Giáo án Đại số 11 tiết 47, 48, 49: Phương pháp quy nạp toán học

Chương III: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân Đ1: Phương pháp quy nạp toán học Tiết theo PPCT : tiết 47-48-49 I - Mục tiêu 1. Kiến thức - Học sinh nắm được: + Các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học, nội dung và mục đích của các bước chứng minh + Các mệnh đề có thể chứng minh bằng PP quy nạp toán học 2. Kỹ năng - áp dụng thành thạo PP C/m bằng quy nạp toán học vào các mệnh đề đơn giản 3. Tư duy và thái độ - Biết quy lạ về quen, cẩn thận chính xác, tư duy tuần tự kháI quát hoá II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh Giáo viên SGK, Giáo án, hệ thống câu hỏi và các ví dụ Học sinh SGK, bài cũ. III – Phương pháp dạy học - Gợi mở vấn đáp, thông qua các hoạt động điều khiển tư duy, đan xen hoạt động nhóm. IV Tiến trình 1. Các tình huống và hoạt động HĐ 1: Ví dụ mở đầu HĐ 2: Các bước C/m bằng PP quy nạp HĐ 3: Một số ví dụ áp dụng HĐ 4: Bài tập HĐ 5: Củng cố và bài tập về nhà 2. Tiến trình bài học: HĐ 1: Ví dụ mở đầu Hoạt động của HS Hoạt động của GV 1. Phương pháp quy nạp toán học * Ví dụ 1: Cho đẳng thức: (1) a) Hãy kiểm tra đt đúng với n = 1, 2, 3, 1. Phương pháp quy nạp toán học - Yêu cầu HS thay các giá trị của n để kiểm tra. - Gọi một HS trả lời. - GV: dẫn dắt đt liệu có đúng với mọi GT nguyên dương của n không? C/m bằng cách nào? b) Có thể kiểm tra đt đúng với mọi giá trị nguyên dương của n được không? Các bước C/m bằng quy nạp toán học. B1: Kiểm tra mđ đúng với n = 1 B2: Giả sử đt đúng với n = k (k.Ta PCM mđ đúng với n = k + 1. B3: KL mđ đúng với mọi n nguyên dương. VD 2: C/m đt (1) + Với n = 1. VT = 1.2 = 2, VP = 1(1+1)(1+2)/3 = 2, đt đúng với n = 1 + G/s đt đúng với n = k ((ktức là ta có: (2). Ta PCM đt đúng với n = k +1, tức là PCM: (3) ú Quy đồng và rút gọn ta đc ĐPCM - Nêu các bước C/m, giải thích mục đích của các bước. - GV HD học sinh C/m đt (1) theo các bước đã nêu. - GV ghi lời giả chi tiết lên bảng + Với n = 1 VT của đt gồm những số hạng nào? (GV yêu cầu thêm viết vế tráI với n = 2, 3, 5) + Viết đt úng với n = k. + Viết đt ứng với n = k + 1 - HS thay (2) vào (3) để C/m. - YC hs quy đồng và rút gọn HĐ 2: Các ví dụ Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên VD3: C/m với mọi số nguyên dương n ta có: VD4: C/m rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 1+3+5++(2n-1) = n2. Giải: + Với n = 1. Có VT = 1, VP = 12 =1 => VT = VP đt đúng với n =1. + G/s đt đúng với n = k (kTúc là ta có: 1+3+5++(2k-1) = k2 (1). Ta PCM đt đúng với n = k+1, tức là PCM: 1+3+5++(2k-1)+(2k+1) = (k+1)2. (2) ú (k+1)2 =(k+1)2 (2) đúng Vậy đt đúng với mọi n ND - Gọi học sinh C/m tương tự . Gv hướng dẫn. + Viết VT với n = 1. + Viết VT ứng với n =k và n = k+1 + Thay thế và quy đồng và rút gọn. HDHS giải ví dụ 3: Hướng dẫn tương tự ví dụ 1 và 2 Chú ý: Với bài toán C/m: mệnh đề P(n) đúng với n , ta thực hiện như sau: VD 5: CMRvới mọi n nguyên dương n ta có: > 2n+1 Giải: với n = 3. Ta có 23=8 > dúng với n =3 - G/s BĐT đúng với n= k (k) Tức có:> 2k+1 (1) - Ta PCM: BĐT > 2(k+1)+1 (2) = 2.2k >2(2k+1) = 4k+2 >2k+3=2(k+1)+1 Vậy BĐT đẫ được cm. VD6: CMR với mọi số nguyên dương n ta có: VD 7: C/m rằng với mọi n nguyên dương n3- n chia hết cho 3. Giải: - GV nêu các bước thực hiện