Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn Số học - Trường THCS Thị Trấn Thới Bình - Cà Mau

Phần I: SỐ HỌC MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ 1/ nếu a1 ,a2, a3... đều chia hết cho b Thì : a/ a1+ a2 + a3 + chia hết cho b b/ a1n + a2.n + a3.n chia hết cho b Thì a2 b [ [ [ [ * HỆ QUẢ : a1 b a1 + a2 b 2/ b1\ a1 , b2 \ a2 , b3 \ a3 thì b1.b2 .b3 \ a1.a2.a3 * HỆ QUẢ: b\ a thì bn \ an và b.c \ a.c ( với mọi n N, c 0 , c Z ) 3/ bc\ ac b \ a ( c 0) a b.c [ [ [ [ 4/ Nếu a b a c ( b,c) = 1 5/ Nhị thức Niu-Tơn: a/ an - bn = ( a-b)(an-1b0 + an-2b + an-3b2++a0bn-1) với n N, và ab b/ an + bn = ( a+ b)(an-1b0 - an-2b + an-3b2 – an-4b3 +-abn-2 + a0bn-1) với n N, n lẻ và a-b c/ ( a+ b+ c)2 = d/ 6/ Định lý BRu ( mở rộng chia hết trong đa thức ) Nếu f(x) có nghiệm là x0 thì f(x) = ( x-x0)g(x) họăc f(x) ( x-x0). Nói cách khác f(x) (x- a) khi f(a) = 0 CHÚ Ý:a/ Nếu tổng các hệ số của đa thức f(x) bằng 0 thì f(x) có nghiệm bằng 1 . Hay f(x) (x-1) b/ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì f(x) có nghiệm x = -1 . Hay f(x) (x+1) 7/ CHIA HẾT – CHIA CÓ DƯ : Ngòai các điều kiện chia hết học ở lớp 6 , ta cần nhớ thêm các điều kiện sau: + Mọi số chẵn đều chia hết cho 2 + ĐK chia hết cho 4 ( họăc 25) : Số có 2 chữ số tận cùng lập thành một số có 2 chữ số chia hết cho 4 (hoặc 25) thì số ấy chia hết cho (4 họăc 25). + ĐK chia hết cho 8 ( họăc 125) : số có 3 chữ số tận cùng lập thành một số có 3 chữ số chia hết cho 8 (hoặc 125) thì số ấy chia hết cho 8 (hoặc 125) + Tích 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8 + Với a,b Z ; b 0 luôn tồn tại một cặp số nguyên q, r sao cho < ). Ta gọi r là số dư , q là thương trong phép chia a cho b + Định lý BRu mở rộng ( Tham khảo) : Phần dư của phép chia f(x) cho nhị thức g(x) = x-a là một hằng số bằng giá trị của f(a) + Lược đồ Hooc-Ne ( Tính hệ sốø của đa thương và dư trong phép chia Đa thức f(x) = cho nhị thức an an-1 an-2 a1 a0 bn=an ( Dòng thứ 2 : giá trị ở ô cuối cùng là số dư, giá trị ở mỗi ô còn lại là hệ số của đa thức thương) + Tam giác PASSCAN: 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 ( Các số ở mỗi dòng của tam giác ứng với các hệ số trong khai triển các lũy thừa của một tổng 2 số hạng) 8/ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN : f(x) = Nếu cĩ nghiệm hữu tỷ thì : p là ước của an () và q là ước của a0 () Nếu cĩ nghiệm nguyên x = a thì a là ước của an Nếu f(x) cĩ nghiệm x = a thì (x- a ) là một nhân tử của f(x) * VD1- Phân tích đa thức: f(x) = x3 – x2 +4 thành nhân tử ( CMR : x3 – x2 +4 chia hết cho x2+x+2) +nghiệm nguyên nếu có của f(x) thì