Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 9 Trường THCS Phương Đình

Chủ đề 1. Các bài toán về biến đổi biểu thức số có chứa căn bậc hai. I. Lý thuyết. 1) Căn bậc hai: 2) Căn bậc hai số học: 1) Hằng đẳng thức: 2) Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương: 3) Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương: 4) Các phép biến đổi đơn giản căn bậc hai: 4.1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: 4.2. Đưa thừa số vào trong dấu căn. 4.3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn: 4.4. Trục căn thức ở mẫu: 5) Cộng trừ căn bậc hai đồng dạng: 6) Căn bậc 3: Phép toán: II. Các ví dụ: Ví dụ 1. Cho . Tính . Giải: Ta có: Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức Giải. Cách 1. Do đó: Cách 2. Dễ thấy M > 0 Ví dụ 3: Tính Giải: Ta sử dụng các hằng đẳng thức: Lập phương hai vế ta có: (Vì) II. Bài tập Luyện tập: Bài 1. Phân tích các biểu thức sau thành các luỹ thừa bậc hai: Bài 2. Tính biết: Bài 3. Thực hiện phép tính rút gọn: Bài 4. Tính: Bài 5. Rút gọn: Bài 6. Rút gọn biểu thức: Bài 7. Chứng minh các số sau đều là các số nguyên: Bài 8. Tính: Bài 9. Tính: Bài 10. Hãy lập phương trình f(x)=0 với hệ số nguyên có một nghiệm là Bài 11. Tính giá trị biểu thức: Bài 12. Cho Chứng tỏ rằng A chia hết cho B. Bài 13. Rút gọn biểu thức: Bài 14. Cho các biểu thức: a) Tính A. b) Chứng minh rằng B > 12. Bài 15. Chứng minh rằng: Bài 16. a) Chứng minh rằng: với k nguyên dương. b) áp dụng tính Tổng quát: Bài 17. Tính: Tổng quát: Bài 18. Xét biểu thức: a) Rút gọn P. b) Giá trị của P là số hữu tỉ hay vô tỉ? Vì sao? Bài 19. Cho các số sau: Chứng minh rằng A và B đều không phải là các số nguyên. Bài 20. a) Cho . Chứng minh rằng 3<A<4. b) Cho Chứng minh rằng 7<A+B<8. Bài 21. Cho . Tính Bài 22. So sánh : và số 0 Bài 23. Tính Bài 24. Rút gọn biểu thức: Bài 25. Tính Bài 26. Tính giá trị biểu thức Bài 27 Cho tổng So sánh S với (Đề thi hsg thành phố năm học 2002-2003) Bài 28. Tìm tổng: S = Hướng dẫn: Xét số hạng tổng quát của tổng: Chủ đề 2: Các bài toán về biến đổi biểu thức đại số Chứng minh đẳng thức. I. Rút gọn: Ví dụ1: Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức H. c) Tìm giá trị của x để H = 16 b) Tính giá trị của H khi Giải: a) ĐKXĐ: x > 1. b) Ta có c) ĐK x > 1 Vì nên (TMĐK) Vậy x =26 thì H = 16. Ví dụ 2. Cho biểu thức: a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P với c) Tìm giá trị lớn nhất của a để P > a Giải: ĐKXĐ: x>0; xạ1 c) Cách 1: Với x>0, xạ1, ta luôn có: Suy ra giá trị lớn nhất của a để P > a là a = 1. Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức Côsi: ; Dấu "=" xảy ra Û a=b) Vậy P ≥ 1 (dấu "=" xảy ra Û Nhưng x =1 không thoả mãn ĐKXĐ. Vậy P > 1. Suy ra giá trị lớn nhất của a để P > a là a = 1 Bài tập luyện tập: Bài 1. Rút gọn biểu thức: P = Bài 2. Cho a) Phân tích N thành nhân tử. b) Tính giá trị của N khi Bài 3. Cho x, y, z là các số thực không âm. Tính: Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau: Bài 5. Cho biểu thức: a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A khi Bài 6. Cho biểu thức: a) Rút gọn M. b) Tìm x sao cho M > 0 c) Tính giá trị của M nếu Bài 7. Cho biểu thức a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị a nguyên để giá trị tương ứng của P là số nguyên. Bài 8. Cho biểu thức: a) Rút gọn Q và chứng minh Q ≥ 0 "x, y ≥ 0 và x ạ y. b) So sánh Q và Bài 9. Xét biểu thức: với x > 0 và x ạ 1. a) Rút gọn Q. b) So sánh |Q| và Q. Bài 10. Cho biểu thức: a) Rút gọn R. b) Tính giá trị của R khi c) So sánh R với 2. Bài 11. Cho biểu thức: a) Rút gọn S. c) Tìm x để S < 0 b) Tìm x để S = 1 d) Tìm x nguyên để S có giá trị nguyên. Bài 12. Cho biểu thức: a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn biểu thức P. b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên. Bài 13. Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho giá trị tương ứng của biểu thức A nguyên. Bài 14. Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 0,36. c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức A là một số nguyên. Bài 15. Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi c)Tìm các giá trị nguyên của x sao cho giá trị tương ứng của biểu thức A nguyên. Bài 16. Cho biểu thức: a) Rút gọn P. b) Tìm x để Bài 17. Cho biểu thức: a) Rút gọn A. b) Tìm x để Bài 18. Cho biểu thức: a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P khi c) So sánh P với Bài 19. Cho biểu thức: a) Rút gọn P b) Chứng minh P > -3 "x thuộc tập xác định. c) Tìm giá trị lớn nhất của P. Bài 20. Cho biểu thức: a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Bài 21. Cho biểu thức: a) Rút gọn P. b) Tìm GTLN của P. Bài 22. Cho biểu thức: Rút gọn biểu thức Bài 23. Cho biểu thức: a) Rút gọn P. b) Tìm x để P > 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của . Bài 24. Cho a) Rút gọn P. b) Chứng minh rằng P > 0 "x để P có nghĩa. Bài 25. Cho a) Rút gọn M. b) Tìm a để . Bài 26. Cho a) Rút gọn A. b) Chứng minh rằng . Bài 27. Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A. b) Chứng minh rằng A > 1 với mọi x > 0 và x ạ 1 Bài 28. Cho a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Bài 29. Cho biểu thức: a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P với c) Tìm GTNN của P. Bài 30. Cho biểu thức: a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P với c) Tìm giá trị lớn nhất của P. Bài 31. Đơn giản biểu thức: Bài 32. Rút gọn biểu thức: Bài 33. Cho biểu thức Rút gọn rồi tính giá trị của P khi x = . Từ đó tính a sao cho sina = P. Bài 34. Cho a) Rút gọn A. b) Tìm điều kiện của x để . Bài 35. Cho các biểu thức: a) Rút gọn P. b) Với giá trị nào của x thì biểu thức Q - 4P đạt GTNN? II. Chứng minh đẳng thức - Tính giá trị biểu thức. Bài 1. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: Bài 2. Cho a) Phân tích N thành nhân tử. b) Tính giá trị của N khi Bài 3. Cho Tính G = chỉ rõ khi đó x bằng bao nhiêu? Bài 4. Chứng minh rằng nếu thì Bài 5. Cho a, b, c là ba số hữu tỉ thoả mãn điều kiện: ab + bc + ca =1. Chứng minh rằng: cũng là một số hữu tỉ. Bài 6. Cho các số x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 1. Tính giá trị biểu thức: Bài 7. Cho . Trong đó x, y > 0. Tính b theo a. Bài 8. Chứng minh rằng nếu thì Bài 9. Chứng minh rằng nếu thì Bài 10. Cho a, b > 0 chứng minh rằng: Bài 11. Tìm tất cả các số thực không âm a, b, c thoả mãn: Bài 12. Chứng minh rằng trong các số: có ít nhất 2 số dương ( với a, b, c, d là các số dương) Bài 13. a) Với x, y ạ 0. Chứng minh rằng: b) áp dụng tính giá trị biểu thức: Bài 14. Cho Biết xyz = 4. Tính Bài 15 . Cho . Tính giá trị biểu thức: Bài 16. Tính giá trị biểu thức: Bài 17. Chứng minh rằng số là một nghiệm của phương trình Bài 18. Cho a>0, b>0 và chứng minh rằng: Chủ đề 3. Phương trình vô tỉ. Loại I. Phương trình giải bằng phương pháp thông thường. Các ví dụ: Ví dụ 1. Giải các phương trình: Giải: a) ĐK: x-5 ≥ 0 Û x≥5. Vậy phương trình có 1 nghiệm: x=5. b) Cách 1: ĐK: (*) Xét x ≥ 1. Ta có: (Vì với x ≥ 1 thì ) (*) Xét x ≤ -2. Ta có Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = 1. Cách 2: Vì nên Thử lại thấy thoả mãn. Vậy PT có nghiệm duy nhất x =1. Ví dụ 2: Giải: a) ĐKXĐ: Vì hai vế đều dương, bình phương hai vế ta được phương trình tương đương. Ta có 2+x > 0 (vì -1≤x≤). Bình phương 2 vế PT ta được PT tương đương: Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: b) ĐKXĐ: Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 4. Ví dụ 3. Giải phương trình: Lời giải: Lập phương hai vế ta có pt: Vậy phương trình có 3 nghiệm: x = 0, x = , x = - Chú ý một số kiến thức bổ sung: * Với a ≥ 0 thì: * Khi bình phương 2 vế của phương trình (2 vế đều không âm) ta được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. Bài tập luyện tập: Bài 1. Giải các phương trình: Bài 2. Giải các phương trình: Bài 3. Giải các phương trình sau: Bài 4. Giải các phương trình sau: Bài 5. Giải các phương trình sau: Bài 6. Giải các phương trình sau: Bài 7. Giải các phương trình: Loại II. Phương trình đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: Lời giải: (Chú ý rằng biểu thức căn phức tạp là một hằng đẳng thức). ĐKXĐ: x ≥ 1. Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 50. Ví dụ 2. a) Chứng minh rằng: . Dấu "=" xảy ra khi nào? b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: c) Giải phương trình: Giải: a) Do hai vế của bất đẳng thức đều không âm nên ta có: Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi AB ≥ 0. Như vậy, chú ý rằng: Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (x+2)(3-x)≥0 Û -2≤x≤3 (Lập bảng xét dấu) Vậy min M = 5 Û -2≤x≤3 Ví dụ 3. Giải phương trình: ĐKXĐ: x ≥ 1 Đặt Ta có PT: * Xét: . Ta có PT: (loại), vì ) * Xét . Ta có PT: Nghiệm đúng "t. Vậy trong trường hợp này nghiệm của PT là: * Xét . Ta có PT: Vậy PT có nghiệm: Chú ý: Có thể dựa vào bất đẳng thức (Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi AB≥0) để giải pt: như sau: Ta có: Vậy Bài tập luyện tập: Bài 1. Giải các phương trình: Bài 2. Giải các phương trình: Loại III. Phương trình giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: Lời giải: ĐKXĐ: (lập bảng xét dấu) Đặt . Ta có PT: . Với ta có PT: Vậy PT có 2 nghiệm: và . Ví dụ 2: Giải phương trình: Lời giải: ĐKXĐ: . Đặt , thế thì ĐKXĐ : . Ta có . Phương trình là: Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: và Ví dụ 3. Giải phương trình: Lời giải: ĐKXĐ: Cách 1: Đặt . Ta có phương trình: . ĐK 5-t≥0 Û t ≤5. Bình phương 2 vế ta có pt: (Vì Vậy pt có nghiệm duy nhất x =18. Cách 2: Đặt . Ta có phương trình: (Vì) Cách 3: Đặt . Khi đó ta có: Từ (1) suy ra: b=5-a, thay vào (2) ta được phương trình: (Vì ) Bài tập luyện tập Bài 1. Giải phương trình: Bài 2. Giải phương trình: Bài 3. Giải các phương trình: Bài 4. Giải phương trình: Bài 5. Giải phương trình: Bài 6. Giải phương trình: a) (Đặt , t³0) b) (Đặt , t³0) Bài 7. Giải các phương trình: Bài 8(*). Giải phương trình: a) b) Bài 8(*). Giải phương trình: a) b) Hướng dẫn: a) Đặt; b) Đặt Loại IV: Phương trình đưa về dạng A2 + B2 + C2 = 0. Kiến thức: Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: Lời giải: ĐK: x ≥0; y≥1. Vậy pt có nghiệm: x=4, y=10. Ví dụ 2. Giải phương trình: Lời giải: ĐKXĐ: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. Bài tập luyện tập: Bài 1. Giải các phương trình: Bài 2. Giải các phương trình: Bài 3. Giải phương trình: a) b) Bài 4(*). Giải phương trình: Hướng dẫn: Biến đổi phương trình về dạng: Loại V. Dùng biểu thức liên hợp để giải phương trình: Ví dụ 1. Giải phương trình: Lời giải: ĐKXĐ: x ≥ 0. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 1. Ví dụ 2. (1) Lời giải: ĐK: (*) Ta có: Cộng (1) và (2) vế với vế ta được: Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = 1 và x = - Ví dụ 3. Giải phương trình: Nhận xét: Ta thấy (2x-3) - x = x-3, trong khi đó 2x - 6 = 2(x - 3). Vậy ta nhân vế trái với liên hợp của là Lời giải: ĐKXĐ:. Do đó PT (1) vô nghiệm. Vậy PT đã cho có một nghiệm duy nhất x = 3. Bài tập luyện tập: Bài 1. Giải các phương trình: Bài 2. Giải các phương trình sau: Bai 3: Giải phương trình: Bài 3. Giải phương trình: Loại VI. Giải phương trình bằng phương pháp đánh giá. (Chú ý về bất đẳng thức Côsi: Với a, b ≥ 0 ta có: , dấu "=" xảy ra Û a = b) Các ví dụ: Ví dụ 1. Giải phương trình: Lời giải: Do đó: Vậy nghiệm của phương trình là: x = 1, y = 3. Ví dụ 2. Giải phương trình: Lời giải: Suy ra: . Do đó (không có giá trị nào của x thoả mãn). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 3. Giải phương trình: Lời giải: ĐK: 2 ≤ x ≤ 4. Mặt khác: Do đó: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. Lưu ý: Có thể tìm giá trị lớn nhất của như sau: Bài tập luyện tập: Bài 1. Giải các phương trình: Bài 2. Giải các phương trình sau: Bài 3. Giải phương trình: (Đề thi hsg thành phố năm học 2011-2012) (Chuyển vế và nhân liên hợp rồi đánh giá)Một số phương trình khác: Ví dụ 1. Giải phương trình: Lời giải: Khai căn bậc ba hai vế ta có: Vậy nghiệm của phương trình là . Ví dụ 2. Giải phương trình: Lời giải: Vậy phương trình có nghiệm: . Ví dụ 3. Giải phương trình: Lời giải: ĐK: x≥- 5. *) Với ta có pt: * Với ta có pt: Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: Ví dụ 4. Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn phương trình: (Đề thi hs giỏi huyện Đan Phượng năm học 2004-2005) Lời giải: Như vậy với x, y nguyên thì phải đồng dạng với . Đặt . Ta có phương trình: . Giải phương trình nghiệm nguyên (*): Cách 1. Vì a, b ẻ Z; a, b ≥ 0. Từ (*) ị b < 2 ị b ẻ {0; 1} Với b = 0 ị a = ẽ Z (loại). Với b = 1 ị a = 3 ị Vậy cặp số (x, y) thoả mãn phương trình là: (45; 5) Cách 2. Đặt Đặt . Từ đó: Vì Do đó: a = 3; b = 1 ị Vậy cặp số nguyên (x, y) thoả mãn phương trình là: (45; 5). Ví dụ 4. Giải phương trình: (*) Lời giải: - Dễ thấy x = 0 là một nghiệm của phương trình. - Xét x > 0: ĐKXĐ: x ≥ 3. Phương trình (*) tương đương với: Với x ≥ 3 phương trình vô nghiệm, vì vế trái luôn dương. - Xét x < 0: ĐKXĐ: x ≤ -2. Phương trình (*) tương đương với: Vì -6 ≤ x ≤ -2 nên . Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: . Bài tập tự luyện: Bài 1. Giải các phương trình sau: Bài 2. Giải các phương trình sau: (Bài 5. Đề thi vào lớp 10 chọn THPT Đan Phượng năm 2007-2008) (Bài 4. Đề thi vào lớp 10 chọn THPT Đan Phượng năm 2006-2007) Bài 3. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: Bài 4. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x, y) sao cho x < y và Bài 5. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho x > y > 0 thoả mãn: Bài 6. Giải các bất phương trình sau: Bài 7 (*). Giải bất phương trình: Bài 8. Không biến đổi phương trình, chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm: Bài 9. Giải các phương trình sau: Chủ đề 4. Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất - nhỏ nhất I. Kiến thức cơ bản: 1. Các tính chất cơ bản của Bất đẳng thức: Với a, b, c ẻ R thì: +) a > b Û a + c > b + c +) a > b và c > d thì a + c > b + d +) a > b và c b - d +) a > b và c > 0 thì ac > bc +) a > b và c < 0 thì ac < bc +) Với a, b là 2 số dương thì a > b Û a2 > b2 + Với a, b là 2 số dương thì a > b Û 2. Bất đẳng thức Côsi: - Dạng chứa căn: Với a, b không âm thì . Dấu "=" xảy ra Û a = b. - Dạng không chứa căn: " a, b ta luôn có: và . 3. Bất đẳng thức (Liên quan giữa căn của tổng (của hiệu) với tổng (hiệu) các căn bậc hai.) - Với a, b ≥ 0 thì: (Dấu "=" xảy ra Û a = 0 hoặc b = 0) - Với a, b ≥ 0 và a ≥ b thì (Dấu "=" xảy ra Û a = b hoặc b = 0) Chú ý: Với a, b là các số dương, ta luôn có: Tổng quát: Với a1, a2, ..., an là các số dương ta có: 4. Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: (Dấu "=" xảy ra Û a ≥ 0) (Dấu "=" xảy ra Û a ≤ 0) (Dấu "=" xảy ra Û ab≥0) 5. Các bất đẳng thức quan trọng khác: a) BĐT liên quan giữa tổng các bình phương và bình phương của tổng 2 số: (a+b)2 Ê 2(a2 + b2) b) BĐT giữa tổng các nghịch đảo và nghịch đảo của tổng 2 số dương: c) BĐT giữa tổng các bình phương của 3 số và tổng các tích đôi một của 3 số ấy. a2 + b2 + c2 ³ ab+bc+ca II. Các ví dụ: Ví dụ 1. Chứng minh rằng: Lời giải: Dùng phương pháp làm trội phân số. Ví dụ 2. Số nào lớn hơn: Lời giải: Ta có : Vậy Ví dụ 3. Chứng minh rằng: Lời giải: Cách 1. Xét hiệu: Vậy . Cách 2. Biến đổi tương đương: . Luôn đúng. Vậy đẳng thức được chứng minh. Cách 3. Sử dụng bất đẳng thức Côsi. Ta có: Dấu "=" xảy ra Û Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Giải: Cách 1: ĐKXĐ: . Dễ thấy A ≥ 0. Vậy max A2 = 4 ị max A = 2 (khi và chỉ khi x = 2). Cách 2: ĐKXĐ: . Dễ thấy A ≥ 0. Vậy max A2 = 4 ị max A = 2 (khi và chỉ khi x = 2). Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: với x > 0. Lời giải: Dấu "=" xảy ra Û Vậy khi . Ví dụ 6. Cho x>0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (Câu 5 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Tp Hà Nội năm học 2011-2012) Giải: = = Vì (2x-1)2 ³0 và theo bdt cosi ta có: nên ³2011 Vậy GTNN của biểu thức bằng 2011 khi x = III. Bài tập luyện tập: Bài 1. Chứng minh rằng: Bài 2. Chứng minh rằng: Bài 3. So sánh: Bài 4. Cho: Chứng minh rằng A < B. Bài 7. Chứng minh rằng: Bài 8. Chứng minh rằng: (Tử có 2009 dấu căn; mẫu có 2008 dấu căn) Bài 9. Chứng minh rằng: (Tử có 2009 dấu căn; mẫu có 2008 dấu căn) Bài 9. Cho: Hãy so sánh (Hướng dẫn: Từ BĐT Côsi: . Dấu "=" xảy ra Û a = b) Bài 10. Cho . Chứng minh rằng A ≤ 4. Bài 11. Chứng minh BĐT: với a, b ≥ 0 Bài 12. Cho x, y ẻ R thoả mãn xy = 1 và x > y. Chứng minh rằng: Bài 13. Cho tam giác ABC có các cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c. Chứng minh rằng ta luôn có: Bài 14. Cho 3 số a, b, c thoả mãn a>b>c>0. Chứng minh bất đẳng thức: Bài 15. Cho a, b, c là các số dương thoả mãn: Chứng minh rằng: Bài 16. Cho a, b, c là các số dương thoả mãn: ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng: Bài 17. Cho a, b, c, d là 4 số nguyên dương bất kỳ. Chứng minh rằng số: không phải là số nguyên. Bài 18. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho Bài 19. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thoả mãn: Bài 20. Cho 3 số không âm x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y + z = 1. Chứng minh rằng: Bài 21. a) Chứng minh BĐT: với a, b là các số dương. b) (*) Chứng minh rằng: Bài 22. Tìm giá trị lớn nhất của Bài 23. Tìm giá trị nhỏ nhất của Bài 24. Tìm giá trị lớn nhất của với -1 ≤ a ≤ 1. Bài 25. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Bài 26. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bài 27. a) Tìm giá trị lớn nhất của b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của . Bài 28. Cho x + y = 15. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của . Bài 29. Xét biểu thức: Tìm giá trị nhỏ nhất mà biểu thức P có thể đạt được. Bài 30. a) Cho x, y là các số không âm. Chứng minh: b) áp dụng kết quả câu a). Chứng minh rằng: Nếu a > c, b > c, c > 0 thì (Trích câu 5 đề thi vào lớp 10 THPT và THPT chuyên tỉnh Hà Tây năm học 2008-2009) Bài 31. Cho số thực x>2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = Bài 32. Cho số thực . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức . (minS = khi x = ) Bài 33. Cho a,b là hai số dương thoả món a+b = . Chứng minh rằng khi nào bất đẳng thức xảy ra dấu bằng. Bài 34. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giỏc với . Chứng minh rằng: (a+b+c)29bc. Bài 35. Cho là cỏc số thực dương thoả món điều kiện . Hóy tớnh giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: . Bài 36. Tỡm giỏ trị lớn nhất của VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CễSI ĐỂ TèM CỰC TRỊ VD1: Cho x > 0, y > 0 thỏa món đk Tỡm GTNN của bt: Do x > 0, y > 0 nờ ỏp dụng bất đẳng thức cụsi cho 2 số ta cú: Hay => Mặt khỏc ta cỳ: x > 0, y > 0 => . ỏ dụng bất đẳng thức cụsi ta cỳ: Vậy: Min A = 4 khi : VD2 : Tỡm GTNN của biểu thức : Ta cỳ: Áp dụng BĐT Cụ- si cho 2 số ta cỳ : Max A = 2 khi VD3 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của : với x, y, z > 0. Cỏh 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương: Do đú Cỏch 2 : Ta cỳ : . Ta đú cỳ (do x, y > 0) nờ để chứng minh ta chỉ cần chứng minh : (1) (1) Û xy + z2 – yz ≥ xz (nhừn hai vế với số dương xz) Û xy + z2 – yz – xz ≥ 0 Û y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 Û (x – z)(y – z) ≥ 0 (2) (2) đỳng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đỳ (1) đỳng. Từ đỳ tỡm được giỏ trị nhỏ nhất của . VD 4: Tỡ giỏtrị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1. Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số khụng ừm x, y, z ta cỳ: 1 = x + y + z ≥ 3. (1) Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số khụng ừm x+y, y +z, z + x ta cỳ : 2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3. (2) Nhừn từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều khụng ừm) : 2 ≥ 9. ị A ≤ max A = khi và chỉ khi x = y = z = . VD 5: Tỡ GTNN của với x, y, z > 0 , x + y + z = 1. Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy : . Tương tự : . Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2. min A = 1 với x = y = z = . VD 6: Tỡ GTNN của với : x > 0, y > 0, x + y < 1 Ta cỳ: Ta cỳ: => VD 7: : Cho , Tỡ GTLN của Giải : Ta cỳ : Với ta cỳ: ỏ dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số Ta cỳ: Hay : Dấu “ = ” xảy ra khi ỏ dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số Ta cỳ: Hay : . Dấu “ = ” xảy ra khi Do đỳ: - 2x = 5. Dấu “ = ” xảy ra khi VD 8: : Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1 Tỡ GTNN của: Ta cỳ: S = = ỏ dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương ta cỳ : Tương tự ta cỳ : ; S 1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 =36 Dấu “=” sảy ra khi : Vậy Min S = 36 khi Khụg phải lỳc nào ta cũng dựng trực tiếp được bất đẳng thức Cụsi đối với cỏc số trong đề bài. Dưới đừy ta sẽ nghiờn cứu một số biện phỏp biến đổi một biểu thức để cỳ thờ vừn dụng BĐT Cụ-si rồi tỡm cực trị của nỳ: Biện phỏp 1: Để tỡm cực trị của một biểu thức ta tỡm cực trị của bỡnh phương biểu thức đỳ VD1 : Tỡ giỏtrị lớn nhất của , ĐKXĐ : Bỡh phương hai vế ta cỳ : A2 = 2 + Với . ỏ dụng bất đẳng thức cụsi cho và ta cỳ: hay A2 4 =>A 2 Dấu “=” xảy ra khi : 3x - 5 = 7 - 3x hay x = 2 VD2: Tỡ GTNN của biểu thức: (*) ĐKXĐ : Khi đỳ => A > 0 Từ (*) => A = BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nừng cao và một số chuyờn đề Bựi văn Tuyờn ) Bài 1 Tỡ GTNN, GTLN của hàm số : Bài 2: Tỡ GTLN của hàm số : Bài 3: Tỡ GTLN của hàm số : Bài 4: Tỡ GTLN của hàm số : Bài 5: Tỡ GTLN