Giáo án bồi dưỡng Đại số 8 cchương III: Phương trình bậc nhất một ẩn

trường THCS lê thánh tông giáo án bồi dưỡng Đại số 8 cChương III : phương trình bậc nhất một ẩn Giáo viên: Lê Thị Huyền Năm học: 2006 - 2007 phương trình ax + b = 0 A. Kiến thức cần nhớ: I. Mở đầu về phương trình : 1. Định nghĩa phương trình một ẩn: Là phương trình có dạng A(x) = B(x) trong đó vế trái Ax) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x. 2. Định nghĩa nghịêm của phương trình: Nghịêm của phương trình là gía trị của biến mà tại đó gía trị của hai vế bằng nhau. . Chú ý: Hệ thức x = m (với m là một số nào đó) cũng là một phương trình. Phương trình này chỉ rõ rằng m là nghiệm duy nhất của nó. - Nghịêm kép: Hai nghiệm bằng nhau gọi là nghiệm kép. - Nghiệm bội k: k nghiệm bằng nhau gọi là nghiệm bội k. Số nghiệm của phương trình: Một phương trình có thể có một nghịêm, hai nghiệm, ba nghiệm,…nhưng cũng có thể không có nghiệm nào. Phương trình không có nghiệm nào gọi là phương trình vô nghiệm. - Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình gọi là tập nghiệm của phương trình đó và thường kí hiệu bởi S. 3. Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm (hay tìm tập nghiệm) của phương trình đó. 4. Định nghĩa hai phương trình tương đương: Là hai phương trình có cùng tập nghịêm. Để chỉ hai phương trình tương đương ta dùng kí hiệu 5. Định nghĩa phép biến đổi tương đương phương trình: Là phép biến đổi từ một phương trình thành một phương trình tương đương với nó. 6. Các phép biến đổi tương đương phương trình: a. Qui tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó. b. Qui tắc nhân với một số(qui tắc nhân): Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0. .Cũng có thể phát biểu qui tắc nhân như sau: Trong một phương trình, ta có thể chia cả hai vế với cùng một số khác 0. 7. Định nghĩa phương trình hệ quả: phương trình (2) gọi là hệ quả của phương trình (1) khi mọi nghiệm của phương trình (1) đều là nghiệm của phương trình (2) 8. Định nghĩa phép biến đổi hệ quả : là phép biến đổi từ một phương trình thành một phương trình hệ quả của nó. 9. Các phép biến đổi hệ quả: a. Nhân cả hai vế của phương trình với cùng một đa thức của ẩn ta được phương trình hệ quả của phương trình đã cho. b. Bình phương (hay nâng cả hai vế lên luỹ thừa bậc chẵn) ta được phương trình hệ quả của phương trình đã cho. II. Phương trình bậc nhất một ẩn a. Định nghĩa: Phương trình dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a 0 gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. b. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn: . Từ một phương trình, dùng qui tắc chuyển vế hay qui tắc nhân, ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. . ax + b = 0 ax = - b x = - III. Cách giải phương trình ax + b = 0 - Nếu a = b = 0 thì phương trình nghịêm đúng với mọi x - Nếu a = 0; b 0 thì phương trình vô nghịêm. B. bài tập Chứng minh các phương trình sau vô nghiệm: 2x + 5 = 2 (x - 1) = 0 3x2 + 2 + 1 = 0 Hướng dẫn: Không