Đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 môn toán khối B

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn: TOÁN; Khối B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số m là tham số thực. 3 2 33 3 (y x mx m= − + 1), a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1.m= b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48. Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 2(cos 3 sin ) cos cos 3 sin 1.x x x x x+ = − + Câu 3 (1,0 điểm). Giải bất phương trình 21 4 1 3 .x x x+ + − + ≥ x Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân 1 3 4 2 0 d . 3 2 xI x x x = + +∫ Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với 2 , .SA a AB a= = Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a. Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện 0x y z+ + = và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 1.x y z+ + = 5 5 5.P x y z= + + II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường tròn 2 21( ): 4,C x y+ = và đường thẳng 2 22( ): 12 18 0C x y x+ − + = : 4d x y 0.− − = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc tiếp xúc với d và cắt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d. 2( )C , 1( )C Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1: 2 1 2 x y zd − = = − và hai điểm Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d. (2;1;0),A ( 2;3;2).B − Câu 9.a (1,0 điểm). Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ. B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có và đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình 2AC BD= 2 2 4.x y+ = Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D của hình thoi. Biết A thuộc Ox. Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM. (0;0;3), (1;2;0).A M Câu 9.b (1,0 điểm). Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 3 4 0.z i z− − = Viết dạng lượng giác của z1 và z2. ---------- HẾT ---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ................................................................... ; Số báo danh:............................................. . BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn: TOÁN; Khối B (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) Khi ta có: . 1,m = 3 23 3y x x= − + • Tập xác định: .D = \ • Sự biến thiên: − Chiều biến thiên: ' 02' 3 6 ;y x x= − y = ⇔ 0x = hoặc 2.x = 0,25 Các khoảng đồng biến: ( ; 0)−∞ và (2; )+∞ , khoảng nghịch biến: (0; 2). − Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 0,x = yCĐ = 3; đạt cực tiểu tại 2,x = yCT = −1. − Giới hạn: và lim x y→−∞ = −∞ lim .x y→+ ∞ = +∞ 0,25 − Bảng biến thiên: 0,25 • Đồ thị: 0,25 b) (1,0 điểm) 2' 3 6 ;y x mx= − ' 0 ⇔ hoặc y = 0x = 2 .x m= Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi 0m ≠ (*). 0,25 Các điểm cực trị của đồ thị là 3(0; 3 )A m và 3(2 ; ).B m m− Suy ra và 33 | |OA m= ( , ( )) 2 | | .d B OA m= 0,25 48OABS∆ = ⇔ 3 4 4 8m = 0,25 1 (2,0 điểm) ⇔ thỏa mãn (*). 2,m = ± 0,25 O 2 3 −1 x y +∞ –1 3 −∞ y 'y + 0 – 0 + x 0 2 −∞ +∞ Trang 1/4 Phương trình đã cho tương đương với: cos2 3 sin 2 cos 3 sinx x x+ = − x 0,25 ⇔ ( ) ( )π πco s 2 cos3 3x x− = + 0,25 ⇔ ( )π π2 2π ( ). 3 3x x k k− =± + + ∈] 0,25 2 (1,0 điểm) ⇔ 2π 2π 3 x k= + hoặc 2π ( ) 3 x k k= ∈] . 0,25 Điều kiện: 0 2 hoặc 3x≤ ≤ − 2x ≥ + 3 (*). Nhận xét: là nghiệm của bất phương trình đã cho. 0x = Với bất phương trình đã cho tương đương với: 0,x> 1 1 4 3x x xx + + + − ≥ (1). 0,25 Đặt 1 (2),t x x = + bất phương trình (1) trở thành 2 6 3t t− ≥ − 2 2 3 0 3 0 6 (3 ) t t t t − <⎡⎢ − ≥⇔ ⎧⎢⎨⎢ − ≥ −⎣⎩ 0,25 5. 2 t⇔ ≥ Thay vào (2) ta được 1 5 2 2 x x x + ≥ ⇔ ≥ hoặc 1 2 x ≤ 0,25 3 (1,0 điểm) 10 4 x⇔ < ≤ hoặc . Kết hợp (*) và nghiệm 4x ≥ 0,x = ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: 10; [4; ). 4 ⎡ ⎤∪ +∞⎢ ⎥⎣ ⎦ 0,25 Đặt t x suy ra Với 2 ,= .2dt xdx= 0x= thì 0;t = với 1x= thì 1.t = 0,25 Khi đó 1 12 2 2 0 0 1 .2 d 1 d 2 2 (( 1)( 2) x x x t tI t tx x = = 1)( 2)+ ++ +∫ ∫ 0,25 ( ) ( )1 1 00 1 2 1 1d ln| 2| ln| 1| 2 2 1 2 t t t t t = − = + − ++ +∫ 0,25 4 (1,0 điểm) = 3ln3 ln2. 