Đề thi học sinh giỏi cấp huyện trường THCS Mỹ Phong môn toán lớp 9 năm học 2010 - 2011

PHÒNG GIÁO DỤC PHÙ MỸ ĐỀ ĐỀ XUẤT THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ PHONG Môn :Toán lớp 9 -Năm học: 2010 - 2011 Thời gian : 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1 (5,0 điểm). a) Cho A = k4 + 2k3 16k2 2k + 15 với kÎZ. Tìm điều kiện của k để A chia hết cho 16. b) Cho 2 số tự nhiên a và b. Chứng minh rằng nếu tích a.b là số chẵn thì luôn luôn tìm được số nguyên c sao cho a2 + b2 + c2 là số chính phương. Câu 2 (6,0 điểm). a) Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn . Chứng minh rằng : b) Giải phương trình Câu 3 (3,0 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Trong đó các số dương a, b, c thoả mãn điều kiện Câu 4 (3,0 điểm). Cho hình chữ nhật ABCD . Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt các đường thẳng AB , AD lần lượt tại E và F . Chứng minh rằng: Câu 5 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC, lấy điểm C1 thuộc cạnh AB, A1 thuộc cạnh BC, B1 thuộc cạnh CA. Biết rằng độ dài các đoạn thẳng AA1, BB1, CC1 không lớn hơn 1. Chứng minh rằng: (SABC là diện tích tam giác ABC). PHÒNG GIÁO DỤC PHÙ MỸ HƯỚNG DẪN CHẤM TRƯỜNG THCS MỸ PHONG ĐỀ ĐỀ XUẤT THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn :Toán lớp 9 -Năm học: 2010 - 2011 Câu Nội dung Điểm 1 a/ 5,0 Cho A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 với k Î Z Vì k Î Z Þ ta xét các trường hợp: TH1: k chẵn Þ A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 là một số lẻ Þ A không chia hết cho 2 Þ A không chia hết cho 16 (loại) (1) 1,0 TH2: k lẻ, ta có: A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 = (k2 - 1)(k2 + 2k - 15) = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) Do k lẻ Þ k - 1; k + 1; k - 3; k + 5 đều chẵn Þ A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) 2.2.2.2 = 16 (thoả mãn) (2) Từ (1) và (2) Û với " k Î Z mà k lẻ thì A luôn chia hết cho 16 1,0 1,0 b/ Đặt A = a2 + b2 + c2. Do tích a.b chẵn nên ta xét các trường hợp sau: TH1: Trong 2 số a, b có 1 số chẵn và 1 số lẻ. Không mất tính tổng quát, giả sử a chẵn, b lẻ Þ a2 4; b2 : 4 dư 1 Þ a2 + b2 : 4 dư 1 Þ a2 + b2 = 4m + 1 (m Î N) Chọn c = 2m Þ a2 + b2 + c2 = 4m2 + 4m + 1 = (2m + 1)2 (thoả mãn) (1) 1,0 TH2: Cả 2 số a, b cùng chẵn. Þ a2 + b2 4 Þ a2 + b2 = 4n (n Î N) Chọn c = n - 1 Þ a2 + b2 + c2 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 (thoả mãn) (2) Từ (1) và (2) ta luôn tìm c Î Z thoả mãn bài toán. 1,0 2 a/ 6,0 Từ giả thiết suy ra a , b , c thuộc (0 ; 1) Tương tự : Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được : (1) Áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số dương nhận được : (2) Từ (1) và (2) Đẳng thức xảy ra 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 b/ Đặt t = Khi đó phương trình đã cho trở thành : 2t + 1,0 1,0 1,0 3 3,0 Đặt ; ; Þ (x, y, z > 0) Þ P = (3 + x)(3 + y)(3 + z) = 27 + 3(xy+ yz + zx) + 9(x + y+ z) + xyz ≥ (*) Lại có: (vì a, b, c > 0) mà Þ Thay vào (*) ta được: = 27 + 144 + 108 + 64 = 343 Dấu = có khi a = b = c = Þ Pmin = 343 Khi a = b = c = 0,5 1,0 1,0 0,5 4 3,0 Theo ñònh lí Talet ta coù : Coäng töng veá hai ñaúng thöùc treân ta ñöôïc : Nhaân hai veá vôùi AE.AF ñöôïc : BE.AF + DF.AE = AE.AF = AC.EF ( baèng 2SAEF ) Hay 0,5 0,5 1,0 1,0 5 A1 B1 C1 3,0 Không mất tính tổng quát, giả sử TH1: kẻ CH AB; BK AC mà CH £ CC1 £ 1 ta có: (1) TH2: Þ AB £ BB1 £ 1, CH £ CC1 £ 1 (2) Từ (1) và (2) 1,0 1,0 1,0 * Lưu ý: Mọi cách giải khác nếu đúng và lập luận chặt chẽ vẫn được ghi điểm tối đa.