có gía trị nào của x để gía trị của hai vế trong mỗi phương trình bằng nhau. Chứng minh các phương trình sau có vô số nghiệm 1. (x + 2)2 = x (x + 4) + 4 2. y2 - 2y = (y - 1)2 - 1 Hướng dẫn: Hai vế có gía trị bằng nhau tại mọi gía trị của biến. Lập phương trình có nghiệm là a) 3; b) -5; c) 1/2; d) -1 và 3 Hướng dẫn: x - 3 = 0 x + 5 = 0 2x - 1 = 0 (x + 1) (x - 3) = 0 Các cặp phương trình sau có tương đương không? x = 2 và x2 = 4 3x2 + 4 = 0 và = -3 x2 + x + = 0 và 6x + 3 = 0 x + 3 = 0 và (x + 3) (x2 + 2) = 0 Hướng dẫn: a) Không; b) Có; c) Có; d) Có (Dựa vào định nghĩa hai phương trình tương đương) Phương trình sau là phương trình bậc nhất một ẩn A. 1 - 2y = 0 B. x2 + x = 0 C. 3x = 0 D. 0x + 0,5 = 0 E. 2x + 5y = 0 F. mx + 4 = 0 Câu nào đúng? Chỉ có câu A là đúng. Không có đáp án nào đúng. A và C đúng. Hướng dẫn: Câu 3 đúng Giải phương trình: {[(x - 3) - 3] - 3} - 3 = 0(1) Hướng dẫn: (1) x = 90 *Giải phương trình: a2 x + b = a (x + b) (1) Hướng dẫn: (1) a (a - 1) x = (a - 1) b Nếu a = b = 0 hoặc a = 1 thì phương trình (1) nghịêm đúng với mọi x Nếu a = b 0 thì phương trình (1) vô nghịêm Nếu a 0; a 1 thì phương trình (1) có một nghiệm x = Tìm m để phương trình: 5 (m + 3) (x + 1) - 4 (1 + 2x) = 80 (1) có nghiệm x = 2 Hướng dẫn: Thay x = 2 vào phương trình ta tìm được m = 2/3 *Tìm m, n để phương trình: a) 5 (x - 2m) = 12 (1 + mx) (1) b) - = 1 - (2) có nghiệm duy nhất. Hướng dẫn: a) (1) (5 - 2m) x = 12 + 10m nên (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 5 - 13m 0 m 5/12 b) m 0; n 0; m n Tìm a để hai phương trình sau tương đương: a) (x + a) (a + 1) + (x - a) (a - 1) = 12 (1) và = (2) b) + 1 = a và - = 2 Hướng dẫn: a) (2) x = 1 nên để hai phương trình tương đương thì phương trình (1) phảicó nghiệm duy nhất là x = 1 Để x = 1 là nghiệm của phương trình (1) thì a = 3. Khi a = 3 thì (1)(3 + x) (3 + 1) + (x - 3) (3 - 1) = 12 phương trình này có nghiệm duy nhất. Vậy, hai phương trình tương đương khi và chỉ khi a = 3 b) Đáp số: a = 4,5 Giải phương trình: + = + (1) Hướng dẫn: (1) ( + 1) + (+ 1) = (+ 1) + (+ 1) (x + 2010) (+ - - ) = 0 x = - 2010 Giải phương trình: + + + + 4 = 0(1) Hướng dẫn: (1) (+ 1) + (+ 1) + (+ 1) + (+ 1) = 0 (416 - x) (+ + + ) = 0 x = 416 Giải phương trình: - = - (1) Hướng dẫn: (1) (+ 1) + ( + 1) - (+ 1) - (+ 1) = 0 (x + 110) (+ - - ) = 0 x = -110 Giải phương trình: + = + (1) Hướng dẫn: (1) (- 1) + (+ 1) - (- 1) - (+ 1) = 0 (x - 28) (+ - -) = 0 x = 28 Giải phương trình: - = - (1) Hướng dẫn: (1) (- 1) - (- 1) - (- 1) + (-1) (x - 14) (- - + ) = 0 x = 14 Giải phương trình: + = + (1) Hướng dẫn: (1) (+ 1) + (- 1) - (+ 1) - (- 1) + - - = 0 (x + 15) (+- - ) = 0 x = -15 *Giải phương trình: + + = 18 (1) Hướng dẫn: (1) (- 7) + (- 6) + (- 5) (x - 107) (+ + ) = 0 x = 107 * Giải phương trình: + + + = 10 (1) Hướng dẫn: (1) (- 1) + (- 2) + (- 3) + (- 4) (x - 258) (+ + + ) = 0 x = 258 * Giải phương trình: + + ++= 0 (1) Hướng dẫn: (1) (+ 1) + (+1) + (+1) + (+ 1) + (- 4) = 0 (x + 329) (++ + + ) = 0 x = -329 Giải phương trình: + + = 3 (1) (a; b; c 0) Hướng dẫn: Với a; b; c khác 0 ta có (1) ( - 1) + (- 1) + (- 1) = 0 (x - a - b - c) ( + + ) = 0 Nếu + + = 0 ( hay ab + ac + bc = 0) thì phương trình (1) nghịêm đúng với mọi x Nếu + + 0 ( hay ab + ac + bc 0) thì phương trình (1) có một nghiệm x = a + b + c * Giải phương trình: + + = 2 (+ + )(1) (Với a; b; c 0) Hướng dẫn: (1) (-- ) + (--) + (--) = 0 (x - a - b - c) (+ + ) = 0 Nếu + + = 0 (hay a + b + c = 0) thì phương trình (1) nghịêm đúng với mọi x Nếu + + 0 (hay a + b + c 0) thì phương trình (1) có một nghiệm là x = a + b + c *Giải phương trình: + + + = 1 (1) Với abc 0; a + b + c 0 Hướng dẫn: (1) (+ 1) + (+1) + (+ 1) - 4 (1 - ) (a + b + c - x) (+ + - ) = 0 Nếu + + = thì phương trình (1) nghịêm đúng với mọi x Nếu + + = thì phương trình (1) có một nghiệm là x = a + b + c * Giải phương trình: + + = a + b + c (1) Hướng dẫn: Với điều kiện a; b; c đôi một không đối nhau ta có: (1) (- c) + (- b) + (- a) = 0 (x - ab - ac - bc) ( + + ) = 0 Nếu + + = 0 thì phương trình (1) nghịêm đúng với mọi x Nếu + + 0 thì phương trình (1) có một nghiệm x = ab + ac + bc * Giải phương trình: + + = 6 - (1) Hướng dẫn: (1) (- 1) + (- 1) + (- 1) = 3 - (a + b + c - 3x) (+ + - ) = 0 Nếu + + = thì phương trình (1) nghịêm đúng với mọi x Nếu + + thì phương trình (1) có nghịêm x = Giải và biện luận phương trình: + = 1 (1) Hướng dẫn: ĐK: a; b; c đôi một khác nhau (1) (x - c) [+ ] = 1 (x - c) = 1 (x - c) [(a2 - b2) - x (a - b) - c (a - b)] = (a - b) (b - c) (c - a) (x - c) (a + b - x - c) = (b - c) (a - c) (x - a) (x - b) = 0 S = {a; b} Phương trình bậc cao A. Kiến thức cần nhớ: Các cách giải phương trình bậc cao: - Cách 1: Đưa về phương trình tích rồi giải: A(x) B(x) = 0 A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 - Cách 2: Đặt ẩn phụ. - Cách 3: Nhận xét gía trị hai vế. B. BàI TậP Giải phương trình: x (3x - 7) = (1) Hướng dẫn: (1) x (3x - 7) - (3x - 7) = 0 (x - 1) (3x - 7) = 0 S = {1; } Giải phương trình: x2 - x - 6 = 0 (1) Hướng dẫn: (1) (x - 3) (x + 2) = 0 S = {3; -2} Giải phương trình: 20x2 - 9x + 1 = 0 (1) Hướng dẫn: (1) 20x2 - 5x - 4x + 1 = 0 5x(4x - 1) - (4x - 1) = 0 (4x - 1) (5x - 1) = 0 S = {; } Giải phương trình: 15x2 +2x - 1 = 0 (1) Hướng dẫn: (1) 15x2 + 5x - 3x - 1 = 0 5x(3x + 1) - (3x + 1) = 0 (5x - 1) (3x + 1) = 0 S = {; - } Giải phương trình: x2 +x + 1 = 0 (1) Hướng dẫn: (1) (x + 0,5)2 + 0,75 = 0 Phương trình vô nghiệm. Giải phương trình: 24x -9x2- 18= 0 (1) Hướng dẫn: (1) 9x2 - 24x + 18 = 0 (3x - 4)2 + 2 = 0 S = Giải phương trình: (x - 3) (x - 5) + 4 = 0 Hướng dẫn: (1) x2 - 8x + 19 = 0 (x - 4)2 + 3 = 0 Phương trình vô nghiệm. Giải phương trình: x (x - 6) + 10= 0 Hướng dẫn: (1) x2 - 6x + 9 + 1 = 0 (x - 3)2 + 1= 0 Phương trình vô nghiệm. *Giải phương trình: 6ax2 + 4ax - 9x - 6 = 0 (1) Hướng dẫn: (1) (2ax - 3) (3x + 2) = 0 Nếu a = 0 thì S = {- } Nếu a 0 thì S = {- ; } Giải phương trình: (x2 + x)2 = 12 - 4(x2 + x) (1) Hướng dẫn: Đặt x2 + x = y ta được y2 + 4y - 12 = 0 y = - 6 hoặc y = 2 x2 + x + 6 = 0 hoặc x2 + x - 2 = 0 Giải phương trình: (x2 - 4x)2 + 2(x - 2)2 = 43 (1) Hướng dẫn: Đặt x2 - 4x = y ta được y2 + 2y - 35 = 0 y = - 7 hoặc y = 5 x2 - 4x + 7 = 0 hoặc x2 - 4x - 5 = 0 S = {- 1; 5} *Giải phương trình: (x2 - 1)2 = 4x + 1 (1) Hướng dẫn: (1) (x2 - 1)2 + 4x2= 4x2 + 4x + 1 (x2 + 1)2 - (2x + 1)2 = 0 (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x) = 0 x (x - 2) = 0 S = {0; 2} *Giải phương trình: (x2 - 4)2= 8x + 1 (1) Hướng dẫn: (1) (x2 - 4)2 + 16x2 = 16x2 + 8x + 1 S = {1; 3} *Giải phương trình: (y2 - 1993)2 - 7972y - 1 = 0 (1) Hướng dẫn: (1) *Giải phương trình: x4 = 24x + 32 (1) Hướng dẫn: Thêm 4x2 vào hai vế ta được (x2 + 2)2 = (2x + 6)2 Phương trình vô nghiệm. *Giải phương trình: (x2 - y)2 = 4xy + 1 (1) Hướng dẫn: (1) (x2 - y)2 + 4x2y2 = 4xy + 1+ 4x2y2 (x2 + y2)2 - (2xy + 1)2 = 0 Giải phương trình: (2x2 + 3x - 1)2 - 5 (2x2 + 3x + 3) + 24 = 0 (1) Hướng dẫn: (1) y2 - 5y + 4 = 0 (Với y = 2x2 + 3x - 1) y = 1 hoặc y = 4 2x2 + 3x - 2 = 0 hoặc 2x2 + 3x - 5 = 0 S = {0,5; 4; 1; - 2,5} Giải phương trình: (x2 - 6x + 9)2 - 15 (x2 - 6x + 10) = 1 Hướng dẫn: Đặt x2 - 6x + 9 = y ( y 0) S = {- 1; 7} Giải phương trình: (x2 - 4x)2 + 2(x - 2)2 = 43 Hướng dẫn: Đặt x2 - 4x + 4 = y (y 0) S = {-1; 5} Giải phương trình: x3 + 5x2 + 3x - 9 = 0 (1) Hướng dẫn: (1) x3 - x2 + 6x2 - 6x + 9x - 9 = 0 x2(x - 1) + 6x(x - 1) + 9(x - 1) = 0 (x - 1) (x + 3)2 = 0 S = {1; -3} Giải phương trình: 2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0 (1) Hướng dẫn: (1) (x + 1) (2x + 1) (x + 2) = 0 S = {-1; -2; - 0,5} Giải phương trình: x3 - 5x2 + 8x - 4 = 0 (1) Hướng dẫn: (1) (x - 1) (x - 2)2 = 0 S = {1; 2} Giải phương trình: x3 -2x2 - x + 2= 0 (1) Hướng dẫn: (x - 1) (x + 1) (x - 2) = 0 S = { 1; 2} Giải phương trình: x3 + x2 + x + 1 = 0 (1) Hướng dẫn: Cách 1: (1) (x + 1) (x2 + 1) = 0 x = -1 Cách 2: Do 1 S nên (1) (x - 1) (x3 + x2 + x + 1) = 0 x4 - 1 = 0 x = 1 Mà 1 S nên S = {1} * Giải phương trình: 2x3 - 5x2 + 8x - 3 = 0 (1) Hướng dẫn: (1) (2x - 1) (x2 - 2x + 3) = 0 S = {0,5} * Giải phương trình: 4x3 + 28x2 - 9x - 63 = 0 (1) Hướng dẫn: (1) (x + 7(2x + 3) (2x - 3) = 0 S = {- 7; - 1,5; 1,5} *Giải phương trình: 8x3 = (4x + 1)3 - (2x + 1)3 (1) Hướng dẫn: áp dụng các hằng đẳng thức (a - b)3 - (a3 - b3) = 3ab (a - b) (a +b)3 - (a3 +b3) = 3ab (a + b) ta có (1) 3 (4x + 1)(2x + 1) (-2x) = 0 S = {0; - 0,5; - 0,25 Giải phương trình: (x + 1)3 + (x - 2)3 = (2x - 1)3 (1) Hướng dẫn: Cách 1: ápdụng hằng đẳng thức (a +b)3 - (a3 +b3) = 3ab (a + b) với a = x + 1; b = x - 2 Cách 2: Sử dụng tính chất: Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc S = {- 1; 2; 1/2} Giải phương trình: 125x3 - (2x + 1)3 - (3x - 1)3 = 0 (1) Hướng dẫn: S = {0; ; - } *Giải phương trình: [3 (x + 1) - 2 (x + 3)]3 + [2 (x + 3) - x + 5)]3 + [x - 5 - 3 (x + 1)]3 = 0 (1) Hướng dẫn: Sử dụng tính chất: Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc S = {- 11; - 4; 3} *Giải phương trình: (x - 3)3 + (x + 1)3 = 8 (x - 1)3 (1) Hướng dẫn: Cách 1: Sử