Giáo án Đại số 11 tiết 27, 28: Bất đẳng thức

Tuần 14-15 Tiết 27 - 28 Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC - BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: BẤT ĐẲNG THỨC I. Mục đích bài dạy : - Kiến thức cơ bản: Hiểu đựơc khái niệm bất đẳng thức , các tính chất của bất đẳng thức một cách hệ thống , một số bất đẳng thức cơ bản chứa dấu giá trị tuyệt đối. - Kỹ năng : vận dụng được các tính chất và bất đẳng thức Côsi để làm bài tập và chứng minh các bất đẳng thức. - Thái độ : ham học hỏi , tích cực xây dựng bài . - Tư duy : Có khả năng tư duy các vấn đề toán học một cách hệ thống và logic. II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh: - Giáo viên : Một số kiến thức về bất đẳng thức mà học sinh đã học ở lớp 8. - Học sinh: Xem lại các tính chất của bất đẳng thức đã học ở lớp 8. IV. Tiến trình dạy học : 1. Oån định lớp ( 1 phút) 2. Kiểm tra bài củ 3. Bài mới : Hoạt động của giáo viên Hoạt đôïng của học sinh Hđ1: Oân tập bất đẳng thức: Hđ1.1 : Khái niệm bất đẳng thức :(9 phút) - Trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào đúng : - Điền dấu thích hợp ( = , ) vào ta được mệnh đề đúng? với a là số cho trước - Các mệnh đề ta gọi là các bất đẳng thức.Vậy bất đẳng thức là gì ? Ví dụ như ta đã biết về tính chất bắt cầu : a a < c hay a a + c < b + c với c tùy ý Hđ1.2:Bất đẳng thức hệ quả và bắt đẳng thức tương đương :(10 phút) GV giới thiệu bất đẳng thức hệ quả : - Nếu mệnh đề “” đúng thì ta nói bất đẳng thức là bắt đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức và cũng viết là . - Cho ví dụ về bất đẳng thức hệ quả ? - Nếu bất đẳng thức là hệ quả của bất đẳng thức và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là . - Nêu ví dụ về hai bất đẳng thức tương đương ? - - - Chứng minh rằng : a < b a – b < 0. Ở đây ta phải chứng minh hai chiều .từ giả thiết a < b . Chứng minh : a – b < 0? Hđ1.3:Tính chất của bất đẳng thức (15 phút) - Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a < b ta chỉ cần chứng minh a – b < 0 . Tổng quát hơn , khi so sánh hai số , hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức , ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau: - Nếu a < b nếu ta cộng hai vế của bất đẳng thức với một số c thì ta có ? - Khi nhân hai vế của bất đẳng thức với một số ta chú ý đến điều gì? - Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức như thế nào ? - Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều ? - Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa với n là số nguyên dương . - Khai căn hai vế của một bất đẳng thức - Gv đưa bảng tóm tắt các tính chất của bất đẳng thức . - Ví dụ áp dụng:Chứng minh rằng :(8 phút) (*) Chú ý : Các mệnh đề dạng hoặc các mệnh đề dạngnày cũng được gọi là bất đẳng thức . Để phân biệt ta gọi chúng là bất đẳng thứckhông ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng ab là các bất đẳng thức ngặt . Các tính chất nêu trên bảng trên đúng cho bất đẳng thức không ngặt . HĐ2:Bất đẳng thức giữa trung bình cộngvà trung bình nhân ( bất đẳng thức Cô -si )(20 phút) Hđ2.1:Bất đẳng thức Cô - si : Gv phát biểu định lý: Định lí : Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a =b. - Hãy chứng minh BĐT cô – si? - Với ta có thể chứng minh rằng từ (1) sẽ dẫn đến một kiến thức khác mà ta biết rằng nó đúng . Từ đó suy ngược lại (1) đúng . - Đẳng thức xảy ra khi nào ? - Ta có thể mở rộng bất đẳng thức Cô si cho hơn 3 chữ số . Ví dụ ta có thể mở rộng hơn cho 3 số : - Ví dụ :Cho hai số a ,b dương . Chứng minh rằng: ( a + b) . (ab +1) 4a.b - Gợi ý : Ở đây ta áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi . Hđ2.2: Các hệ quả : - Aùp dụng BĐT cô – si đối với hai số dương a và ? - Đây cũng chính là nội dung của hệ quả 1. - Phát biểu bằng lời hệ quả trên ? - Theo định lý Cô Si nếu tổng x + y không đổi thì ta có thể xác định được giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của