x = + Thử lại ta có x = 2 là nghiệm . Vậy ( ) + x2+x+2 có = -7 < 0 ( VN) * VD2 phân tích f(x) = 3x3 + 7x2 + 17x -5 thành nhân tử Nghiệm nguyên nếu có của đa thức thì x Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức thì x Thử lại ta có là nghiệm . do x2-2x +5 VN 9/ Phương trình bậc hai : Cĩ biệt thức : * < 0 phương trình vơ nghiệm. * = 0 tphương trình cĩ nghiệm kép * > 0 phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt: VD- 3x2 – 8x + 4 = 0 10/ phương pháp chứng minh bằng quy nạp: f(x) = a * CM f(x) đúng với x = 1 * Giả sử f(x) đúng với x = n * Chứng minh f(x) luôn đúng với x = n+1 VD I-PHÉP CHIA HẾT BÀI 1: 1, Cho biểu thức: A = a, Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số. b, Tìm các số nguyên n để biểu thức A là số nguyên. 2, Tìm x biết: a, x chia hết cho cả 12; 25; 30 và 0 ≤ x ≤ 500 b, (3x – 24). 73= 2. 74 c, 3, Bạn Hương đánh số trang sách bằng các số tự nhiên từ 1 đến 145. Hỏi bạn Hương đã dùng bao nhiêu chữ số ? Trong những chữ số đã sử dụng thì cĩ bao nhiêu chữ số 0 ? BÀI 2: 1, Cho S = 5 + 52 + 53 + . . . . + 596 a, Chứng minh: S 126 b, Tìm chữ số tận cùng của S 2, Chứng minh A = n(5n + 3) n với mọi n Z 3,Tìm a, b N, biết: a + 2b = 48 ƯCLN (a, b) + 3. BCNN (a, b) = 14 BÀI 2 :a. Chứng minh: (n Z) tối giản b.Bạn Hương đánh 1 cuốn sách dày 284 trang bằng dãy số chẵn. c, Bạn Hương cần bao nhiêu chữ số để đánh hết cuốn sách đĩ ? d, Trong dãy số trên thì chữ số thứ 300 là chữ số nào ? e, Tính: BÀI 3: 1) Rĩt gän 2) Cho Chøng minh: S < 1 3) So s¸nh: vµ 4) T×m sè nguyªn tè P sao cho c¸c sè P + 2 vµ P +10 lµ sè nguyªn tè 5) T×m gi¸ trÞ nguyªn d­¬ng nhá h¬n 10 cđa x vµ y sao cho 3x - 4y = - 21 6 )Cho ph©n sè: a) T×m n ®Ĩ A nguyªn. b) T×m n ®Ĩ A tèi gi¶n . BÀI 4 1) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ sè a) Chia hÕt cho 15 b) Chia hÕt cho 45 2/ Chøng minh r»ng: chia hÕt cho 27 (n lµ sè tù nhiªn). 3/ Cho a) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 3 víi mäi sè nguyªn n. b) T×m gi¸ trÞ nguyªn d­¬ng cđa n víi n < 10 ®Ĩ A chia hÕt cho 15. 4/ Trong ®ỵt thi häc sinh giái cÊp tØnh cã kh«ng qu¸ 130 em tham gia. Sau khi chÊm bµi thÊy sè em ®¹t ®iĨm giái chiÕm , ®¹t ®iĨm kh¸ chiÕm , ®¹t ®iĨm yÕu chiÕm tỉng sè thÝ sinh dù thi, cßn l¹i lµ ®¹t ®iĨm trung b×nh. TÝnh sè häc sinh mçi lo¹i. BÀI 5: 1/ Cho a) TÝnh tỉng A. b) Chøng minh r»ng . c) A cã ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng kh«ng ? V× sao ? 2) T×m n Ỵ Z ®Ĩ CHUYÊN ĐỀ TÍNH TỔNG HỮU HẠN Bài 1: a. Cho n là một số nguyên dương. Hãy so sánh: và b. Tính: Bài 2: Chứng minh rằng: với và VÝ dơ1(SGK-T8.Tr25) Chøng minh r»ng: nn chia hÕt cho 6 víi mäi sè nguyªn n. Gi¶i: Ta cã nn =n.