Đề thi tuyển sinh PTTH chuyên môn toán

Đề thi tuyển sinh p.t.t.h. chuyên Môn: toán ( Học sinh làm bài 180 phút- không kể thời gian giao đề ) Đ1 Bài 1( 2 điểm): Cho biểu thức : A= Rút gọn A Tìm giá trị lớn nhất của A. Bài 2 (2,5 đ ): Cho phương trình : x2-2(m+2)x +m+1 = 0 (x là ẩn, m là tham số ) Giải phương trình khi m= Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình.Tìm các giá trị của m để : x1( 1- 2x2)+ x2 (1- 2x1)=m2 Bài 3 (2 điểm) Dân số xã X hiện nay có 10000 người . Người ta dự đoán sau hai năm dân số xã X là 10404 người . Hỏi trung bình hàng năm dân số xã X tăng bao nhiêu phần trăm? Bài 4 ( 3 điểm) Cho đường tròn (o, r) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. E là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BD (EB , E D ). EC cắt AB ở M , EA Cắt CD ở N . Hai tam giác AMC và ANC có quan hệ với nhau thế nào ? Tại sao ? Chứng minh: AM. CN = 2 r2. Giả sử AM = 3 MB . Tính tỉ số . Bài 5 ( 1 điểm ) Tìm tất cả các cặp số (x; y ) thoả mãn phương trình sau : 5x - 2( 2+y ) + y2 +1 = 0 đáp án Đ.t. tuyển sinh p.t.t.h. chuyên Môn: toán H1 Bài 1: Rút gọn (1 đ) Biểu thức A xác định với : 0 a1 0,25 đ A= - A = 0,75 đ b. Biểu thức A có giá trị lớn nhất khi 1+a+a2 có giá trị nhỏ nhất 0,25 đ Vì a0 nên 1+a+a21 mẫu của biểu thức A có giá trị nhỏt nhất là 1. 0,5 đ Vậy giá trị lớn nhất của A là 2 0,25 đ Bài 2 : (2,5đ) a.(0,5đ): Thay m = - vào phương trình ta được : x2- 2(-+ 2)x + + 1 = 0 2x2 + 2x – 1 = 0 Vì = 3 nên x1=; x2= (1đ): Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi a.c < 0 tức là : m + 1 < 0 m < -1 0,75 đ Vậy với m < -1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu. 0,25 đ (1đ) : Tìm giá trị m của phương trình đã cho để có : x1 ( 1 – 2x2 ) + x2( 1-2x1 ) = m2 x1 – 2x1x2 + x2 –2x1x2 = m2 ( x1 + x2 ) –4x1x2 = m2 (1) 0,25 đ Theo Vi et thì x1+ x2 = =2(m+2) x1 x2 = = m + 1 nên (1) có dạng : 2(m + 2 ) - 4( m +1 ) =m2 0,25đ 2m + 4 – 4m - 4 = m2 m2+2m =0 m( m +2 ) =0 m =0 hoặc m = - 2 0,25 đ Vậy với m = 0 hoặc m =- 2 thì > 0 phương trình đã cho Có 2 nghiệm x1 , x2 0,25 đ Bài 3 (2 điểm) Gọi tỉ số phần trăm tăng dân số hàng năm của xã X hàng năm là (x >0) Dân số xã X hiện nay có 10 000 người thì sau 1 năm dân số sẽ là: 10 000 + . 10 000 = 10 000 + 100 x (người) Sang năm thứ 2 dân số xã X sẽ là : 10 000 + 100 x + .(10 000 + 100 x ) =10 000 +200 x +x2 (người) 0,5 đ sau 2 năm dân số xã X là 10 404 người nên có phương trình 10 000 + 200 x + x2 = 10 404 x2 + 200 x - 404 = 0 0,5 đ Giải phương trình được x1 =2 ; x2 =- 202 (loại) Sau khi thử lại có kết quả : Dân số xã X hàng năm tăng 2% 0,25đ Bài 4 : (3đ) A E B D M C O N -Vẽ hình ghi giả thiết, kết luận a, Vì AB ^ CD nên cung AD= cung DB = cungBC = cung AC Số đo éNAC= số đo( cung EB + cung BC) Số đo é AMC=số đo (cung EB + cung AC) é NAC = é AMC 0,25đ Số đo é CAN = số đo cung AD = số đo cung BC = số đo cung MAC 0,25đ Vậy AMC ~ ANC vì có hai cặp góc tương ứng bằng nhau 0,5đ b, Vì AMC~ ANC nên AM.CN = AC2 0,5đ Theo đing lý PiTa Go trong vuông AOC ta có AC2=OA2+OC2 Hay AC2=2r2 0,25đ Vậy AM. CN = 2r2 0,25đ c, Ta có AM+MB = 2r Mà AM = 3MB Nên 4MB = 2r MB = r AM = 0,25đ CN = CN = 0,25đ Vì CN +ND = 2r nên ND = 2r - = 0,25đ Vậy 0,25đ Bài 5 : Phương trình : 5x -2(2+ y)+ y2+1 =0 4x - 4 +1 +y2 -2.y +x = 0 (2 - 1)2 + (y -)2 =0 (1) 0,25đ Vế trái của (1) là tổng của hai biểu thức không âm, nên mỗi biểu thức phải bằng 0 Vây (1) 0,5đ Vậy cặp số phải tìm là: (;) 0,25đ Đề thi tuyển sinh p.t.t.h. chuyên Môn: toán ( Học sinh làm bài 180 phút- không kể thời gian giao đề ) Đ3 Bài I (2điểm) a) Trong mọi cặp nghiệm của phương trình : x2 - yx2 +2xy – y + 7 = 0 Hãy tìm cặp nghiệm (x ,y) mà y có giá trị nhỏ nhất. b)Cho x và y liên hệ với nhau bởi hệ thức : x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0 Hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức S = x + y +1. Bài II (1,5điểm)Giả sử hệ phương trình sau có nghiệm : Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 = 3abc Bài III)(2 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), có đường cao AN và CK (N thuộc BC, K thuộc AB). Đường tròn qua 3 điểm B,K,N cắt đường tròn(O) tại điểm thứ hai M. Gọi P là trung điểm của AC . Chứng minh rằng PM MB. Bài IV)(3 điểm) Cho đường tròn(O,R) và điểm P cố định nằm trong (O). Qua P vẽ 2 cát tuyến APB và CPD vuông góc với nhau(A,B,C,D thuộc đường tròn(O)). a)Chứng minh rằng AC2 +BD2 không đổi. Từ đó suy ra PA2 +PB2 +PC2 +PD2 không đổi. b)Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng khi hai cát tuyến APB và CPD quay quanh P và vuông góc với nhau thì điểm I luôn nằm trên một đường tròn cố định. Bài V) (1,5điểm)Giải phương trình : hướng dẫn chấm Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán H3 Bài I a)(1đ) x2 - yx2 +2xy – y + 7 = 0 0,25đ (1 –y)x2 + 2xy – y + 7 = 0 (*) y = 1 x= -3 y 1 Xem (*) là phương trình ẩn x + Tính ’ = y2 –(1-y)(-y+7) 0 y 7/8 . Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất : y = 7/8 0,5đ +Thay vào (*) tính được x = - 7 0,25đ Kết luận :( x = -7 ; y =7/8) là cặp nghiệm mà y có giá trị nhỏ nhất. b)(1đ) +Hệ thức có thể viết như sau : 0,25đ (x2 +y2 + 1+2xy +2x +2y) + 5(x+ y+1) + 4 = - y2 + Từ đó suy ra : (x2 +y2 + 1+2xy +2x +2y) + 5(x+ y+1) + 4 0 S2 + 5S + 4 0 hay – 4 S -1 0,5đ +Từ đây : S đạt giá trị nhỏ nhất S = - 4 khi x = - 5 ; y = 0 S đạt giá trị lớn nhất S = - 1 khi x = - 2 ; y = 0 0,25đ Bài II (1,5đ) +Giả sử (x0, y0 , z0) là nghiệm củahệ phương trình Nhân cả hai vế của từng phương trình với lần lượt c2 , a2 , b2 ta có : 0,5đ Cộng từng vế các phương trình trên ta có x0(ac2+a2b+b2c) +y0(bc2+a2c+ab2) = a3+b3+c3 (1) +Nhân từng vế của (1) ,(2) ,(3) lần lượt với ab ,bc , ac ta có 0,5đ Cộng từng vế 3 phương trình trên ta có x0(ac2+a2b+b2c) +y0(bc2+a2c+ab2) = 3abc (2) 0,5đ +Từ (1) và (2) a3+b3+c3 = 3abc A D K H P M I 0 C B N Bài III.(2điểm) Giải AH BC(H là trực tâm ABC) và DC BC nên AH // DC (1) (0,5đ) Chứng minh tương tự :CH //AD (2) (0,25đ) Từ (1) và (2) tứ giác ADCH là hình bình hành mà P là trung điểm của BC nên P cũng là trung điểm của HD. (0,25đ) * Gọi I là tâm đường tròn đường kính BH .Ta có OI là đường trung bình của tam giác BHD OI //HD hay OI //HP (0,5đ) Mặt khác MB là dây cung chung của hai đường tròn(I) và (O) (0,25đ) OI MB và do đó HP MB Ta có HP MB và HM MB nên P,H,M thẳng hàng (0,25đ) PM MB C I A B H K O E D Bài 4: Giải: a)(1,5đ)Vẽ đường kính BE của (O) . EAB = 900(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Chứng minh ACDE là hình thang cân AC = DE. (0,5đ) DEB vuông tại D, theo định lý Pitago ta có DE2 +BD2 = BE2 Do đó AC2 +BD2 = 4R2 không đổi. (0,5đ) PAC vuông tại P nên PA2+ PC2 = AC2 (0,5đ) PBD vuông tại P nên PB2 + PD2 = BD2 Cộng từng vế ta có PA2+ PB2 + PC2 + PD2 = AC2 +BD2 = 4R2 b)1,5 điểm OI là đường trung bình của tam giác EBC nên OI = 1/2 EC PI là trung tuyến của PBC vuông tại P nên PI = 1/2 PBC CEB vuông tại C nên EC2 + BC2 = EB2 = 4R2 Do đó IO2+IP2 = 1/4EC2+ 1/4BC2 = R2 (0,25đ) Gọi K là trung điểm của PO vẽ IH PO, H PO các tam giác HPI,HKI,HIO vuông tại H Do đó : OI2= IH2 + OH2 ,IP2= IH2 + HP2, IK2 =IH2 + HK2 OI2 + IP2 – 2IK2 =OH2 + HP2 – 2 HK2 = = = (0,5đ) Từ OI2 + IP2 – 2IK2 = và OI2 + IP2 = R2 R2 - 2IK2  = IK2 = IK = = không đổi (0,5đ) K cố định vì P,O cố định nên I thuộc đường tròn (K , ) cố định. (0,25đ) Bài V (1,5đ) Giải phương trình : 0,5đ 0,25đ = -3(x2 –2x +1) +8 8 0,5đ Dấu bằng xảy ra khi x =1 0.25 đ ( Ghi chú : HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.)