tích x. y ? - Và tích đạt giá trị lớn nhất khi nào ? - Chứng minh (SGK). - Gv : Ta có thể áp dụng hệ quả để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. - Ví dụ :Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức - Giáo viên treo hình 26 (SGK) đã vẽ sẵn cho học sinh nhận xét về ý nghĩa hình học củahệ quả trên? Hình 26 SGK - Tương tự Gv đưa ra câu hỏi : - Theo định lý Cô Si nếu tích x .y không đổi thì ta có thể xác định được giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của tổng x+ y? và tổng đạt giá trị nhỏ nhất khi nào ? Mỗi ô là 1cm2 - Chứng minh hệ quả 3 ?(Mỗi ô 1cm2)( 20 phút) Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : - Nêu ý nghĩa hình học của hệ quả trên ? -Nhắc lại định nghĩa giá trị tuyệt đối ? -Ttính giá trị tuyệt đối của các số sau : Hđ3:Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối : - Từ định nghĩa của giá trị tuyệt đối ta có các tính chất sau : Ví dụ : Cho . Chứng minh rằng - Ở đây ta có giả thiết là . Aùp dụng các tính chất của bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để chứng minh. - ta có gì? - Biến đổi sao cho xuất hiện x + 1 ? - Theo tính chất bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có ? a. đúng b. sai c. đúng - Các mệnh đề dạng “ ab” được gọi là bất đẳng thức . HS: - Ta có : a < b nếu cộng vào hai vế của bất đẳng thức trên với (-b) ta có : a + (- b) <b +(-b) hay a – b <0.Chứng minh tương tự ta có chiều ngược lại. - Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số dương thì bất đẳng thức vẫn giữ nghuyên chiều. Khi nhân hai vế của bất đẳng thức với một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều. Tức là : - Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều. và c < d và Ta thấy cả hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh đều dương nên ta có : Bất đẳng thức cuối đúng suy ra (ĐPCM ) Với nên ta có hai vế của (1) đều dương , nên : BĐT cuối đúng (1) đúng . - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : (a – b )2 = 0 a = b Aùp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai cặp số a,b và ab và 1 . Ta có : Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều ta có: - Ta có : HS: Tổng của một số dương nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2 -Ta có thể xác định được giá trị lớn nhất của tích a.b * Hệ quả 2 : Nếu x , y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi Tta có : ( không đổi) Nên biểu thức đạt giá trị lớn nhất Vậy khi x = 9 thì biểu thức đạt giá trị lớn nhất. - Ý nghĩa hình học : trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi , hình vuông có diện tích lớn nhất . * Hệ quả 3 : Nếu x , y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y . - Chứng minh Đặt P = xy Áp dụng BĐT Cô – si ta có : Đẳng thức xảy ra khi x = y = - Ta thấy nên biểu thức trên đạt giá trị nhỏ nhất Vậy khi x = 1 thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Ý nghĩa hình học : Trong tấtcả cáchình chữ nhật có cùng diện tích , hình vuông có chu vi nhỏ nhất - Ta có : Hs ghi nhận các tính chất của bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. 4. Củng cố : (3 phút)Gv Nhắc lại địng nghĩa bất đẳng thức và các tính chất của nó, định lý Cô si và các hệ quả của nó , tính chất của bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 5. Dặn dò : (5 phút)+ GV hướng dẫn HS một số bài tập trong SGK. + Về nhà làm bài tập SGK trang 79. Bảng phụ : Các tính chất của bất đẳng thức : Tính chất Tên gọi Điều kiện Nội dung Cộng hai vế của bất đảng thức với một số c > 0 Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số c < 0 và ø Cộng hai vế bất đẳng thức cùng chiều a>0 ; c > 0 a < b và c < d ac < bd Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều n nguyên dương a < b Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một luỹ thừa 0 < a < b a > 0 a < b Khai căn hai vế của một bất đẳng thức a < b