Kỳ thi olympic Hà Nội - Amsterdam môn Toán chuyên lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam KỲ THI OLYMPIC HÀ NỘI - AMSTERDAM MÔN TOÁN CHUYÊN LỚP 11 Ngày thi : 25/03/2011 Thời gian : 180 phút Bài 1 (4 điểm). Cho n là số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức: 3 2110 70 20 2 n nn n n.C C . n - --- - = - - Giải phương trình ( ) ( ) ( )1 2 31 2 2 3 3 21 1 2 1 3 1n n n n nn n n nC x x C x x C x x .. nC x n . - - -- + - + - + + = Bài 2 (4 điểm). Cho dãy số 0 2 1 3 2 n n x x x , n+ =ìï í = - Îïî ¥ . Tìm giới hạn 2 0 1 2n nlim x x x ...x . Bài 3 (4 điểm). Cho hai dãy số nguyên dương { } { }n nx , y thoả mãn các điều kiện 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 ; , víi *n n n n n n x , y ,x , y x x x y y y n+ + + + >ìï í = + = + Îïî ¥ Chứng minh rằng với giá trị n đủ lớn thì n nx y> . Bài 4 (4 điểm). Cho tam giác ABC nhọn và đường cao AH, ( H BCÎ ). Điểm P di chuyển trên đoạn AH. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. a. Chứng minh rằng B, E, F, C nằm trên đường tròn tâm O’. b. Chứng minh rằng đường thẳng PO’ luôn luôn đi qua một điểm cố định khi P di chuyển trên đoạn AH. Bài 5 (4 điểm). Có hai cọc tiền xu, một cọc có n đồng tiền và một cọc có k đồng tiền ( với n, k là các số nguyên dương). Một Rôbôt tự động chuyển tiền xu từ cọc này sang cọc kia theo quy luật sau: Nếu một cọc có số tiền chẵn thì chuyển một nửa số tiền từ cọc đó sang cọc kia (nửa số tiền còn lại vẫn ở cọc tiền cũ); khi hai cọc đều có số tiền chẵn thì Rôbốt chọn ngẫu nhiên một cọc và cũng chuyển như trên. Quá trình trên kết thúc nếu số đồng tiền ở hai cọc đều là số lẻ. Tìm điều kiện cần và đủ của n và k để Rôbốt sẽ ngừng làm việc sau hữu hạn lần chuyển như vậy. --------Hết ---------