Đề thi học sinh giỏi Toán tỉnh Yên Bái

NĂM HỌC 1997 – 1998 Câu 1 (1 điểm): Tính Câu 2 (3 điểm): Rút gọn biểu thức . Biết -1 < x < 1 và x ¹ 0. Câu 3 (2 điểm): Cho tam giác ABC về phía ngoài của tam giác ta dựng các tam giác vuông cân ABE và ACF vuông tại đỉnh A. Chứng minh rằng: Trung tuyến AI của tam giác ABC vuông góc với EF. AI = EF Câu 4 (3 điểm): Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, dây cung AC. Các tiếp tuyến với đường tròn tại B và C cắt nhau ở D. Chứng minh DO // AC. Kẻ CH ^ AB (H Î AB). Chứng minh: CH2 = AH.HB. Tính đoạn AC biết góc BAC = 300 và AB = 4cm. Câu 5 (1 điểm): Chứng tỏ rằng 2030 > 3020 NĂM HỌC 1999 – 2000 Câu 1 (5 điểm): a) Cho biểu thức: . Tìm ĐK để A có nghĩa, rút gọn A b) Giải và biện luận phương trình với m là tham số: (1) Câu 2 (5 điểm): Tìm số tự nhiên N có 3 chữ số biết N là số chính phương và là bội số của 48. Chứng minh rằng: . Với n Î N và n ≥ 1. Câu 3 (5 điểm): Cho hai điểm O, A cố định, dựng góc XOY = 450 sao cho các đường thẳng Ox, Oy không đi qua A. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với Ox cắt Ox, Oy lần lượt tại M, N cũng từ A kẻ đường thẳng vuông góc với Oy cắt Ox, Oy lần lượt tại E, D. Khi góc xOy quay quanh O. Chứng minh: a) Các đoạn thẳng DM, EN có độ dài không đổi. b) Trung điểm EN chạy trên một đường cố định. Câu 4 (4 điểm): Cho tứ giác ABCD có tổng các góc BAD và CDA bằng 900, các cạnh AB = CD; BC = a; AD = b. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AC, AD, BD, BC. Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao? Gọi diện tích tứ giác MNPQ là S. Chứng minh . Dấu “=” xảy ra khi nào? NĂM HỌC 2000 – 2001 Câu 1 ( 5 điểm): Một số có 3 chữ số, có tổng các chữ số bằng 7. Chứng minh rằng số đó chia hết cho 7 Û các chữ số hàng chục và hàng đơn vị như nhau. Hãy tìm tất cả những số như thế trong tập hợp các số hữu tỉ Câu 2 (5 điểm): Giải phương trình (1) Câu 3 (3 điểm): Cho phương trình ax2 + bx + c có hai nghiệm dương x1, x2 . Chứng minh rằng phương trình cx2 + bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dương. Gọi hai nghiệm đó là x3, x4 . Chứng minh rằng: x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 4. Câu 4 (5 điểm): Cho tam giác cân ABC (AB = AC), . Trên cạnh đáy BC lấy điểm D. Vẽ đường tròn qua D và tiếp xúc với AB tại B; Qua D và tiếp xúc với AC tại C. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai E khác D. Tính góc BEC. Tìm quỹ tích điểm E khi D di động trên BC. NĂM HỌC 2001 – 2002 Câu 1 (5 điểm): Hãy tính xem có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số tận cùng bằng 6 và chia hết cho 3. Câu 2 (5 điểm): Giải phương trình (1) Giải: Điều kiện: x ≤ 1 hoặc x ≥ 2. Đặt (y ≥ 0). Ta có: (1) Û Với y = 0: x2 − 3x + 2 = 0 Û x1 = 1, x2 = 2. Câu 3 (5 điểm): Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Cho k Î R, k ¹ -1 thỏa mãn: kb2= (k+1)2ac. Chứng minh rằng: Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 và x1 = kx2. Câu 4 (5 điểm): Cho AC là đường chéo của hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB và AD kéo dài ta hạ từ đỉnh C các đường vuông góc CE và CF. Chứng minh: AB.AE + AD.AF = AC2. Có nhận xét gì khi hình bình hành ABCD trở thành hình chữ nhật. NĂM HỌC 2002 – 2003 Câu 1 (4 điểm): Cho a, b là các số nguyên dương, biết rằng trong 4 mệnh đề sau đây chỉ có một mệnh đề là sai: a + 1 chia hết cho b. a = 2b + 5. a + b chia hết cho 3. a + 7b là số nguyên tố. Hãy tìm các mệnh đề đúng. Tìm các cặp số a, b thỏa mãn các mệnh đề đúng. Câu 2 (4 điểm): Giải phương trình Với a ¹ ±1 và b ¹ 0. Câu 3 (4 điểm): Cho a, b, c là ba số khác nhau, c ¹ 0. Chứng minh rằng: Nếu hai phương trình x2 + ax + bc = 0 và x2 + bx + ac = 0 có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của chúng thỏa mãn phương trình x2 + cx + ab = 0. Câu 4 (4 điểm): Cho D, E, F theo thứ tự là 3 điểm nằm trên 3 cạnh BC, AC, AB của DABC hoặc trên các đường thẳng chứa các cạnh đó. Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để ba điểm D, E, F thẳng hàng là: Câu 5 (4 điểm): Cho DABC cân tại A có cạnh bên bằng m và cạnh đáy bằng n. Qua điểm M trên cạnh đáy BC kéo dài ta kẻ một đường thẳng p bất kỳ cắt AB và AC ở S và T. a) Chứng minh rằng hiệu không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng p và điểm M b) Qua S kẻ SS’ // AC và qua T kẻ TT’ // AB (S’, T’ÎBC). Chứng minh rằng: Tích MS’.TT’ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. c) Hãy kẻ đường thẳng k đi qua A cắt AB (không kéo dài) sao cho tổng các khoảng cách từ B và C đến k là nhỏ nhất. NĂM HỌC 2003 – 2004 Câu 1 (4 điểm): Cho hai số tự nhiên có 2 chữ số thỏa mãn tính chất sau: mỗi số bằng bình phương thiếu của tổng các chữ số của nó. Tìm hai số đó biết số thứ hai lớn hơn số thứ nhất 50 đơn vị. Câu 2 (4 điểm): Cho biểu thức M = a2 + b2 biết rằng a và b là nghiệm của phương trình 5a2 + 5b2 + 8ab = 18. Tìm những giá trị của a và b để : a) M đạt giá trị lớn nhất. b) M đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 3 (4 điểm): Cho phương trình x2 + px + q = 0 (1). Hãy tìm các giá trị nguyên của p và q sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và một nghiệm gấp 4 lần nghiệm kia. Câu 4 (4 điểm): Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ vuông góc với nhau tại A. Đường tròn bán kính R không đổi có tâm là điểm O di động trên xx’. Một đường tròn thứ hai có tâm là điểm C di động trên yy’, bán kính CA, đường tròn này tiếp xúc ngoài với đường tròn tâm O tại T. a) Chứng minh rằng tiếp tuyến chung của hai đường tròn kẻ từ T đi qua một điểm cố định. b) Đặt OA = d. Hãy tính giá trị của d theo R để hai đường tròn bằng nhau. Trong trường hợp hai đường tròn bằng nhau hãy tính diện tích hình giới hạn bởi hai đường tròn với đường thẳng xx’. Bài 5 (4 điểm): Hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong DABC cho trước. Đỉnh M di động trên cạnh AB, đỉnh N trên cạnh AC, các đỉnh P và Q theo thứ tự trên cạnh BC. Tam giác ABC có đường cao AH = h, cạnh đáy BC = a. a) Tính giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật MNPQ theo h và a. b) Xác định vị trí của M để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. NĂM HỌC 2004 – 2005 Câu 1 (4 điểm): Tìm tất cả các số tự nhiên khác 0 sao cho khi viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số đó được gấp lên 9 lần. Câu 2 (4 điểm): Giải phương trình sau Câu 3 (4 điểm): Hãy tìm các giá trị nguyên của a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x, y) với x, y là những số nguyên: Câu 4 (4 điểm): Cho DABC vuông tại A, đường cao AH và đường tròn (O) ngoại tiếp DHAC. Gọi D là điểm đối xứng của B qua H, nối A với D cắt đường tròn (O) tại E. Chứng minh: a) CH là tia phân giác của góc ACE. b) HO // EC. c) Cho AB = a, = 600. Tứ giác AHEC là hình gì? Tính diện tích của tứ giác AHEC theo a. Câu 5 (4 điểm): Cho hình thang ABCD có AB // CD, CD > AB, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Cho biết SDAOB = S1; SDDOC = S2. Tính diện tích hình thang ABCD. NĂM HỌC 2005 – 2006 Câu 1 (2 điểm): Cho biểu thức A(x) = (x2 – 4x + 3)2005.(x2 + 4x + 3)2006 Gọi S là tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức đã cho. Hãy tính S. Câu 2 (3 điểm): Chứng minh rằng không thể tìm được hai số lẻ mà tổng các bình phương của chúng bằng bình phương của một số nguyên. Câu 3 (5 điểm): Cho a > 0. a) Chứng minh rằng: Nếu thì: b) Tính giá trị của a. Câu4 (5 điểm): Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: ba bất đẳng thức sau không thể đồng thời xảy ra: a + b < c + d (1) (a + b)(c + d) < ab + cd (2) (a + b)cd < (c + d)ab (3) Câu 5 (5 điểm): Cho ∆ABC cho các cạnh BC = a, AC = b, AB = c. Diện tích ∆ABC bằng S. Phân giác của góc A cắt BC ở D và cắt đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ở E. a) Chứng minh: AD2 = AB.AC – BD.DC b) Chứng minh: c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC theo a, b, c, S. NĂM HỌC 2006 – 2007 Bài 1: Cho ; . A lớn hơn hay nhỏ hơn B? Hãy chứng minh. Bài 2: Cho 1 ≤ m ≤ 2 và 1 ≤ n ≤ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . Bài 3: Giải phương trình: (1) Bài 4: Cho hàm số y = x2 có đồ thị là đường cong (P) và hai điểm M, N thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2. a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M, N. b) Vẽ đồ thị (P) trên hệ trục tọa độ xOy và tìm tọa độ điểm E thuộc đoạn đường cong M, N của đồ thị (P) sao cho DMNE có diện tích lớn nhất. Bài 5: Độ dài các cạnh của một tam giác là các số nguyên liên tiếp không nhỏ hơn 3 đơn vị độ dài. Chứng minh rằng đường cao hạ xuống cạnh có độ dài lớn thứ hai thì chia cạnh này thành hai phần có hiệu độ dài bằng 4. NĂM HỌC 2007 – 2008 Bài 1 (4 điểm). Cho a là một số tự nhiên lẻ, b là số tự nhiên. Chứng minh rằng các số a và ab + 4 không có ước số chung khác ±1 Bài 2 (4 điểm). Cho hệ phương trình (a, b là số nguyên dương và a ≠ b). Tìm tất cả các cặp giá trị của a, b để hệ phương trình có nguyệm số nguyên dương Bài 3 (3 điểm). Giải phương trình: (1) Bài 4 (5 điểm). a) Cho ∆v.ABC có các cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c. Chứng minh rằng: . Với điều kiện nào của a, b thì , khi đó tính giá trị của c theo a và b b) Cho 2 số thực a, b thỏa mãn điều kiện a2 + b2 ≤ 2. Chứng minh rằng: a + b ≤ 2 Bài 5 (4 điểm). Cho ∆ABC trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại D và E, BE cắt CD tại O. Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng