Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2008 – 2009 môn thi: toán

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM HỌC 2008 – 2009 ----------------- Môn thi: Toán ĐÊ CHÍNH THỨC (Dành cho thí sinh thi vào các lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: Sáng 20 tháng 7 năm 2008 --------------------------------------------- Bài 1: (1,5 điểm) Cho a1; a2; a3; ; a2007; a2008 là 2008 số thực thỏa mãn: với k = 1; 2; 3; ; 2008. Tính tổng Bài 2: (2,0 điểm) Giải phương trình sau: (x2 – 4)2 + x = 4 Giải hệ phương trình sau: Bài 3: (1,5 điểm) Cho f(x) là một đa thức bậc 3 có hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu f(x) nhận là một nghiệm thì f(x) cũng có nghiệm là . Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I, r). Kẻ tiếp tuyến d1 của đường tròn (I;r) sao cho d1 song song với BC. Gọi E, F lần lượt là giao điểp của d1 với các cạnh AB và AC. Gọi D và K lần lượt là tiếp điểm của đường tròn (I; r) với BC và d1. Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho CH = BD. Chứng minh 3 điểm A, K, H thẳng hàng. Kẻ tiếp tuyến d2 và d3 của đường tròn (I; r) sao cho d2 song song với AC và d3 song song với AB. Gọi M và N lần lượt là giao điểm của d2 với các cạnh AB và BC. Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của d3 với các cạnh BC và AC. Giả sử tam giác ABC có độ dài ba cạnh không đổi sao cho chu vi của nó bằng 2p không đổi. Hãy tìm giá trị lớn nhất của EF + MN + PQ. Bài 5: (2,0 điểm) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh rằng: Trên bảng ghi 2008 dấu cộng và 2009 dấu trù. Mỗi lần thực hiện ta xóa đi hai dấu và bởi dấu cộng nếu hai dấu bị xóa cùng loại và thay bởi dấu trừ nếu hai dấu bị xóa khác loại. Hỏi sau 4016 lần thực hiện như vậy trên bảng còn lại dấu gì? -----------------------------HẾT----------------------------- Họ và tên thí sinh:............... Chữ kí của giám thị số 1:. Số báo danh:.Phòng thi số:............... Chữ kí của giám thị số 2:. SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH HƯNG YÊN VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2008 – 2009 ----------------- Môn thi: Toán ĐÊ CHÍNH THỨC (Dành cho thí sinh thi vào các lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: Sáng 20 tháng 7 năm 2008 --------------------------------------------- (Hướng dẫn gồm 04 trang) I. Hướng dẫn chung 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn qui định. 2) Việc chi tiết hóa thang điểm nếu có so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm, không chia nhỏ dưới 0,25 điểm và được thống nhất thực hiện trong hội đồng chấm thi. 3) Điểm toàn bài không làm tròn. II. Đáp án và thang điểm Bài 1. (1,5 điểm) Điểm Với k là số nguyên dương ta có 0,25 đ 0,25 đ Thay lần lượt k = 1; 2; 3; ; 2008 ta được 0,5 đ 0,5 đ Bài 2. (2,0 điểm) Điểm 1) Đặt y = x2 – 4. Ta có hệ phương trình: 0,25 đ Trừ vế với vế của 2 phương trình trên ta được: 0,25 đ Nếu x + y = 0, giải ra ta được 0,25 đ Nếu x – y – 1 = 0, giải ra ta được Vậy tập nghiệm của phương trình là: 0,25 đ 2) Hệ phương trình đã cho tương đương với: 0,25 đ Nhân vế với vế các phương trình của hệ ta được 0,25 đ Nếu , giải ta được (x; y; z) = (1; 2; 3) 0,25 đ Nếu , giải ta được 0,25 đ Bài 3. (1,5 điểm) Điểm Gọi f(x) nhận là nghiệm khi 0,25 đ 0,25 đ Nếu thì Điều này vô lý vì là một số vô tỉ cò là một số hữu tỉ 0,25 đ Do vậy 45a + 11b + 3c = 0 và 29a + 6b + c = 0 (1) 0,25 đ Ta có: Chứng tỏ là một nghiệm của f(x). 0,25 đ Bài 4. (3,0 điểm) Điểm 1) Gọi G và J là các tiếp điểm của AB, AC với đường tròn (I). Đặt BC = a, CA = b, AB = c, ta có a + b + c = 2p. Theo tính chất tiếp tuyến ta có AG = AJ, BG = BD, CD = CJ => AG + AJ = AB – BG + AC – CJ = AB – BD + AC – CD = b + c - a 0,25 đ =>2AG = a + b +c – 2a => AG = AJ = p – a (1) Tương tự, ta có BD = p – b => CH = p – b (2) 0,25 đ Gọi H’ là giao điểm của AK với BC. Từ EF // BC ta có: 0,25 đ Lại có EK = EG, KF = FJ nên 0,25 đ 0,25 đ Mặt khác H và H’ cùng thuộc đoạn BC nên H trùng H’ hay A, K, H thẳng hàng 0,25 đ 2) Từ (3) ta có: 0,25 đ 0,25 đ Tương tự ta có: 0,25 đ Do vậy 0,25 đ Ta luôn có bất đẳng thức: (dấu bằng xảy ra khi a = b = c ó tam giác ABC đều). 0,25 đ Từ (4) và (5) ta có: Vậy giá trị lớn nhất của EF + MN + PQ là khi tam giác ABC đều. 0,25 đ Bài 5. (2,0 điểm) Điểm 1) Ta có: . Suy ra với x > 0 và y < 0 thì 0,25 đ Áp dụng (*) ta được: 0,25 đ 0,25 đ Từ đó suy ra 0,25 đ 2) Sau mỗi lần thực hiện theo yêu cầu của bài toán thì số dấu trên bảng giảm đi 1 và số dấu trừ được giữ nguyên hoặc giảm đi 2 dấu. 0,25 đ Như vậy tính chẵn lẻ của số dấu trừ là không đổi. 0,25 đ Sau 4016 lần xóa thì trên bảng còn lại 2008 + 2009 – 4016 = 1 (dấu). 0,25 đ Mặt khác, lúc đầu có 2009 dấu trừ (là số lẻ) nên dấu còn lại trên bảng là dấu trừ. 0,25 đ --------------------Hết--------------------