Giải toán có sự trợ giúp của máy tính

GIẢI TOÁN CÓ SỰ TRỢ GIÚP CỦA MAY TÍNH A- Lí do chọn đề tài: Như chúng ta đã biết, toán học là bộ môn khoa học đặc biệt quan trọng trong chương trình giáo dục phổ thông cũng như trong các chương trình giáo dục khác. Đây là môn học được coi là nền tảng cho các môn học tự nhiên giúp cho học sinh có được những vốn kiến thức về tự nhiên. Nhà trường THCS là cầu nối giữa bậc học tiểu học và trung học phổ thông, chính vì vậy việc đặt nền móng, trang bị cho học sinh những kiến thức sơ cấp phải thực sự chuẩn mực và vững chắc. Người giáo viên phải biết dạy cái gì, dạy cho ai, dạy như thế nào? Đặc biệt khi dạy cho học sinh cách giải toán , rèn luyện kỹ năng giải toán, giáo viên cần phải biết sáng tạo vận dung linh hoạt, không máy móc để giúp cho các em có kỹ năng giải toán thật cơ bản, vững vàng , chính xác, khoa học. Đặc biệt việc dạy và học toán có sự hỗ trợ của máy tính đã trở nên rất phổ biến trên toàn thế giới. Đặc biệt là trong các tài liệu SGK của các nước có nền giáo dục tiên tiến luôn có thêm chuyên mục sử dụng máy tính để giải toán. Ở nước ta kể từ năm 2001 Bộ giáo dục và đào tạo ngoài việc đã tổ chức các kỳ thi học sinh giỏi cấp khu vực "Giải toán trên máy tính Casio" cho học sinh phổ thông, còn cho phép tất cả các học sinh được sử dụng các loại máy tính: Casio FX -500A ; Casio FX - 500 MS ; Casio FX - 570 MS...trong các kỳ thi cấp quốc gia. Thực tế đồ dùng dạy học môn toán rất đơn giản, không phức tạp như một số môn học khác. Giáo viên có thể tự làm đồ dùng dạy học, kết hợp với các mô hình, các thiết bị được cấp để hỗ trợ cho bài giảng. Trong quá trình phát triển của cả nước nói chung và trường THCS Cù Chính lan nói riêng tôi nhận thấy đối với thực trang học tập bộ môn toán nói chung và việc giải toán trên máy tính CASIO nói riêng còn nhiều yếu kém và trên thực tế các em chưa được làm quen nhiều với máy tính. Việc giới thiệu máy tính trong sách giáo khoa vẫn là thế hệ máy cũ tính năng hạn chế hiện nay không còn phổ biến. Nếu có chỉ dừng lại ở một số phép tính thông thường. Hơn nữa việc tổ chức thi lại chủ yếu dành cho học sinh lớp 9 do vậy thật vô cùng khó khăn cho các em khi phải cọ sát kiến thức theo yêu cầu. Với thực trạng như vậy chúng tôi đã quyết định làm chuyên đề giải toán trên máy tính CASIO FX-570MS . Nhằm giúp các em làm quen với phương pháp mới, hỗ trợ đắc lực cho quá trình học tập bộ môn toán, nâng cao chất lượng hoc tập, hoà nhập chung với su thế phát triển của nước ta và thế giới. Trong khuôn khổ thời lượng có hạn ở chuyên đề này. Tôi chỉ đề cập đến một mảng nhỏ giải toán casio cấp THCS . Đó là : “giải toán trên máy tính casio-fx570ms để tìm ƯCLN và bội chung nhỏ nhất ”. Giúp các em học sinh bước đầu làm quen với việc giải toán trên máy tính. B- Nội dung. I/ Sơ lược về cách sử dụng máy tính Casio FX - 500 MS. 1. Tắt, mở máy. Mở máy: ấn ON Tắt máy: ấn SHIFT OFF Xoá màn hình để thực hiện các phép tính khác ấn AC Xoá ký tự cuối vừa ghi ấn DEL Máy tự động tắt sau 6 giây không ấn phím. 2. Tính chất giành ưu tiên của máy. - Máy thực hiện trước các phép tính có ưu tiên. VD: Phép nhân chia thì ưu tiên hơn phép cộng, trừ. 3. Mặt phím. - Các phím chữ trắng và DT ấn trực tiếp. - Các phím chữ vàng (chữ nhỏ bên trên) ấn sau SHIFT - Các phím chữ đỏ ấn sau ALPHA hoặc SHIFT STO hay CLR -Các phím chữ màu xanh dùng trong hệ đếm cơ số N ( BASE ) để vào ta ấn MODE MODE 1 4. Cách ấn phím. - Chỉ ấn phím bằng đầu ngón tay một cách nhẹ nhàng mỗi lần một phím. - Nên ấn liên tục đến kết quả cuối cùng tránh việc chép kết quả trung gian ra giấy rồi lại ghi vào máy vì việc đó có thể dẫn đến sai sót lớn ở kết quả cuối - Máy có ghi biểu thức tính ở dòng trên khi ấn ta nên nhìn để phát hiện chỗ sai. Khi ấn sai thì dùng phím 3 hay4 đưa con trỏ đến chỗ sai để sửa bằng cách ấn SHIFT IN hoặc DEL = - Khi đã ấn = mà thấy biểu thức sai ( đưa đến kết quả sai ) ta dùng 5 hay 6 đưa con trỏ lên dùng biểu thức để sửa và ấn = đế tính lại. - Gọi kết quả cũ ấn AnS = - Trước khi tính toán phải ấn MODE 1 chọn COMP.- Nếu thấy màn hình hiện các chữ Fix ; SCL thì ấn thêm MODE MODE MODE MODE 3 và ấn thêm 1 (NORM 1) hoặc 2 (NORM 2) - Nếu thấy có chữ M hiện lên thì ấn O SHIFT STO M - Suốt chương trình các lớp 6 - 7 - 8 - 9 khi tính toán cần để màn hình hiện chữ D ( ấn MODE MODE MODE 1 ) - Muốn đưa máy về trạng thái ban đầu của cài đặt MODE và xoá nhớ thì ấn SHIFT CLR 3 ALL = * Tính toán cơ bản. - Phép tính thông thường. Vào COMP MODE ấn MODE 1 COMD - Số âm tong phép tính phải đặt trong ngoặc, nếu số âm là số mũ thì khỏi đặt trong ngoặc. VD1: Tính 3 x (5 x 10-9) ấn 3 x 5 EXP (-) 9 = 1,5 x 10-8 VD2: Tính 5 x (9 + 7) ấn 5 x ( 9 + 7 ) = 80 ( có thể bỏ qua dấu ) trước dấu = * Sử dụng phím nhớ ( phép toán có nhớ) + Phím nhớ STO M A B C D E F X Y * Nhớ kết quả. - Mỗi khi ấn = thì giá trị vừa nhập hay kết quả của biểu thức được tự động gán vào phím AnS - Phím AnS cũngđược gán kết quả ngay sau khi ấn SHIFT % ; Mt , SHIFT N hay SHIFT STO và tiếp theo là một chữ cái. - Gọi kết quả bằng phím AnS - Phím AnS lưu kết quả 12 chữ số chính và 2 chữ số mũ. - Phím AnS không được gán khi phép tính có lỗi. * Số nhớ độc lập. - Một số có thể nhập vào số nhớ M, thêm vào số nhớ, bớt ra từ số nhớ, số nhớ độc lập M trở thành tổng cuối cùng. - Số nhớ độc lập được gán vào M. - Xoá số nhớ độc lập M ấn O SHIFT STO M VD: 23 + 9 = 32 ấn 23 + 9 SHIFT STO M 53 - 6 = 47 53 - 6 M+ - 45 x 2 = 90 45 x 2 SHIFT M- Tổng - 11 RCL M * Biến nhớ: có 9 biến nhớ (A,B,C,D,E,F,X,Y) để dùng gán số liệu, hằng kết quả và các giá trị khác. VD: Muốn gán số 15 vào A ta ấn 15 SHIFT STO A Muốn xoá giá trị đã nhớ của A ta ấn O SHIFT STO A Muốn xoá tất cả các số thì ấn SHIFT CLR 1 = DẠNG I:Tính toán cơ bản vói các phép tính cồng kềnh. Kiến thức bổ xung: Cách chuyển đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số: Nhận xét: Ta có: VD1: Tính giá trị của biểu thức. (Tính chính xác dến 0,000001) a. A = (Đáp số:) b. B = (Đáp số :) VD2: Tìm x. (Tính chính xác đến 0,0001) a. (x = -20,384) b. (x= 6) VD3: Tính chính xác giá trị của số A = 12578963 x 14375 * Nếu học sinh tính tr ực tiếp trên máy tính th ì s ẽ b ị tràn m àn hình do đ ó cần dạy cho học sinh s ử lí những bài toán như vậy . đó là phép biến đổi toán học giải toán: A = 12578963 x 14375 = ( 12578 x 103 + 963) x 14375 = 12578 x 103 x 14375 + 963 x 14375 Tính trên máy: 12578 x 14375=180808750 Vậy: 12578 x 103 x 14375 = 180808750000 Tính trên máy: 963 x 14375 = 13843215 Vậy: A = 180808750000 + 13843215 = 180822593125. Dang 1 Phân tích số a ra thừa số nguyên tố. Phân tích : Dựa trên định nghĩa của việc phân tích một số ra thừa số nguyên tố chúng ta thấy ngay rằng để thực hiện được nhanh yêu cầu này cần nắm vững những kiến thức sau: * Các số nguyên tố đầu tiên là: 2,3,5,7,11,13... Lưu ý: Mọi số nguyên tố khác 2 và 3 đều có dạng 6n + 1 với n ?N * Dấu hiệu chia hết cho 2,3,5 và 11, cụ thể: Chia hết cho Dấu hiệu 2 Các số có tận cùng là số chẵn 3 Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 5 Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 11 Các số có hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn và tổng của các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11 Phương pháp Thực hiện phép chia a lần lượt cho các số nguyên tố từ nhỏ tới lớn cho tới khi thường số là một số nguyên tố. Chú ý: - Khi cần thiết chia a cho số nguyên tố k nhiều lần chúng ta sử dụng liên tiếp dấu = - Khi a không chia hết cho k xong lỡ ấn = thì ấn tiếp x k = để nhận lại giá trị của a. Ví dụ 1: Phân tích số 540 ra thừa số nguyên tố. Giải : Tính thường ta ấn MODE 1 Ta lần lượt thực hiện: 540 SHIFT STO M : 2 = 270 => chia tiếp được cho 2 = 135 => chia được cho 3 : 3 = 45 => chia tiếp được cho 3 = 15 => chia tiếp được cho3 = 5 => Đã là số nguyên tố Vậy, ta được 540 = 22 x 33 x 5 ?1 Phân tích số 2310 ra thừa số nguyên tố Giải: 2310SHIFT STO M : 2 = 1155 =>không chia tiếp được cho 2 : 3 = 385 =>không chia hết cho 3 : 5 = 77 =>không chia tiếp được cho 5 : 7 = 11=>Đã là số nguyên tố . Vậy, ta được 2310 = 2 x 3 x 5 x 7 x 11. Bài tập luyện tập: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố. a. 350 b. 202521 c. 104500 d. 1028755 Dạng 2: Ước chung lớn nhất. Phương pháp Chúng ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố, từ đó nhận được ước chung lớn nhất. Cách 2: Sử dụng thuật toán Ơclit. Ví dụ 2: Tìm ước chung lớn nhất của 174 và 18. Giải: Ta có hai cách thực hiện sau. Cách 1: Phân tích các số 174 và 18 ra thừa số nguyên tố như sau: 18=2.32 (1) 174 SHIFT STO M : 2 = 87 =>không chia tiếp được cho 2 : 3 = 29 =>đã là số nguyên tố. Vậy, ta được 174 = 2 x 3 x 29. (2) Từ (1) và (2) suy ra ước chung lớn nhất của 174 và 18 là 6 Cách 2: Sử dụng thuật toán Ơclit. 