Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2004 – 2005 môn: Toán lớp 9

Phòng GD - ĐT yên thế cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Trường THCS – TT Bố hạ Độc lập – Tự do – Hạnh phúc GV: Nguyễn Xuân Hường Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Năm học 2004 – 2005 Môn : Toán lớp 9 Thời gian : 150 phút Câu 1 ( 2 điểm) Rút gọn. a/ S = + + . . .+ b/ A = . Câu 2 ( 2 điểm) a/ Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho : n+ n+ 1 là số chính phương b/ Cho 3 số hữu tỷ a, b, c thoả mãn ab + ac + bc = 1. Chứng minh rằng: (a+ 1) (b+1) (c+ 1) là bình phương của một số hữu tỷ Câu 3 ( 2 điểm) a/ Tìm 4 số nguyên dương x, y, z, t thoả mãn: + + + = 1. b/Tìm phần nguyên của: A = + + . . . + Câu 4 ( 3 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Tính theo R độ dà cạnh và chiều cao của tam giác đều ABC . Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC ( M khác B và C ) . Trên tia đối của tia MB lấy đoạn MD=MC chứng tỏ rằng tam giác MCD đều . Chứng minh rằng , khi M di chuyển trên cung nhỏ BC thì D di chuyển trên một đường tròn cố định mà ta cần xác định tâm và các vị trí giới hạn . Hãy chỉ ra vị trí của M sao cho MA+MB+MC lớn nhất . tính giá trị lớn nhất theo R Câu 5 ( 1điểm) Cho A = Chứng minh rằng A không phải là một số nguyên Đáp án chấm Toán 9 Câu Hướng dẫn chấm Điểm 1.a Với mọi số nguyên dương k ta có : với k = 1 thì với k = 2 thì với k = 3 thì . …. với k = 2004 thì Do đó : S = 1- 0,25 0,75 1.b Điều kiện : Tìm đúng đáp số theo từng bước A = nếu 1 2 0,25 0,75 2.a Ta có n+ n+ 1 > n4 nên n+ n+ 1 = ( n2+k)2 với k là số nguyên dương Suy ra : n+ n+ 1 = n+2n2k+k2 n2(n2-2k)=k2-1 (*) Nếu k = 1 thì n=2 lúc đó n+ n+ 1 =25 thoả mãn Nếu k 1 từ (*) suy ra k2-1 chia hết cho n2 nên k2>n2 vì n, k là số nguyên dương nên k > n do đó n2(n2-2k)<0 vô lí Vậy với n=2 thì n+ n+ 1 là số nguyên dương 0,25 0,25 0,25 0,25 2.b Đặt A=(a+ 1) (b+1) (c+ 1) Thay ab + ac + bc = 1. vào A ta có : A=(a+ ab + ac + bc ) (b+ ab + ac + bc) (c+ ab + ac + bc) = 0,5 0,5 3a Từ phương trình đã cho suy ra các số cần tìm đều lớn hơn 1 . Mặt khác nếu một trong 4 số x,y,z,t có một số nào lớn hơn 2 thì + + + ++<1 Suy ra x=y=z=t = 2 thử lại ta thấy thoả mãn phương trình Vậy nghiệm của phương trình là x=y=z=t = 2 0,5 0,5 3.b Dễ dàng ta thấy : 2A > + +++ . . . + = 9 Do đó A > 4,5 Tương tự 2A < 1+ + +++ . . . + = 10 Do đó A < 5 Vậy phần nguyên của A là 4 0,5 0,5 4 Tính được a=R, h = Tam giác CMD cân tạ M có CMD = 600 ; do đó tam giác CMD đều IMC =IMD ( cgc) suy ra DI = CI = R vì vậy D thuộc đường tròn tâm I , bán kính R Giới hạn : D thuộc cung CE của đường tròn tâm I , bán kính R Ta có : MB + MC = MB + MD = BD Suy ra S = MA + MB + MC = MA + BD Mà ACM = BCD ( cgc) nên MA = BD Do đó : S = MA + BD = 2 MA 2AI = 4R Vậy Max S = 4R Khi M trùng với I 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 5 Đặt T = 1.3.5.7.9.11.13.15 Xét : 4T.A = Dễ nhận thấy trong 4T.A có duy nhất số hạng Không là số nguyên do đó 4T.A không là số nguyên mà 4T là số nguyên vì vậy A không là số nguyên ( ĐPCM) 0,5 0,5