của hàm số : Bài 6: Tỡ GTLN của hàm số : Bài 7:Tỡ GTLN của : biết x + y = 4 Bài 8 Tỡm GTNN của : Bài 9( 76/29) Tỡ GTNN của : với x, y, z dương và x + y + z 12 Bài 10: ( 65/ 28) Tỡ GTLN, GTNN của : biết x + y = 15 Biện phỏp 2: nhừn và chia một biểu thức với cựng một số khỏc khụng. VD Tỡ giỏtrị lớn nhất của biểu thức: Giải: ĐKXĐ: Ta cỳ: = Dấu “=” xảy ra khi BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tỡ giỏtrị lớn nhất của biểu thức: Bài 2: Tỡ giỏtrị lớn nhất của biểu thức: Biện phỏp 3: Biến đổi biểu thức dú cho thành tổng của cỏc biểu thức sao cho tớch của chỳng là một hằng số: Tỏh 1 hạng tử thành tổng nhiều hạng tử bằng nhau VD1: cho x > 0 Tỡ GTNN của biểu thức: Giải : Ta cỳ Áp dụng BĐT Cụ-si Ta cỳ : Vậy Min A = 8 VD2: ( đề thi ĐHTH Hà Nội 1993) Tỡ Max và Min với Xộ Ta cỳ : Dấu “=” xẩy ra khi Xộ Rễ thấy: 4 – x - y ( 1) Dấu ‘=’ xảy ra khi x + y = 6 => đạt GTNN khi x2y đạtGTLN Ta cỳ : =32 hay x2y 32 (2) Từ (1) và (2) => -64 Dấu ‘=’ xảy ra khi VD3 . Tỡ GTLN của A = x2(3 – x) biết x ≤ 3. Giải : Xột 0 ≤ x ≤ 3. Viết A dưới dạng : A = 4.. .(3 – x). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số khụng ừm , , (3 – x) ta được : ..(3 – x) ≤ . Do đỳ A ≤ 4 (1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nừng cao và một số chuyờn đề Bựi văn Tuyờn ) Bài 1( 71/28) Cho x > 0 , y > 0 và x + y 6 Tỡ GTNN của Bài 2( 70/28) Cho x > 0 , Tỡ GTNN của Bài 3( 68/ 28) Cho x , Tỡ GTNN của Bài 4( 69/ 28) Tỡ GTNN của Bài 5( 72/ 29) Cho x > y và x.y =5 , Tỡ GTNN của Bài 6( 79/ 29) Cho x ,y thỏa mún biểu thức: x + y =1 và x > 0 , Tỡm GTLN của Tỏh 1 hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với 1 hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khỏc cỳ trong biểu thức đú cho. VD1: Cho 0 < x < 2 , Tỡ GTNN của Ta cỳ : Min B= 7 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nừng cao và một số chuyờn đề Bựi văn Tuyến ) Bài 1( 74/ 29) Cho 0 < x <1, Tỡ GTLN của Bài 2( 73/ 29) Cho x >1, Tỡ GTLN của Bài 3: Cho x > 0, Tỡ GTNN của biểu thức: Bài 4: Tỡ GTNN của biểu thức: Bài 5: Tỡ GTNN của biểu thức: Bài 6: Tỡ GTNN của biểu thức: ( với x > -1 ) Bài 7: Tỡ GTNN của biểu thức: ( với x > 1 ) Bài 8: Tỡ GTNN của biểu thức: ( với x > ) Bài 9: Tỡ GTNN của biểu thức: ( với 0 < x < 1 ) Biện phỏp 4: Thờm 1 hạng tử vào biểu thức đú cho: VD1 : Cho 3 số dương x, y, z thỏa mún điều kiện x + y + z = 2 Tỡm GTNN của biểu thức: Ta cỳ : +2 + 2 +2 => Hay: => Vậy Min P = 1 Lưu ý: Nếu ta lần lượt thờm ( x + y), ( z + y), ( x + z) vào ta vẫn khử được (x + y), ( z + y), ( x + z) nhưng khụng tỡm được x, y, z để dấu dấu đẳng thức xảy ra đồng thời. Khi đỳ khụng tỡm được giỏ trị nhỏ nhất. VD2 : Tỡ GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mún (a và b là hằng số dương). Giải . Cỏh 1 : A = x + y = 1.(x + y) = . Theo bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương : . Do đỳ . với Cỏh 2 : Dựg bất đẳng thức Bunhiacụpxki : . Từ đỳ tỡm được giỏ trị nhỏ nhất của A. VD3 Tỡ GTNN của biết x, y, z > 0 , . Giải Theo VD1 BIỆN PHÁP 4: . Theo bất đẳng thức Cauchy . min A = .