Đề thi Học sinh giỏi Lớp 9 - Nguyễn Thanh Hải

Đề bài ****** (Thời gian làm bài 120 phút - Không kể chép đề) Bài 1(2 điểm). Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời : Tính giá trị của biểu thức : . Bài 2(1,5 điểm). Cho biểu thức : . Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó Bài 3(1,5 điểm). Giải hệ phương trình : Bài 4(2,5 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB bán kính R. Tiếp tuyến tại điểm M bbất kỳ trên đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D. a.Chứng minh : AC . BD = R2. b.Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác COD là nhỏ nhất . Bài 5(1,5 điểm).Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng : Bài 6(1 điểm).Cho tam giác ABC có phân giác AD. Chứng minh : AD2 = AB . AC - BD . DC. Hướng dẫn giải *************** Bài 1. (2 điểm)Từ giả thiết ta có : (0,5đ) Cộng từng vế các đẳng thức ta có : (0,25đ) (0,25đ) (0,5đ) (0,25đ) Vậy : A = -3. (0,25đ) Bài 2.(1,5 điểm) Ta có : (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Do và (0,25đ) (0,25đ). (0,25đ). Bài 3.(1,5điểm) Đặt : (0,25đ). Ta có : u ; v là nghiệm của phương trình : (0,25đ). ; (0,25đ). ; (0,25đ). Giải hai hệ trên ta được : Nghiệm của hệ là : (3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) và các hoán vị. (0,25đ). Bài 4. (2,5 điểm) a.Ta có CA = CM DB = DM (0,25đ). Các tia OC và OD là phân giác của hai góc AOM và MOB nên OC OD Tam giác COD vuông đỉnh O, OM là đường cao thuộc cạnh huyền CD nên : MO2 = CM . MD (0,25đ). R2 = AC . BD (0,25đ). b.Các tứ giác ACMO ; BDMO nội tiếp (0,25đ) o h d c m b a (0,25đ) (0,25đ) Do đó : (MH1 AB) (0,25đ) Do MH1 OM nên (0,25đ) Chu vi chu vi Dấu = xảy ra MH1 = OM MO (0,25đ) M là điểm chính giữa của cung (0,25đ). Bài 5 (1,5 điểm) Ta có : a , b > 0 (0,25đ) (0,25đ) a , b > 0 (0,25đ) Mặt khác (0,25đ) Nhân từng vế ta có : (0,25đ) (0,25đ) Bài 6. (1 điểm) Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp Gọi E là giao điểm của AD và (O) Ta có: (g.g) d e c b a (0,25đ) (0,25đ) Lại có : (0,25đ) (0,25đ) Lưu ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Bài hình không vẽ hình không chấm điểm.