(n-1).(n+1). Trong ba sè nguyªn liªn tiÕp n,n-1,n+1 lu«n cãmét sè chia hÕt cho 2 , mét sè chia hÕt cho 3 vµ (2,3)=1 .Do ®ã nn . Qua bµi to¸n trªn ta thÊy nvµ n ®ång d­ khi chia cho c¸c sè 2,3 vµ6 tõ ®ã ta ®Ị xuÊt mét sè bµi to¸n t­¬ng tù nh­ sau. Bµi1: Chøng minh r»ng : . Gi¶i: Tacã Tõ ®ã suy ra ®iỊu ph¶i chøng minh.Tỉng qu¸t ho¸ ta ®­ỵc bµi to¸n sau. Bµi2: Chøng minh r»ng: Bµi3: Cho A= Hái A cã chia hÕt cho 6 kh«ng? H­íng dÈn: §Ỉt S=1+2+3+4+............+98+99. Theo bµi 2 ta cã A-S chia hÕt cho 6,trong ®ã S=. Do ®ã A. Bµi4:(Thi häc sinh giái T.P-HCM n¨m häc 2003-2004). Chøng minh r»ng: víi mäi sè nguyªn x,y,z. Gi¶i: . Theo VD1 ta thÊy c¸c h¹ng tư cđa VP ®Ịu chia hÕt cho 6, tõ ®ã suy ra ®iỊu ph¶i chøng minh. Bµi5: ViÕt sè thµnh tỉng cđa k sè tù nhiªn tuú ý .T×m sè d­ cđa phÐp chia cho3. Gi¶i: §Ỉt N= vµ . Ta cã N- ,(VD) MỈt kh¸c chia cho 3 d­ 1, do ®ã N chia cho 3 d­ 1. KÕt hỵp víi h»ng ®¼ng thøc ®· häc ®­ỵc ph¸t triĨn thµnh c¸c bµi to¸n thĩ vÞ sau. Bµi 6: Cho . Chøng minh r»ng P chia hÕt cho 6 víi mäi sè nguyªn a,b. Gi¶i: §Ỉt. Khi ®ã ta cã P=. Bµi7: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn x,y th×: . Gỵi ý: §Ỉt Ta cã (v× 3 lµ sè nguyªn tè). Bµi8: Cho c¸c sè nguyªn x, y , z tho¶ m·n : x+y+z= Chøng minh r»ng: M= chia hÕt cho 6. Gi¶i: §Ỉt Ta cã: . Do ®ã M(theo-BT ) KÕt hỵp vÝ dơ 1 víi bµi to¸n t×m nghiƯm nguyªn ta cã mét sè bµi to¸n sau. Bµi 9: T×m nghiƯm nguyªn d­¬ng cđa c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a) (1) b) (2) Gi¶i: a) (3) DƠ thÊy VT cđa (3) chia hÕt cho 6 (theo-VD1).Nh­ng kh«ng chia hÕt cho 6,do ®ã ph­¬ng tr×nh ®· cho kh«ng cã nghiƯm nguyªn. b) §Ỉt . Khi ®ã ph­¬ng tr×nh (2) trë thµnh : . V× 189 nªn .Tõ ®ã suy ra p+q lµ sè chÝnh ph­¬ng chia hÕt cho 3. MỈt kh¸c .Do ®ã p+q chØ cã thĨ b»ng 9, tõ ®ã suy ra ph­¬ng tr×nh cã hai nghiƯm (x,y)=(1,2)hoỈc (2,1). Thư l¹i thÊy tho· m·n. Bµi 10 trang 14 (S¸ch bµi tËp tãan 9 tËp I ) chøng minh r»ng víi n lµ sè tù nhiªn. Chøng minh : () Ph¸t biĨu c¸ch kh¸c : 1. Chøng tá víi mäi sè tù nhiªn n th× (vµ ) lµ hai sè nghÞch ®¶o. 2 . (víi n lµ sè tù nhiªn) Bµi 12: TÝnh a. b. víi n 1 Gi¶i : a. = b. víi n 1 = Bµi 13: TÝnh a. A = b. B = §Þnh h­íng : hay Gi¶i : a. A = = = = b. B = B = = = ëBµi 71, thay 1 = x N ta cã bµi to¸n 3 Bµi 14 Chøng minh: Víi x>0,n Ta cã: Bµi15 TÝnh a. C = b. D = Víi k lµ sè tù nhiªn 1 Gi¶i a. ¸p dơng bµi 3 vµo bµi bµi 4 a. ( )-= 3 , ë ®©y x = 3 Ta cã: C = + = = b. ¸p dơng bµi3vµo bµi bµi 4b ()- () = 2, ë ®©y x = 2 Do ®ã ta ®­a vỊ d¹ng bµi to¸n 4a nh­ thÕ nµo ? ( Nh©n 2 vµo 2 vÕ ) 2D = 2D = 2D = D = Bµi 16: TÝnh