dụng công thức: (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3 = 3 (a - b) (b - c) (c - a) ta được phương trình: 3 (x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0 Cách 2: Sử dụng công thức: (a + b)3 - a3 - b3 = 3ba (a + b) với a = x - 3; b = x + 1 S = {- 1; 1; 3} * Giải phương trình: (x2 + 3x - 4)3 + (2x2 - 5x + 3)3 = (3x2 - 2x - 1)3 (1) Hướng dẫn: Ta có: a3 + b3 = (a + b)3 3ba (a + b) = 0 nên (1) có S = {1; - 4; ; - * Giải phương trình: 9ax3 - 18x2 - 4ax + 8 = 0 (1) Hướng dẫn: Nếu a = 0 thì S = { 2/3} Nếu a 0 thì S = { 2/3; 2/a} Giải phương trình: x3 - (m2 - m + 7)x - 3 (m2 - m - 2) = 0 (1) biết 1 là một nghiệm của (1) Hướng dẫn: Thay x = 1 vào (1) ta có m2 - m = 0 (1) x3 - 7x + 6 = 0 x = 1; 2; - 3 *Giải phương trình: x4 - (2m + 1)x3 + (m2 + m - 1)x2 + (2m + 1)x - m(m + 1)= 0 (1) Hướng dẫn: (1) (x - 1) (x + 1) [x2 + (2m + 1)x + m(m + 1)] = 0 S = {1; -1; m; m + 1} *Giải phương trình: x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x - abc = 0 (1) Hướng dẫn: Ta thấy a là một nghiệm của phương trình, mà vai trò của a; b; c là như nhau và phương trình (1) là phương trình bậc 3 nên S = {a; b; c} *Giải phương trình: (x2 + x + 1)2 = 3 (x4 + x2 + 1) (1) Hướng dẫn: (1) (x2 + x + 1)2 - 3 (x2 + x + 1) (x2 - x + 1) = 0 (x2 + x + 1) (x - 1)2 = 0 S = {1} *Giải phương trình: x5 = x4 + x3 + x2 + x + 2 (1) Hướng dẫn: Cách 1: (1) (x5 - 1) - (x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 (x - 2) (x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 Mà 2(x4 + x3 + x2 + x + 1) = (x2+ x)2 + (x + 1)2 + x4 + 1 > 0 với mọi x hoặc x4 + x3 + x2 + x + 1 = (x2 + )2 + + (+ 1)2 > 0 hoặc x4 + x3 + x2 + x + 1 = (x + 1)2 (x2- x + 1) + x2 > 0 với mọi x hoặc x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 (Loại) Vậy, S = {2} Giải phương trình: x4 - 7x2 + 12 = 0 (1) Hướng dẫn: Đặt x2 = y ta có (1) y2 - 7y + 12 = 0 y = 3 hoặc y = 4 S = { 2; } Giải phương trình: x4 - 10x2 + 17 = 0 (1) Hướng dẫn: Cách 1: Đặt x2 = y ta có (1) vô nghiệm Cách 2: (1) (x2 - 1)2 + (x2 - 4) = 0 Giải phương trình: x4 - 11x2+ 30 = 0 (1) Hướng dẫn: Cách 1: Đặt x2 = y *Giải phương trình: x4 + 2x3 + 4x2 + 2x + 1 = 0 (1) Hướng dẫn: Cách 1: (1) (x2 + 1) (x + 1)2 + 2x2 = 0 Cách 2: (1) (x2 + x)2 + (x + 1)2 + 2x2 = 0 Phương trình vô nghiệm. * Giải phương trình: 9x2 + 29y2 + 30xy + 2 = 6 (x + 5y - 4) (1) Hướng dẫn: (1) (3x + 5y - 1)2 + (2y - 5)2 = 0 S = {(; - )} * Giải phương trình: 5x2 + 10y2 - 6xy - 4x - 2y + 3 = 0 (1) Hướng dẫn: (1) (x - 3y)2 + (2x - 1)2 + (y - 1)2 + 1 = 0 Phương trình vô nghiệm. * Giải phương trình: 4x2 + 9y2 +16xy +14x -76y + 59= 0 (1) Hướng dẫn: * Giải phương trình: x2 + 26y2 - 10xy + 14x - 76y + 59 = 0 (1) Hướng dẫn: (1) (x - 5y + 7)2 + (y - 3)2 + 1 = 0 Phương trình vô nghiệm. * Giải phương trình:4x2 + 9y2 + 16z2- 6y + 3 - 4x - 8z = 0 (1) Hướng dẫn: (1) (x - 5y + 7)2 + (y - 3)2 + (4z - 1)2 = 0 (x; y; z) = (; ; ) Hướng dẫn: (1) (x - 5y + 7)2 + (y - 3)2 + 1 = 0 Phương trình vô nghiệm. *Giải phương trình: x2 + y2 + z2 + t2 - xy - yz - zt + = 0 (1) Hướng dẫn: (1) (x - )2 + (y - z)2 + (z - t)2 + (t - )2 = 0 S = {(0,2; 0,4; 0,6; 0,8)} * Giải phương trình: x2 + 4y2 + z2 - 2x - 6z + 8y + 15 = 0 (1) Hướng dẫn: (1) (x - 1)2 + 4 (y + 1)2 + (z - 3)2 + 1 = 0 Phương trình vô nghiệm. x2 + + y2 + = 4 *Giải phương trình: x2 + + y2 + = 4 (1) Hướng dẫn: (1) (x - )2 + (y - )2 = 0 S = {( 1; 1)} *Giải phương trình: x2 + y2 = xy(1) Hướng dẫn: (1) 2 (x2 + y2) - 2xy = 0 (x - y)2 + x2 + y2 = 0 x = y = 0 Giải phương trình: (x2 + 2x + 4) (y2 - 2y + 3) = 2 + 4z - z2 (1) Hướng dẫn: VT = [(x + 1)2 + 3] [(y - 1)2 + 2] 6 với mọi x; y VP= 6 - (z - 2)2 6 với mọi z Nghiệm của phương trình là trường hợp xảy ra dấu bằng của hai BĐT trên (x; y; z) = ( - 1; 1; 2) Giải phương trình: (x2 + x)2 + 4x2 + 4x = 12 (1) Hướng dẫn: Đặt x2 + x = y ta có (1) y2 + 4y - 12 = 0 y = - 6 hoặc y = 2 (1) x = 1; - 2 *Giải phương trình: (x2 + 1)2 + 3x (x2 + 1) + 2x2 = 0 (1) Hướng dẫn: Đặt x2 + 1 = y ta có (1) y2 + 3xy + 2x2 = 0 (x + y) (2x + y) = 0 S = {1} *Giải phương trình: (x2 - x + 1)4 - 10x2(x2 - x + 1)2 + 9x4 = 0 (1) Hướng dẫn: Đặt(x2 - x + 1)2 = y(y 0) ta có y2 - 10x2y2 + 9x4 =0 (y - x2) (y - 9x)2 = 0 y = x2 hoặc y = 9x2 S = { 1} Giải phương trình: x (x - 1) (x + 1) (x + 2) = 24 (1) Hướng dẫn: (1) (x2 + x) (x2 + x - 2) = 24 (y - 1) (y + 1) = 24 (Vơí y = x2 + x - 1) y = 5 S = {2; - 3} Giải phương trình: (x + 2) (x - 2) (x2 - 10) = 72 (1) Hướng dẫn: (1) (x2 - 4) (x2 - 10) = 72 Đặt x2 - 7 = y ta có (1) y = 9 Đáp số: x = 4 Giải phương trình: (x - 1) (x - 3) (x + 5) (x + 7) = 0 (1) Hướng dẫn: (1) (x2 + 4x - 21) (x2 + 4x - 5) = 297 Đặt x2 - 4x - 13 = y S = {-8; 4} * Giải phương trình: (6x + 7)2 (3x + 4) (x + 1) = 6 (1) Hướng dẫn: (1) 12. (6x + 7)2 (3x + 4) (x + 1) = 6.12 Đặt 6x + 7 = y ta được y = 3 S = {- 2/3; - 5/3} * Giải phương trình: (2x + 1) (x + 1)2 (2x + 3) = 18 (1) Hướng dẫn: (1) (2x + 1) (2x + 2)2 (2x + 3) = 72 Đặt 2x + 2 = y S = {- ; } * Giải phương trình: (x2 - 1) (x2 + 4x + 3) = 192 (1) Hướng dẫn: (1) (x - 1) (x + 1) (x + 1) (x + 3) = 192 Đặt x + 1 = y ta được y2 (y2 - 4) = 192 S = {- 5; 3} *Giải phương trình: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272 (1) Hướng dẫn: Đặt x + 5 = y ta có (1) y = 1 S = {- 4; - 6} *Giải phương trình: (x + 3)4+ (x + 5)4= 2 (1) Hướng dẫn: Đặt x + 4= y ta có (1) y = 0 S = {- 4} *Giải phương trình: x 4 + (x -1)4 = 97 (1) Hướng dẫn: Đặt x - = y ta được (y + )4 + (y - )4 = 97 16y4 + 24y2 - 775 = 0 (4y2 + 3)2 = 282 y = 2,5 S = {- 2; 3} *Giải phương trình: (x + 1)4+ (x -3)4 = 82 (1) Hướng dẫn: Đặt x -1= y ta có S = {0; 2} *Giải phương trình: (x - 7)4 + (x - 8)4 = (15 - 2x)4 (1) Hướng dẫn: Đặt x - 7 = a; x - 8 = b (1) a4 + b4 - (a + b)4 = 0 4ab (a2 + 1,5ab + b2) = 0 S = {7; 8} *Giải phương trình: (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 (1) Hướng dẫn: Đặt x + 4 = y (1) (y - 2)2 + (y - 1)3 + y4 = 2 (y2 - 1) (y2 + y - 1) = 0 y = 1 S = {- 3; - 5} Giải phương trình: x4 + 3x3 + 4x2 + 3x + 1 = 0 (1) Hướng dẫn: (1) (x2 + ) + 3 (x + ) + 4 = 0 (Do 0 S) Đặt x + = y được y2 + 3y + 4 = 0 y = - 1 hoặc y = - 2 S = {- 1} Giải phương trình: x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + 1 = 0 (1) Hướng dẫn: (1) (x2 + ) - 3 (x + ) + 4 = 0 (Do 0 S) Đặt x + = y được y2 - 3y + 2 = 0 y = 1 hoặc y = 2 S = { 1} Giải phương trình: x5 - x4 + 3x3 + 3x2 - x + 1 = 0 (1) Hướng dẫn: (1) (x + 1) (x4 - 2x3 + 5x2 - 2x + 1) = 0 S = {-1} * Giải phương trình: 6x5 - 29 x4 + 27x3 + 27x2 - 29x + 6 = 0 (1) Hướng dẫn: (1) (x + 1) (6x4 - 35x3 + 62x2 - 35x + 6) = 0 S = {-1; 2; ; 3; } * Giải phương trình: 6x4 + 7x3 - 36 x2 - 7x + 6 = 0 (1) Hướng dẫn: Chia hai vế cho x2 0, đặt x - = y S = {- 3; - ; ; 2} *Giải phương trình: x4 - 5 x3 + 10 x2 - 10 x + 4 = 0 (1) Hướng dẫn: Cách 1: Chia hai vế cho x2 0. Đặt x + = y (1) y2 - 5y + 6 = 0 y = 2 hoặc y = 3 S = {1; 2} Cách 2: Nhân hai vế với x được (x - 1)5 - (x - 1) = 0 (x - 1) [(x - 1)2 - 1] [(x - 1)2 + 1] = 0 *Giải phương trình: 9x4 -15 x3 +28 x2 - 20 x + 16= 0 (1) Hướng dẫn: Cách 1: Chia hai vế cho x2 0. Đặt3x + = y (1) y2 - 5y + 4 = 0 y = 1 hoặc y = 4 S = * Giải phương trình: 8x6 - 16x5 + 2x4 + 12 x3 + 3x2 - 36x + 27 = 0 (1) Hướng dẫn: Chia hai vế cho x3 0. Đặt 2x + = y thì (1) y3 - 4y2 - 17y + 60 = 0 y = 3; - 4; 5 S = {1; 1,5} *Giải phương trình: x3 + 3ax2 + 3 (a2 - bc)x + a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 (1) Hướng dẫn: (1) (a + x)3 - 3bc (a + x) + b3 + c3 = 0 Đặt a + x = y được y3 + b3 + c3 - 3bcy = 0 phương trình chứa ẩn ở mẫu A. Kiến thức cần nhớ: 1. Chú ý khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu: ĐKXĐ 2. ĐKXĐ của phương trình là gía trị của ẩn để tất cả các mẫu trong phương trình đêu khác 0. 3. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu: Bứơc 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình. Bước 2: Qui đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: Kết luận: Trong các gía trị của ẩn tìm được ở bước 3, các gía trị thoả mãn ĐKXĐ chính là các nghiệm của phương trình đã cho. B. bài tập Giải phương trình: + = (1) Hướng dẫn: ĐKXĐ: x 1/5; x 3/5 Qui đồng, khử mẫu ta được 3 (3 - 5x) + 2 (5x - 1) = 4 x = 3/5 (Không thoả mãn ĐKXĐ) S = Giải phương trình: + = (1) Hướng dẫn: ĐKXĐ: x 1; x 2; x 3 (1) - = 0 (x + 4) (- ) = 0 x = 4 (Thoả mãn ĐKXĐ) (Do - 0 với x tm ĐKXĐ) S = {- 4} Giải phương trình: (x - 1) : (+ ) = 0 (1) Hướng dẫn: ĐKXĐ: x 2; x 3; x 2,5 Qui đồng, khử mẫu ta được = 0 x = 1 (Thoả mãn ĐKXĐ) x = 2; 3 (Không thoả mãn ĐKXĐ) S = {1} Giải phương trình: + + = (1) Hướng dẫn: ĐKXĐ: x 1; x 2; x 3; x - 6 Qui đồng, khử mẫu ta được (1) + = - = x = 2,4 hoặc x = 1,2 (Thoả mãn ĐKXĐ) S = {2,4; 1,2} * Giải phương trình: + + + = + + + (1) Hướng dẫn: ĐKXĐ: x {0; - 1; - 2; - 3; - 4; - 5; - 6} Qui đồng, khử mẫu ta được + = + x = - 3,5 (Thoả mãn ĐKXĐ) S = {- 3,5} Giải phương trình: + + + … + = 3 (1) Hướng dẫn: ĐKXĐ: x 0 (1) [(x - 1) + (x - 2) + … + 1] = 3 0,5 (x - 1) = 3 x = 7 (Thoả mãn ĐKXĐ) S = {7} Giải phương trình: + = + (1) Hướng dẫn: ĐKXĐ: x - 1; x - 