174 : 18 = 9.6666 =>thương số nguyên bằng 9 - 9 = x 18 = 12 =>số dư bằng 12 18 : 12 = 1.5 =>thương số nguyên bằng 1 - 1 = x 12 = 6 =>số dư bằng 6 12 : 6 = 0 Vậy, ước chung lớn nhất của 174 và 18 là 6 ?2 Tìm UCLN của 2340 và 135 . GiảI : sử dụng thuật toán Ơclit . 2340 : 135 = 17,3333=>thương số nguyên bằng 17 - 17 = x 135 = 45 =>số dư bằng 45 135 : 45 = 3=>thương số nguyên bằng 0 Vậy, ước chung lớn nhất của 2340 và 135 là 45 Bài tập luyện tập: Tìm ước chung lớn nhất của. a. 124 và 16 c. 234 và 135 b. 275 và 85 d. 212 và 64 Dạng 3: Bội chung nhỏ nhất. Phương pháp Chúng ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố, từ đó nhận được bội chung nhỏ nhất. Cách 2: Sử dụng kết quả ƯCLN (a,b). BCNN (a,b) = a.b. Ví dụ 3: Tìm bội chung nhỏ nhất của 198 và 84. Giải Phân tích các số 198 và 84 ra thừa số nguyên tố như sau: 198 SHIFT STO M : 2 = 99 =>không chia tiếp được cho 2 : 3 = 33 : 3 = 99 =>đã là số nguyên tố Vậy ta được : 184=2.32.11 (1) 84 SHIFT STO M : 2 = 42 = 21 =>không chia tiếp được cho 2 : 3 = 7 =>đã là số nguyên tố vậy ta được: 84=22.3.7 (2) Khi đó, ta có hai cách: Cách 1: Từ (1) và (2) suy ra bội chung nhỏ nhất của 198 và 84 là 23 x 32 x 7 x 11 = 2772 bằng cách ấn: 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 7 x 11 = 2772 Cách 2: Từ (1) và (2) suy ra ước chung lớn nhất của 198 và 84 là 2 x 3 Từ đó, để nhận được bội chung nhỏ nhất của 198 và 84 ta ấn: 198 x 84 : 2 : 3 = 2772 ?3 Tìm BCNN của 252 và 264 252 SHIFT STO M : 2 = 126 => chia tiếp được cho 2 = 63 =>không chia tiếp được cho 2 : 3 = 21 =>chia tiếp được cho 3 = 7 =>đã là số nguyên tố Vậy ta được : 252=22 x 32 x 7 (1) 264 SHIFT STO M : 2 = 132 => chia tiếp được cho 2 = 66 =>chia tiếp được cho 2 = 33 => không chia tiếp được cho 2 : 3 = 11 =>Đã là số nguyên tố vậy ta được: 264=22x3x11 (2) Cách 2: Từ (1) và (2) suy ra ước chung lớn nhất của 252và 264 là 22 x 3=12 Vậy BCNN ( 252;264)=(252x264):12=5544 * Cần chú ý khai thác nâng cao với bài toán số tràn màn hình để học sinh tập biến đổi số sử dụng máy tính. Dạy học giải bài toán chia hết và phép chia có dư: Lí thuyết liên quan đến chuyên đề: * a : b có thương q số dư r: a = b.q + r trong đó : 0 r <b Các tính chất chia hết 1) 0 chia hết b " b ¹ 0 2) a chia hết a " a ¹ 0 3) Nếu a chia hết cho b; b chia hết cho c thì a chia hết cho c 4) Nếu a chia hết cho m; b chia hết cho m thì a ± b chia hết cho m 5) Nếu a chia hết cho m; b không chia hết cho m thì a ± b không chia hết cho m 6) Nếu a ± b chia hết cho m; a chia hết cho m thì b chia hết cho m 7) Cho tích a1.a2 . . . an. Nếu $ ai chia hết cho ; i = 1; n thì a1.a2 . . . an chia hết cho m 8) Nếu a chia hết cho m thì an chia hết cho m (n ÎN*) 9) Nếu a chia hết cho m; b chia hết cho n thì ab chia hết cho mn => a chia hết cho b thì an chia hết cho bn. 10) Nếu a chia hết cho b; a chia hết cho c; (b; c) = 1 thì a chia hết cho bc 11) Nếu ab chia hết cho m; (b; m) = 1 thì a chia hết cho m 12) Nếu ab chia hết cho p, p là số nguyên tố thì a chia hết cho p b chia hết cho p 13) Cho a, b Î Z; n Î N; n ³ 1 thì: (an - bn) chia hết cho a - b nếu a ¹ b. (a2n + 1 + b2n +1) chia hết cho (a + b) nếu a ¹ - b. Các dấu hiệu chia hết Các Phương pháp giải bài toán chia hết: (I). Để chứng minh A(n): k có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho k. VD: Chứng minh: Tích của n số nguyên liên tiếp chia hết cho n Giải A(n) = n (n+1) + Nếu n không chia hết cho 2 thì (n+1) chia hết cho 2 và ngược lại. Trong mọi trường hợp + A(n) luôn chứa 1 thừa số chia hết cho 2. Vậy A(n) chia hết cho 2 (đpcm). A(n) = n(n+1)(n+2) Xét mọi trường hợp : n chia hết cho 3; n=3q+1; n = 3q+2 + Nếu n chia hết cho 3, hiển nhiên A(n) chia hết cho 3 + Nếu n = 3q+1 => n+2 = 3q+3 chia hết cho 3 + Nếu n= 3q+2 => n+1 = 3q+2+1 = 3q+3 chia hết cho 3 Trong mọi trường hợp A(n) luôn chứa một thừa số chia hết cho 3. Vậy A(n) chia hết cho 3 (đpcm) Giả sử dãy số đó là: a; a+1; a+2; . . . ; a+(n-1) Giả sử trong dãy số không tại số nào chia hết cho n => Khi chia n số của dãy cho n sẽ có n-1 số dư là 1; 2; 3; . . .; n-1 Dãy có n số mà khi chia cho n lại chỉ có n-1 số dư. Vậy tồn tại ít nhất 2 số khi chia cho n có cùng số dư. Giả sử 2 số đó là: a+i; a+k (0 £ i < k) => (a+k) - (a+i) chia hết cho n (k-i) chia hết cho n mà 0 (k-i) không chia hết cho n (k-i) chia hết cho n là vô lí. Vậy trong dãy phải tồn tại một số chia hết cho n => tích của cả dãy số chia hết cho n (đpcm) (II) Để chứng minh A(n) chia hết cho k có thể phân tích k ra thừa số k = p . q + Nếu (p ; q) =1 ta tìm cách chứng minh A(n) chia hết cho p và A(n) chia hết cho q + Nếu (p, q) khác 1 ta phân tích A(n)= B(n). C(n) rồi chứng minh B(n) chia hết cho p; C(n) chia hết cho q Giải (III) Dùng nguyên tắc Đirichlet: Nếu nhốt k chú thỏ vào m chuồng ( k > m ) thì phải nhốt ít nhất 2 chú thỏ vào chung 1 chuồng. VD: Chứng minh rằng : Trong m+1 số nguyên bất kì bao giờ cũng tồn tại 2 số có hiệu chia hết cho m . Giải Khi chia 1 số nguyên bất kì cho m thì số dư là 1 trong m số: 0; 1; 2; . . .; m - 1. Theo nguyên lí Đirichlet khi chia m + 1 số nguyên cho m thì phải có ít nhất 2 số có cùng số dư. Hiệu của 2 số này chia hết cho m (đpcm). (VI) Dùng qui nạp toán học: VD: Chứng minh rằng: 16n - 15n - 1 chia hết cho 225 Giải Đặt A(n) = 16n - 15n - 1. + Với n = 1 => A(1) = 16 - 15 - 1 = 0 chia hết cho 225 (đúng) + Giả sử A(n) với n = k. Tức là: 16k - 15k - 1 chia hết cho 225 Ta cần chứng minh A(n) đúng với n = k + 1 Tức là: A(k +1) chia hết cho 225 là