Định nghĩa đường tròn

ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG TRÒN 1. Định nghiã : Đường tròn tâm O bán kính R, () là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng R. Vị trí tương đối giữa đường tròn (O;R) với điểm M. Û điểm M nằm trên đường tròn (O,R). Û điểm M nằm phía trong đường tròn (O,R). Û điểm M nằm phía ngoài đường tròn (O,R). Định lý 1: Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng có một và chỉ một đường tròn. ( Đường tròn ngoại tiếp tam giác ), tâm của đường tròn này là giao điểm của ba đường trung trực của ba đoạn thẳng AB, BC, CA. Hệ quả : Qua ba điểm thẳng hàng không có đường tròn nào. Định lý 1: Đường tròn là một hình tự đối xứng, tâm của nó chính là tâm đối xứng. Bất kỳ đường kính nào của đường tròn cũng là trục đối xứng của đ.tròn. Hệ quả 1 : Qua hai điểm bất kỳ có vô số đường tròn, tâm của những đường tròn này nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy. Hệ quả 2 : Một đường tròn hoàn toàn được xác định nếu biết tâm và bán kính của đường tròn hoặc biết đường kính của đường tròn. Ví dụ 1 : Chứng minh rằng qua ba điểm thẳng hàng không có đ.tròn nào. Bài giải Giả sử có đường tròn (O) qua ba điểm thẳng hàng A, B, C. Thế thì tâm O của đường tròn (O) thuộc về đường trung trực của đoạn AB và thuộc về đường trung trực của đoạn BC. Vì A, B, C thẳng hàng nên , làm gì có giao điểm ! Ví dụ 2 : Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí tương đối của mỗi điểm , và đối với đường tròn . Bài giải Gọi R là bán kính của đường tròn thì . Û A nằm trong (O). ÛB nằm trên (O). ÛC nằm ngoài đ.tròn (O). Ví dụ 3 : Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền. Bài giải Giả sử DABC có , gọi O là trung điểm của cạnh huyền BC thế thì Û O cách đều A, B, C Û O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Ghi nhớ : Tập hợp những điểm A nhìn hai điểm cố định B, C dưới một góc vuông là đường tròn tâm O, ( trung điểm của đoạn BC) bán kính. Ví dụ 4 : Hình chữ nhật ABCD có hai kích thước là , . Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. Bài giải Giả sử có hình chữ nhật ABCD có hai kích thước, . Xét nên . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD thế thì : Û O cách đều bốn điểm A, B, C, D. Û O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Ví dụ 5 : a) Tại sao khi mở rộng thêm khẩu độ compa thì khooảng cách giữa mũi kim và đầu chì của compa đó tăng lên ? b) Cho đường tròn (O,R) với dây , một điểm M tuỳ ý trên cung nhỏ. Goị I là trung điểm của AB, chứng minh rằng : . Bài giải a) Xét DAOB, DCOD ta có : , thì . b) Xét DOMI, DOAI ta có :. Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi M º A hoặc M º B. Ví dụ 6 :a) Tìm tập hợp tâm O của các đường tròn có bán kính cho trước và đi qua điểm A cho trước. b) Cho đoạn thẳng chuyển động sao cho hai đầu mút của nó chạy trên hai đường thẳng vuông góc với nhau. Tìm tập hợp trung điểm N của đoạn AB. Bài giải a) Đường tròn tâm O bán kính qua điểm A Û . Do A cố định, cho trước, khoảng cách không đổi Û tập hợp tâm O của các đường tròn (O,R) là đường tròn (A,R). b) Giả sử với tại O và . Xét DOAB có thế thì . Do a, b cho trước nên giao điểm O của a, b cố định, mà không đổi Û tập hợp trung điểm N là đường tròn . Ví dụ 7 : Hình thang cân ABCD có ba đỉnh A, B, C nằm trên đường tròn (O). Đỉnh D có nằm trên đường tròn (O) hay không, tại sao ? Bài giải Giả sử hình thang cân ABCD có 3 đỉnh A, B, C nằm trên đường tròn (O) Gọi d là trục đối xứng của hình thang ABCD thế thì d phải là trục đối xứng của đường tròn (O). Nếu và D đối xứng với A qua d thì . Vì D đối xứng với A qua trục d. Ví dụ 8 : Cho tam giác nhọn ABC, vẽ đường tròn (O) đường kính BC, đường tròn này cắt cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. a) Chứng minh , . b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng AK vuông góc với BC. Bài giải a) E là giao điểm của AC với đường tròn (O) nên E thuộc đường tròn (O) Þ Þ DBCE vuông ở E Þ . Tương tự ta có : . b) Vì K là giao điểm của CD và BE kết hợp với câu (a) thì ta có K là trực tâm của DABC, suy ra : . Ví dụ 9 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, lấy C, D trên nửa đường tròn này. Từ A và B dựng AP và BS vuông góc với CD. Chứng minh : a) Các điểm P, S nằm ngoài đường tròn (O). b) . Bài giải a) Giả sử có nửa đường tròn đường kính AB, C, D trên Nối O với P, xét DOPA ta có : Û điểm P nằm phiá ngoài đường tròn (O). Tương tự ta có điểm S cũng nằm phía ngoài đường tròn (O). b) Gọi M là trung điểm của PS thế thì OM là đường trung bình của hình thang vuông APSB Þ và , (1). Mặt khác DOCD cân đỉnh O, nên OM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác cân. Suy ra : , (2). Từ (1) và (2) ta được : . Ví dụ 10 : Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Từ A và B vẽ hai dây cung AC và BD song song với nhau. a) So sánh AC và BD. b) Chứng minh 3 điểm C, O, D thẳng hàng. c) Kẻ CC’ và DD’ vuông góc với AB. Chứng minh tứ giác CC’DD’ là hình bình hành. Bài giải a) Do AB là đường kính nên . AC // BD nên , ( so le ) , cạnh AB chung nên DACB = DADB Þ AC = BD. b) Từ (a) ta có ACBD là hình chữ nhật mà O là trung điểm của AB thì O cũng là trung điểm của CD Û C, O, D thẳng hàng. c) Vì ,(1). Mà , (2) suy ra CC’DD’ là hình bình hành. Ví dụ 11 : Cho đường tròn tâm O và một số . Tập hợp các trung điểm M của tất cả các dây cung của đường tròn (O). Bài giải Cho đường tròn (O) và . Do M là trung điểm của AB nên , không đổi. Vì DAOB cân, (OA = OB) nên . Xét Þ . O cố định, không đổi Û M nằm trên đường tròn tâm O bán kính OM. Ví dụ 12 : Cho DABC cân tại A, , đường cao . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp DABC. Bài giải Đường cao AH cắt đường tròn (O) ngoại tiếp DABC tại D. Tam giác ACD có trung tuyến CO ứng với cạnh AD và bằng nửa cạnh AD nên , do đó : Þ. . Bán kính đường tròn ngoại tiếp DABC : . LUYỆN TẬP Bài tập 01: Hình chữ nhật ABCD có hai kích thước là a, b. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. Hướng dẫn Bài tập 02: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. a) Gọi M là trung điểm của đoạn OB, N là trung điểm của cạnh CD. Chứng minh . Từ đó suy ra 4 điểm A, M, N, D thuộc một đường tròn và . b) Trên hai cạnh AB và AD lấy theo thứ tự hai điểm I và K sao cho . Từ A hạ và cắt cạnh BC ở Q. Chứng minh 5 điểm C, D, K, P, Q nằm trên cùng một đ tròn. Hướng dẫn a) Hạ chứng minh hai tam vuông OMA, HNM bằng nhau. Gọi O’ là trung điểm của AN chứng tỏ O’ là tâm đường tròn qua 4 b) Chứng minh DAID = DBQA từ đó suy ra CDKQ là hình chữ nhật. Vì D PQD vuông ở P Gọi O’’ là giao điểm của CK và DQ. Chứng minh O’’ cách đều 5 điểm Bài tập 03 : a) Trên hai cạnh AB, BC của hình vuông ABCD lấy lần lượt hai điểm P, Q sao cho . Từ B hạ BH vuông góc với CP. Chứng minh rằng Q, H, D, C cùng nằm trên một đường tròn. b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, I, J lần lượt là trung điểm của OB, CD. Chứng minh rằng 4 điểm A, I, J, D cùng nằm trên một đường tròn. Hướng dẫn a) Kéo dài BH cắt AD tại B’, chứng minh AB’ = BP = BQ. CDB’Q là hình chữ nhật và Þ Q, H, D, C cùng nằm trên một đường tròn. b) Nối A với J ta có . Ta chứng minh : , ( xem bài tập 02). Thế thì A, I, I, D cùng nằm trên đường tròn đường kính AJ. DÂY CUNG VÀ ĐƯỜNG KÍNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN 1. Định lý : Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn. Trong một đường tròn đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây cung ấy. Ngược lại đường kính đi qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì nó vuông góc với dây cung ấy. 2. Định lý : Trong một đường tròn : a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. 3. Định lý : Trong hai dây của một đường tròn : a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. b) Dây nào gần tâm hơn thì dây ấy lớn hơn. Ví dụ 1 : Cho hai dây AB, CD khác đường kính của đường tròn (O,R). Gọi OH, OK lần lượt là khoảng cách từ tâm O đến các dây AB, CD. Chứng minh rằng : . Bài giải Giải sử có (O,R) và hai dâyAB, CD khác đường kính, xét hai tam giác vuông OHA, OKC, ta có . Ví dụ 2 : Cho đường tròn (O,R) gọi d là khoảng cách từ tâm O đến dây . Chứng minh rằng : . Bài giải Giải sử có đường tròn (O,R) có. Gọi d là khoảng cách từ tâm O đến AB.Gọi H là trung điểm của AB. Xét Þ Û . Ví dụ 3 : Cho đường tròn tâm O bán kính , dây . Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB. Bài giải Gọi H là trung điểm của AB thế thì . Ta có : . Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB bằng 3m. Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC kẻ các đường cao BH, CK. Chứng minh rằng : a) Bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn. b) . Bài giải a) Do BH là đường cao của DABC nên Þ. Gọi O là trung điểm của BC Þ HO là trung tuyến của DBCH; Þ ,(1). Tương tự ta có : , (2). Từ (1) và (2) ta có : Þ Bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn. b) Do BC là đường kính của đường tròn qua B, C, H, K nên dây HK phải ngắn hơn đường kính BC. Ví dụ 5 : Cho đường tròn tâm O và hai dây AB, CD bằng nhau. Các đường thẳng AB, CD cắt nhau tại E nằm bên ngoài (O). Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh : a) . b) . Bài giải a) Vì và , OE chung nên DEHO = DEKO. Suy ra, (1). b) Do và nên DCKO = DAHO. Suy ra , (2). Từ (1) và (2) ta có : . Ví dụ 6 : Cho tứ giác ABCD có hai góc đối . a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. b) So sánh độ dài AC và BD. Nếu thì tứ giác ABCD là hình gì ? Bài giải a) Gọi I là trung điểm của AC thì BI là trung tuyến của tam giác vuông ABC Þ , (1). Tương tự ta có : , (2). Từ (1) và (2) suy ra : hay A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. b) A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (I) đường kính AC nên dây cung . Nếu thì BD cũng là đường kính của đường tròn (I) Þ ABCD là hình chữ nhật. Ví dụ 7 : Cho đường tròn (O,R) và một điểm I nằm trong (O) và I không trùng với O. 1. Hãy vẽ dây cung AB qua I và nhận I là trung điểm. 2. Gọi (I) là đường tròn tâm I đường kính AB, đường thẳng OI cắt đường tròn (O) tại C, D và cắt đường tròn (I) tại E, F. Chứng tỏ C, D, I, F cách đều A; ( cách đều B). 3. Chứng minh tứ giác AEBF là hình vuông. 4. So sánh tích và . 5. Biết tính độ dài các cạnh, diện tích của DACD và của hình vuông AEBF theo R. Bài giải 1. Dây cung AB qua I và nhận I là trung điểm thì đường thẳng AB phải vuông góc với OI tại I Þ cách vẽ : - Nối O với I; - Qua I dựng đường thẳng vuông góc OI , cắt đường tròn (O) tại A, B. 2. Vì I là trung điểm của AB và nên OI là trung trực của đoạn AB Þ Chứng tỏ C, D, I, F cách đều A; ( cách đều B). 3. Do AB, EF đều là đường kính của đường tròn (I) và nên tứ giác AEBF là hình vuông. 4. Ta có :. Tương tự ta có : , suy ra . 5. Biết thì I là trung điểm OC nên và . Xét nên DOIA là nửa tam giác đều cạnh R và IA là đường cao của D này thì và ta có . Mặt khác. Xét Þ . Diện tích tam giác ACD : . Do AEBF là hình vuông nên . Xét Þ . Tương tự ta có : . Diện tích hình vuông AEBF : . Ví dụ 8 : Cho đường tròn (O) đường kính . Vẽ cung tâm D bán kính R, cung này cắt đường tròn (O) tại B, C. a) Tứ giác OBDC là hình gì ? vì sao ? b) Tính số đo các góc CBD, CBO, OBA. c) Chứng minh rằng DABC là tam giác đều. Bài giải a) Ta có và nên OBDC là hình thoi. b) DOBD có ba cạnh bằng nhau nên nó là tam giác đều, suy ra . Do BC là đường chéo của hình thoi nên nó là đường phân giác của do đó . DABD có trung tuyến BO bằng nửa AD nên Þ. c) D ABC có nên nó là một tam giác đều. Ví dụ 9 : Cho đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD cắt đường kính AB tại I. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh . Bài giải Kẻ cắt AK tại N. Ta có : ,(1). DAKB có , nên , (2). Từ (1) và (2) suy ra : . Vậy . Ví dụ 10 : Cho đường tròn (O), hai dây AB, CD cắt tại M nằm bên trong đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB va CD. Biết chứng minh rằng . Bài giải Do H là trung điểm của AB nên hay . Xét DHOM có nên . Tương tự ta có . Suy ra mà ,(gt) Þ ÞÞÞ. LUYỆN TẬP Bài tập 01: Cho đường tròn tâm O bán kính bằng , một điểm M cách O một khoảng bằng . a) Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua M. b) Tính độ dài dây dài nhất đi qua M. Hướng dẫn ... Þ Bài tập 02: Cho đường tròn tâm O đường kính bằng , khoảng cách từ tâm O đến dây AB bằng . Tính dây AB ? Bài tập 03 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính và dây CD. Từ A, B, O vẽ AE, BF, OI vuông góc với đường thẳng CD. 1. Chứng minh I là trung điểm của CD và EF, (đường trung bình). 2. Chứng minh và . 3. Trường hợp dây cung : a) Chứng tỏ DOCD vuông cân, (hệ thức lượng). b) Tìm quỹ tích các điểm I, ( cung hình bên ). c) Trường hợp CD có độ dài không đổi , tìm vị trí của I lúc độ dài EF lớn nhất. ( khi I là điểm chính giữa của cung ). Bài tập 04 : Cho đường tròn (O) đường kính . Từ một điểm C trên tia đối của tia BA, kẻ một cát tuyến cắt đường tròn (O) ở E, D, ( E nằm giữa C và D ), biết góc và . a) Tính độ dài CD, CE theo bán kính R. b) Chứng minh : . Hướng dẫn Chứng minh DEOD vuông cân ở O Þ . Từ DOHC vuông ở H ta tính CH = ? từ suy ra CE, CD. Tính hai tích ; So sánh rút ra kết quả. Bài tập 05 : Cho đường tròn tâm O đường kính AB, M là một điểm chuyển động trên đường tròn đó. Đường thẳng d vuông góc với đường kính AB tại A. Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường kính AB và lên đường thẳng d. a) Chứng minh . b) Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn PQ khi M chuyển động trên đường tròn (O). Bài giải a) Chứng tỏ APMQ là hình chữ nhật Þ . b) A cố định, I là trung điểm AM, từ đó tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn PQ khi M chuyển động trên đường tròn (O). Bài tập 06 : Cho đường tròn (O,r) đường kính AB, một điểm M trên cung sao cho . Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M’A. Gọi P là chân đường vuông góc hạ từ S xuống AB. a) Chứng minh rằng 4 điểm A, M, S, P nằm trên một đường tròn. b) Gọi S’ là giao điểm của hai tia MA, SP. Chứng minh rằng tam giác PS’M cân. Bài giải a) chứng minh DSMA, DSPA vuông Þ 4 điểm nằm trên đường tròn đường kính AS. b) DSS’M có , Þ ... Þ ... DPS’M cân. Bài tập 7 : Cho đường tròn (O,R) và một điểm I cố định với . AB là một dây cung quay quanh I. 1. Tìm vị trí C; D của (A hay B) tương ứng lúc độ dài IA (hay IB) dài nhất, ngắn nhất. 2. Chứng tỏ tập hợp các trung điểm M của dây cung AB là một đường tròn, tìm tâm và bán kính của đường tròn này. 3. Gọi EF là vị trí giới hạn của dây AB lúc M tiến dần đến I, chứng minh rằng : a) . b) EF là độ dài ngắn nhất của dây cung AB và CD là độ dài dài nhất của AB. 4. Chứng minh tứ giác CEOF là hình thoi và tính diện tích của nó theo R. Bài giải 1. IA ngắn nhất khi A hay B trùng với đường kính CD qua I, tương tự IA dài nhất khi A trùng với D. 2. Gọi I là trung điểm AB thế thì Þ ... 3. Khi M ® I thì AB ® EF, . ... 4. Þ ... CEOF là hình thoi. D CEO đều Þ diện tích.