a. E = §Þnh h­íng : = ? = . = = E = = 1- Ta cã === Bµi 17: Kh«ng dïng m¸y tÝnh h·y so s¸nh A = vµ B = Gi¶i : ap dơng bµi 71 A = B = A < B do Bµi 18: Tỉng qu¸t tõ bµi 6 ta cã : víi n 1 ¸p dơng bµi 71 (bµi tËp to¸n 9 tËp I) ta cã ®iỊu ph¶i chøng minh. Bµi 8 : Thay 1 = x ë bµi 7 ta cã : Víi >1 A = B = ta cã : A < B tõ bµi to¸n 6 ta cã bµi to¸n sau: Bµi 19: So s¸nh C vµ D C = D = Víi m > n > 0 ,p > 0 Ta cã C = D = V× m > n C < D *ap dơng bµi 71 chøng minh bÊt ®¼ng thøc Bµi 20 : Chøng minh a. (Víi n 1) b. (víi n> x 0) Chøng minh a. BÊt ®¼ng thøc nµy ®· chøng minh ë bµi 7 b. §· chøng minh ë bµi 8 Bµi 21 : Chøng minh : víi m -1 Chøng minh: Víi n = 2 m +1, thay vµo bµi 10a th× ta ®­ỵc : Bµi 12:Kh«ng dïng m¸y tÝnh vµ b¶ng sè h·y chøng tá Gi¶i V× 0 < ( Suy ra tõ bµi 10a ) Bµi 22: a. Chøng minh r»ng víi mäi nN* b. Chøng minh: Gi¶i a. ( Ap dơng bµi 71 trang 14 ) 2> + (hiĨn nhiªn ®ĩng ) b. * Chøng minh : 2 (- ) < 0 < < + > 2 > BÊt ®¼ng thøc nµy hiĨn nhiªn ®ĩng * Chøng minh 0 < < 2> + > BÊt ®¼ng thøc nµy hiĨn nhiªn ®ĩng BÊt ®¼ng thøc ®· cho ®­ỵc chøng minh Bµi 23 : Cho S = 1+ + Chøng minh 18 < S < 19 Chøng minh Áp dơng bµi 13b ta cã : Thay n = 2,3,4,......100 ta cã: 2 ( ) < < 2 () 2 ( ) < < 2 () 2 ( . 2( ) Céng vÕ víi vÕ ta cã 1 + 2 ( )< S < 1 + 2( ++ + ) 1+2 () < S < 1+2 ( ) 1+2 ( 10 -1,5 ) < S < 1+2 (10-1) VËy ta cã : 18 < S < 19 Chĩ ý : Cịng cã thĨ thay ®ỉi néi dung bµi nµy nh­ sau : C¸ch 1: Chøng minh S kh«ng ph¶i lµ sè tù nhiªn C¸ch 2: T×m phÇn nguyªn cđa S Bµi 24 So s¸nh A vµ B A = 2 ( ; B = 2 ( Áp dơng bµi 11 . víi m -1 Cho m = 0 , 1, 2 , ,1003 ta cã: .. .. .. Céng vÕ víi vÕ ta cã: ) A < B Bµi 25 : Chøng minh r»ng : 1+ Chøng minh : Tõ bµi 13 b ta cịng cã : LÇn l­ỵt cho n = 0 , 1 , 2 , 3, 2499 ta cã 1 < 2 .. Céng vÕ víi vÕ ta cã: 1+ ( §iỊu ph¶i chøng minh ) C. Khai th¸c øng dơng cđa bµi 71 trong gi¶i ph­¬ng tr×nh Bµi 26 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi x Gi¶i: Bµi 27: Gi¶i ph­¬ng tr×nh : = 9 ( 18 ) ( Cã 2007 sè 2 ) Gi¶i : Víi x -1 ta cã : ( T­¬ng tù bµi 7 ) Ta cã : 2 + Ph­¬ng tr×nh (18) Bµi 28 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh : ( ( 19 ) Gi¶i : §Ỉt y = ( Ph­¬ng tr×nh (19) Thay l¹i Èn x ta cã : VËy ph­¬ng tr×mh ®· cho cã nghiƯm x = ± 2 Bµi 29 :Gi¶i ph­¬ng tr×nh (20) Gi¶i: §Ỉt y = => Ph­¬ng tr×nh (20) y2 - 18y + 1 = 0 Cã y1 = 9 + = 9 + y1 = 9 - = 9 - Thay l¹i Èn x nÕu: y = 9 + => = NÕu y = 9 - => x=-2 VËy ph­¬ng tr×nh cã hai nghiƯm: x = ± 2 *.Bµi tËp : Bµi 1: TÝnh Bµi2:Chøng minh S = 1+ + kh«ng ph¶i lµ sè tù nhiªn Bµi 3:Gi¶i ph­¬ng tr×nh: víi -1 III – PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN