: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) (Đề gồm 01 trang) ĐỀ BÀI Cõu 1. (4.0 điểm): 132 8 19 23 a/ Tớnh: A = 1 . 0,5 .3 1 :1 15 15 60 24 212 .3 5 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 2 .49 2 b/ Thực hiện phộp tớnh: A 6 3 22 .3 8 4 .3 5 125.7 59 .14 3 Cõu 2. (4.0 điểm): 1 1 1 a/ Tỡm số nguyờn dương x, y thỏa món: x y 7 b/ Tỡm cỏc số a,b,c sao cho: 2a = 3b, 5b = 7c và 3a + 5c - 7b = 30 Cõu 3. (4.0 điểm): 2a +9 5a +17 3a a/ Tỡm số nguyờn a để + - là số nguyờn. a +3 a +3 a + 3 b/ Cho P(x) = x99 - 100x98 + 100x97 – 100x96 + ... + 100x -1. Tớnh P(99) = ? Cõu 4. (6.0 điểm): Cho tam giỏc ABC cú AB < AC. Trờn tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = AB. Gọi P, Q là trung điểm của AD, BC, và I là giao điểm cỏc đường vuụng gúc với AD và BC tại P và Q. a/ Chứng minh ∆AIB = ∆DIC b/ Chứng minh AI là tia phõn giỏc của gúc BAC. 1 c/ Kẻ IE vuụng gúc với AB, chứng minh AE AD . 2 Cõu 5. (2.0 điểm): Chứng minh rằng với mọi số tự nhiờn n 2, thỡ tổng 3 8 15n2 1 S ..... Khụng thể là một số nguyờn. 4 9 16 n2 ------------------Hết------------------- (Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm) Họ và tờn thớ sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số bỏo danh:. . . . . . . . . . . PHềNG GD&ĐT QUẢNG BèNH KỲ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS Lấ LỢI NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ( Gồm 03 trang) MễN: TOÁN 7 Cõu í Nội dung Điểm 132 8 19 23 + Biến đổi: A = 1 . 0,5 .3 1 :1 15 15 60 24 28 1 8 79 47 A = . .3 ( ) : 15 4 15 60 24 1,0 7 32 79 24 Câu1 = . a) 2,0 đ 4đ 5 60 47 7 47 24 0,5 = . 5 60 47 7 2 = 5 5 0,5 = 1 2125 .3 4.9 62 5 103 .7 25.49 2 2 2 125 .3 2 124 .3 5 103 .7 5.7 44 A 6 3 126 125 93 933 2.32 8.3 4 5 125.7 5.149 3 2 .3 2 .3 5.7 5.2.7 0.5 212 .3. 4 3 1 5.7.4 3 5 6 7 b. 212 .3. 5 3 1 5.7.9 3 1 2 3 0.5 (2đ) 4 3 6 212 .3.2 45.7. 5 7 1 5 6 7 212 .3.4 5 5.7.9 9 3 6 5.9 5 0.5 55.3 2(56 7) 2429 2.5.95 6250 0.5 Vỡ x,y nguyờn dương nờn ta cú 1 1 1 0,25 đ x y 7 0,25đ Cõu 2 a xy -7x- 7y =0 0,25đ x(y – 7) - 7(y-7) = 49 ( 4đ) (2đ) ( y- 7 ).( x-7) =49 0,25 Nờn y – 7 ; x - 7 Ư(49) Mà Ư(49) 1; 7; 49 Nờn 0,5đ x-7 -1 -7 -49 1 7 49 y-7 -49 -7 -1 49 7 1 x 6 0 -42 8 14 56 y -42 0 6 56 14 8 Vỡ x > 0 nờn (x,y) (8;56;(14;14);(56;8)  0,5 a b 0,5đ Từ 2a = 3b => (1) 21 14 b c 5b = 7c => (2) 0,5đ 14 10 a b c 3a 7b 5c Từ (1) ,(2) => b. 21 14 10 63 98 50 0,25đ (2đ) Âp dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ta cú 0,5đ A= 42 ; b= 28 ; c = 20 0,25đ Ta cú: 2a 9 5a 17 3a 4a 26 4a 12 14 = a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 0,5đ 4(a 3) 14 = 4 là số nguyờn. Cõu 3 a. a 3 a 3 (4đ) (2đ) Khi đú a+3 là ước của 14 0,5đ Mà Ư(14) = 1;1;2; 2;7; 7;14; 14  Lập bảng tỡm a. 0,5đ Vỡ a Z => a 17; 10; 5; 4; 2; 1;4;11  0,5đ Vỡ x= 99 nờn x – 99 = 0 0,5đ Ta cú: P(x) = x99 – 100x98 + 100x97 – 100x96 + ... + 100x -1. 1đ b = x99- 99x98 – x98 + 99x97 +x97 – 99x96 – x96 +...- 99x +x -1 (2đ) = x98( x- 99) – x97( x- 99) + x96 ( x – 99) +....- x( x -99) + ( x-1) = x98.0 – x97.0 + x96.0 - .....- x.0 + x – 1 0,5đ => P(99) = 99 -1 = 98 A P Q B C 0,5 Cõu 4 E (6 đ) D I a Ta cú QI là đường trung trực của BC IB = IC 0,5 2đ IP là đường trung trực của AD IA = ID 0,5 Lại cú AB = CD (gt) 0,5 Do đú ∆AIB = ∆DIC (c.c.c) 0,5 b CM: PAI = PDI(c.g.c) 2đ  DAI =  D 0,5 Mà ∆AIB = ∆DIC (cõu a)  BAI =  D 0,5 Do đú  DAI =  BAI. 0,5 Vậy AI là tia phõn giỏc của gúc BAC 0.5 c Ta cú ∆AIE = ∆AIP (cạnh huyền- gúc nhọn) => AE = AP 0,5 Mà AP = ẵ AD (vỡ P là trung điểm AD) 0,5 1 0,5 Suy ra AE AD 2 0,5 3 8 15n2 1 Từ S ..... 4 9 16 n2 22 1 3 2 1 4 2 1n 2 1 0,25 đ Ta cú S ..... ( Dóy này cú n-1 số hạng) 22 3 2 4 2n 2 1 1 1 1 S n 1 ( ..... ) 22 3 2 4 2n 2 0,25đ Suy ra S < n – 1 (*) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0, 25 đ Cõu 5 Lại cú 2 2 2 ..... 2 ..... 1 2 3 4 n 1.2 2.3 3.4 (n 1). n n (2đ) 0,25đ 1 1 Từ đú suy ra S n 1 (1 ) n 2 n 2 (*) n n 0,5đ Từ (*) và (**) ta cú n – 2<S<n-1 0,25đ Do n là số tự nhiờn n 2nờn n-2 và n-1 là 2 số tự nhiờn liờn tiếp => S khụng thể là một số nguyờn 0,25đ