2; x - 3; x - 4 (1) x + 1 + + x + 4 + = x + 2 + + x + 3 + + = + Qui đồng, khử mẫu ta được 2x (2x - 5) = 0 (Thoả mãn ĐKXĐ) S = {0; - 2,5} * Giải phương trình: + = + (1) Hướng dẫn: ĐKXĐ: x R MTC: x4 + 4 = (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2) (1) 2 + = 2 + Qui đồng, khử mẫu ta được x4 = x = 0,5 (Thoả mãn ĐKXĐ) S = { 0,5} Giải phương trình: - = + (1) Hướng dẫn: ĐKXĐ: x R (1) 3 + - = + (1 - ) + (1 - ) + (1 - ) + = 0 (x2 - 2) (+ + + ) = 0 x = (Thoả mãn ĐKXĐ) S = { } * Giải phương trình: - = (1) Hướng dẫn: ĐKXĐ: x R MTC: x (x2 + x + 1) (x2 + - x + 1) = (x4 + x2 + 1) x x = 1,5 (Thoả mãn ĐKXĐ) S = {1,5} Giải phương trình: + + = (1) Hướng dẫn: ĐKXĐ: x - 1; x - 2; x - 3; x - 4; x - 5 (1) + + = - + - + - = - = Qui đồng, khử mẫu ta được (x + 2) (x + 5) = 40x2 + 7x - 30 = 0 (x - 3) (x + 10) = 0 x = 3 hoặc x = -10 (Thoả mãn ĐKXĐ) S = {3; - 1 * Giải phương trình: + = (1) Hướng dẫn: ĐKXĐ: x R (1) 1 - + 1 - = (- ) +(- ) = 0 (x2 + 2x) (+) = 0 Qui đồng, khử mẫu ta được x = 0 hoặc x = - 2 (Thoả mãn ĐKXĐ) S = {0; - 2} Cách 2: Đặt x2 + 2x + 2 = y (y > 0) Ta có (1) + = y = 2 * Giải phương trình: = (1) Hướng dẫn: Cách 1: Đặt 2006 - x = y ta có: = Qui đồng, khử mẫu ta được 4y2 - 4y - 15 = 0 y = - 2,5 hoặc y = 1,5 x = 2004,5 hoặc x = 2008,5 (Thoả mãn ĐKXĐ) S = {2004,5; 2008,5 } Cách 2: Đặt 2006 - x = a; x - 2007 = b Cách 3: (1) 1 + = * Giải và biện luận phương trình: = (1) Hướng dẫn: Đặt x2 + 7x + a = y ta có = x = y Khi đó x - y = 0 Không thoả mãn ĐKXĐ Vậy, phương trình (1) vô nghiệm với mọi a. Giải và biện luận phương trình: = (1) Hướng dẫn: ĐKXĐ: x ; x áp đụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: = ĐK: b - 3c; c - 3b; c 0 thì x = ab/c c = 0; a 0 thì phương trình (1) vô nghiệm. Nếu a = c = 0 thì S = R. * Giải và biện luận phương trình: + = 2 (1) Hướng dẫn: ĐKXĐ: x 3; x a Qui đồng, khử mẫu ta được 2 (a + 3) x = (a + 3)2 (2) Nếu a = - 3 thì (2) 0 x = 0 Phương trình (2) nghiệm đúng với mọi x Phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x 3 Nếu a - 3 thì (2) x = gía trị này là nghiệm của (1) khi và chỉ khi a 3 Vậy, nếu a = - 3 thì phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x 3 Nếu a = 3 thì phương trình (1) vô nghiệm. Nếu a 3 thì phương trình (1) có một nghiệm x = * Giải và biện luận phương trình: = - (1) Hướng dẫn: ĐKXĐ: x 4m; x m; x 4 Qui đồng, khử mẫu ta được (11m + 4) x = 4m (16 - m) (2) Nếu m = thì phương trình (2) vô nghiệm, từ đó phương trình (1) vô nghiệm. Nếu m thì (2) x = gía trị này là nghiệm của (1) khi và chỉ khi m {0; 1; 4} Vậy, nếu m {0; 1; 4; - } thì phương trình vô nghiệm. Nếu m {0; 1; 4; - } thì phương trình (1) có một nghiệm là x = * Giải và biện luận phương trình: - = (1) Hướng dẫn: ĐKXĐ: x - a; x -10 (1) = 0 Nếu a = 0 thì phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x (Trừ x = 0; x = - 10) Nếu a 0 thì phương trình (1) vô nghiệm. *Tìm m để phương trình = (1) có nghiệm duy nhất. Hướng dẫn: ĐKXĐ: x 1; x 1/m Qui đồng, khử mẫu ta được (m - 1) (m + 1) x =