2 − 0,25 Gọi D là trung điểm của cạnh AB và O là tâm của ∆ABC. Ta có AB CD⊥ và AB SO⊥ nên (AB SCD),⊥ do đó .AB SC⊥ 0,25 Mặt khác ,SC AH⊥ suy ra S ( ).C ABH⊥ 0,25 Ta có: 3 3, 2 3 a aCD OC= = nên 2 2 33. 3 aSO SC OC= − = Do đó . 11 4 SO CD aDH SC = = . Suy ra 21 1. . 2 8ABH aS AB DH∆ = = 1 0,25 5 (1,0 điểm) Ta có 2 2 7 . 4 aSH SC HC SC CD DH= − = − − = Do đó 3 . 1 7. . 3 9S ABH ABH a11 6 H S∆= =V S 0,25 O D B A H C S Trang 2/4 Với và ta có: 0x y z+ + = 2 2 2 1,x y z+ + = 2 2 2 2 20 ( ) 2 ( ) 2 1 2 2 ,x y z x y z x y z yz x yz= + + = + + + + + = − + nên 2 1. 2 yz x= − Mặt khác 2 2 21 , 2 2 y z xyz + −≤ = suy ra: 2 2 1 1 , 2 2 xx −− ≤ do đó 6 6 3 3 x− ≤ ≤ (*). 0,25 Khi đó: P = 5 2 2 3 3 2 2( )( ) ( )x y z y z y z y z+ + + − + = ( )25 2 2 2 2 1(1 ) ( )( ) ( ) 2x x y z y z yz y z x+ − + + − + + −⎡ ⎤⎣ ⎦ x = ( ) ( )25 2 2 2 21 1(1 ) (1 ) 2 2x x x x x x x⎡ ⎤+ − − − + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ x = ( )35 2 .4 x x− 0,25 Xét hàm 3( ) 2f x x= − x trên 6 6; 3 3 , ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ suy ra 2'( ) 6 1;f x x= − 6'( ) 0 . 6 f x x= ⇔ = ± Ta có 6 6 6 9 , 3 6 f f ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = =−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 6 6 . 3 6 f f ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 6 9 Do đó 6( ) . 9 f x ≤ Suy ra 5 6 . 36 P ≤ 0,25 6 (1,0 điểm) Khi 6 , 3 6 x y z= = =− 6 thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị lớn nhất của P là 5 6 . 36 0,25 (C1) có tâm là gốc tọa độ O. Gọi I là tâm của đường tròn (C) cần viết phương trình, ta có .A Trang 3/4 B OI⊥ Mà AB d⊥ và O d∉ nên OI//d, do đó OI có phương trình y = x. 0,25 Mặt khác 2( )I C ,∈ nên tọa độ của I thỏa mãn hệ: 2 2 3 (3;3). 312 18 0 y x x I yx y x =⎧ =⎧⎪ ⇔ ⇒⎨ ⎨ =+ − + = ⎩⎪⎩ 0,25 Do (C) tiếp xúc với d nên (C) có bán kính ( , ) 2 2.R d I d= = 0,25 7.a (1,0 điểm) Vậy phương trình của (C) là 2 2( 3) ( 3) 8x y .− + − = 0,25 Gọi (S) là mặt cầu cần viết phương trình và I là tâm của (S). Do nên tọa độ của điểm I có dạng I d∈ (1 2 ; ; 2 ).I t t t+ − 0,25 Do nên , ( )A B S∈ ,AI BI= suy ra .2 2 2 2 2 2(2 1) ( 1) 4 (2 3) ( 3) (2 2) 1t t t t t t t− + − + = + + − + + ⇒ =− 0,25 Do đó và bán kính mặt cầu là ( 1; 1; 2)I − − 17.IA = 0,25 8.a (1,0 điểm) Vậy, phương trình mặt cầu (S) cần tìm là 2 2 2( 1) ( 1) ( 2) 17x y z+ + + + − = . 0,25 Số cách chọn 4 học sinh trong lớp là C 425 12650.= 0,25 Số cách chọn 4 học sinh có cả nam và nữ là 1 3 2 2 3 115 10 15 10 15 10. . .C C C C C C+ + 0,25 = 11075. 0,25 9.a (1,0 điểm) Xác suất cần tính là 11075 443. 12650 506 P = = 0,25 B A I d (C2) (C) (C1) Trang 4/4 Giả sử 2 2 2 2( ): 1( 0). x yE a a b b+ = > > Hình thoi ABCD có 2AC BD= và A, B, C, D thuộc (E) suy ra OA 2 .OB= 0,25 Không mất tính tổng quát, ta có thể xem và ( ;0)A a ( )0; .2aB Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB, suy ra OH là bán kính của đường tròn ( ) 2 2: 4.C x y+ = 0,25 Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 . 4 OH OA OB a a = = + = + 2 0,25 7.b (1,0 điểm) Suy ra do đó b Vậy phương trình chính tắc của (E) là 2 20,a = 2 5.= 2 2 1. 20 5 x y+ = 0,25 Do ,B Ox C Oy∈ ∈ nên tọa độ của B và C có dạng: B b và C c ( ; 0; 0) (0; ; 0). 0,25 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra: ( ); ; 1 .G 3 3b c 0,25 Ta có nên đường thẳng AM có phương trình (1;2; 3)AM = −JJJJG 3. 1 2 3 x y z−= = − Do G thuộc đường thẳng AM nên 2 . 3 6 3 b c −= = − Suy ra 2b = và 4.c = 0,25 8.b (1,0 điểm) Do đó phương trình của mặt phẳng (P) là 1, 2 4 3 x y z+ + = nghĩa là ( ) : 6 3 4 12 0.P x y z+ + − = 0,25 Phương trình bậc hai 2 2 3 4 0z i z− − = có biệt thức 4.∆ = 0,25 Suy ra phương trình có hai nghiệm: 1 1 3z i= + và 2 1 3z i= − + . 0,25 • Dạng lượng giác của là 1z 1 π π2 cos sin .3 3z i ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,25 9.b (1,0 điểm) • Dạng lượng giác của là 2z 2 2π 2π2 cos sin .3 3z i ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,25 O H x y D A B C ---------- HẾT ----------