đúng. Xét A(k +1) = 16k + 1 - 15(k + 1) - 1 = 16.16k - 15k - 15 -1 = (16k - 15k -1) + (15.16k - 15) = A(k) + 15(16k - 1). Do A(k) chia hết cho 225 16k - 1 chia hết cho 16 - 1 (= 15) => 15(16k - 1) chia hết cho 225 => A(k + 1) chia hết cho 225 Tìm số dư: Ví dụ: Viết quy trình bấm phím để tìm số dư khi chia 18901969 cho 2382001 Dựa trên cơ sỏ toán học về phép chia có dư Sử dụng quy trình bấm phím: APHA M - = M STO Sifht - 1/ 18901969 2382001 (Đưa 2382001 vào ô nhớ M thực hiện liên tiếp hiệu của( 18901969-2382001) cho 2382001) kết quả dừng khi giá trị < 2382001. 2/ Sử dụng định nghĩa: a = b.q + r => a – b.q = r = M STO Sifht : - 7 18901969 2382001 (7.93) = M APHA X ( Chú ý ở cách 2 ngắn gọn nhưng kết quả có thể bị làm tròn trong quá trình tính toá dẫn đến đáp số sai) Bài tập luyện tập: Bài 1. Tìm bội chung nhỏ nhất của: a. 252 và 264 c. 405 và 196 b. 88 và 693 d. 12103 và 5225 Bài 2. Cho a = 35 ; b = 124 ' c = 225 a. Tìm ƯCLN (a,b,c) b. Tìm BCNN (a,b,c). Bài 3: a)Tìm dư trong phép chia 1234567890987654321:123456 b) 715 : 2009 ( Gợi ý: Tách số dưới dạng a = b.q + r ) C. Một số kết quả thu được qua việc thử nghiệm đề tài: - Học sinh có sự hiểu biết rộng hơn về công cụ trợ giúp đắc lực cho việc học toán và các môn học khác. - Kiểm tra dược tính đúng trong việc giải các bài toán tính toán - Ham học và ham giải toán hơn - Tư duy học toán của học sinh được nâng cao. - Sinh hoạt trong các câu lạc bộ, nhóm học yêu thích môn toán sôi nổi vì đề xuất được nhiều bài toán và giải được các bài toán phức tạp trên cơ sở các bài toán đơn giản. D. Một số đề xuất - Cần tổ chức cho giáo viên đặc biệt là giáo viên dạy toán tiếp cận với việc sử dụng giải toán có sự trợ giúp của máy tính. - Tổ chức tốt các tiết học theo chương trình cần phát huy sự trợ giúp của máy tính cho tất cả các khối học. - Giáo viên trong chương trình dạy toán trên cơ sở kiến thức phương pháp giải cơ bản cần đưa bài tập nâng cao có trợ giúp của máy tính. - Các trường cần thiết phải có câu lác bộ yêu toán theo các khối học để học sinh được tập dượt các kĩ năng, tiếp cận các kiến thức sâu về môn toán. - Các trường hàng năm nên tổ chức thi giải toán cho học sinh các khối. - Cần tạo điều kiện về kinh phí và thời gian cho tổ chuyên môn tổ chức các chuyên đề, chương trình để nâng cao chất lượng đội ngũ, chất lượng chuyên môn. Trên đây là một số kinh nghiệm bài học rút ra qua một năm nghiên cứu đề tài về giải toán trên máy tính bỏ túi. Chắc chắn rằng với khả năng của mình chưa có thể thực hiện được hết những ý tưởng mà thực tế đòi hỏi, Kính mong các cấp lãnh đạo tạo điều kiện để tiếp tục thực tiện công việc trên, đặc biệt là các đồng nghiệp cùng chung tay để thực hiện tốt những yêu cầu học tập của học sinh hiện nay. Xếp loại của hội đồng khoa học trường Chủ tịch Cù Chính lan ngày 06 tháng 05 năm 2010 Người làm đề tài