C/m mệnh đúng với mọi n nguyên dương n. GVHD: Kiểm tra BĐT đúng với n = 3. + Viết BĐT với n = k + Phải C/m BĐT nào? + HS sử dụng (1) để C/m (2) GV gọi Hs lên bảng làm VD 6: - Kiểm tra với n =1 - Viết mđ với n = k - Chứng minh mđề đứng với n = k+1 Bài tập (tiết:49) Hoạt động của HS Hoạt động của GV Bài 1: C/m với mọi số nguyên dương n, ta luôn có: (1) Lời giải: Với n = 1. VT = 1, VP = 1 đt đúng G/s đt đúng với n = k (k1) Ta có (2) Ta PCM (3) Thay (2) vào VT của (3) Biến đổi tương đương ta được ĐPCM. Bài 2: CMR với mọi số nguyên dương n ta có: (1) Giải: - Bđt đúng với n = 1 - G/s BĐT đúng với n = k (k1) Tức là ta có: . Pcm - Hỏi HS Nêu các bước C/m bằng PP quy nạp toán học - Vân dụng C/m đt (1) Viết BĐT ứng với n = k+1 Sử dụng (2) để cm (3) HD HS làm Bài tập 2 Với n = 1 viết vế tráI, và VP Viết BĐT đúng với n = k PCM BĐT nào? Ta có: . Ta PCM: <. Quy đồng MS và BP hai vế ta được đpcm. Bài 3: Vói mỗi số nguyên dương n ta đặt CMR với mọi số nguyên dương n, un chia hết cho 5 Giải: MĐ đúng với n = 1 - G/s mđ đúng với n = k (k1) Ta có chia hết cho 5 Ta PCM: Chia hết cho 5 Bài 4: Ch số thực x>-1. CMR với mọi n nguyên dương GiảI Với n = 1. Ta có (1+x) 1+x đúng với mọi x >-1 G/s BĐT đúng với n = k (k1) Tức là ta có với mọi x>-1 Ta PCM với mọi x>-1 Ta có (1+x)= đúng với mọi x>-1 HDHS làm bài tập 3 - Kiểm tra mđ đứng với n = 1 - Viết mđ ứng với n = k - Cm mđ đúng với n = k+1 - YC HS cm Chia hết cho 5 HDHS: Với n = 1 viết bất BĐT cần CM Bất đẳng thức có đúng với mọi x >-1 không? - Viết BĐT ứng với n = k C/m BĐT đúng với n = k+1 với mọi x >-1 Củng cố và bài tập về nhà Củng cố: - Các bước C/m bằng quy nạp toán học PP quy nạp toán học chỉ áp dụng cho các MĐ phụ thuộc vào số tự nhiên n BVN: 2, 4, 5, 8 SGK trang 100 Đ2: Dãy số Tiết theo PPCT : 50-51 I - Mục tiêu 1. Kiến thức - Học sinh nắm được: + Định nghĩa dãy số vô hạn và dãy số hữu hạn + Các cách cho dãy số + Dãy số tăng, giảm. Dãy số bị chặn, Cách chứng minh dãy số tăng, giảm 2. Kỹ năng + Viết được các số hạng của dãy số khi cho bằng các cách đã nêu. + Chứng minh được dãy số tăng dãy số giảm, biết cách xét tính tăng giảm của dãy số + Biết cách chứng minh một dãy số là bị chặn 3. Tư duy và thái độ - Biết quy lạ về quen, cẩn thận chính xác, tư duy tuần tự khái quát hoá II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh Giáo viên SGK, Giáo án, hệ thống câu hỏi và các ví dụ Học sinh SGK, bài cũ. III – Phương pháp dạy học - Gợi mở vấn đáp, thông qua các hoạt động điều khiển tư duy, đan xen hoạt động nhóm. IV Tiến trình Các tình huống và hoạt động HĐ 1: Kiểm tra bài cũ HĐ 2: ĐN dãy số và ví dụ HĐ 3: Các cách cho một dãy số HĐ 4: Dãy số tăng dãy số giảm HĐ 5: Dãy số bị chặn HĐ 6: Bài tập HĐ 7: Củng cố và bài tập về nhà Tiến trình bài học: HĐ 1: Kiểm tra bài cũ Hoạt động của học sinh Hoạt động của GV Câu hỏi kiểm tra: Nêu các bước C/m bằng PP qn toán học áp dụng cho bài toán: C/m mđ P(n) đúng với mọi n nguyên dương AD: C/m với mọi n nguyên dương ta có: 1+3+5++(2n+1) = (n+1)2. - Gọi một HS lên bảng - Yc các học sinh khác cùng ôn lại bài cũ theo câu hỏi đã đặt ra. - HS dưới lớp làm bài vào vở. HĐ 2: ĐN dãy số và ví dụ Hoạt động của học sinh Hoạt động của GV 1. ĐN và ví dụ - ĐN: Hàm số u: Được gọi là một dãy số được gọi là một dãy số. + u1 gọi là SH đầu + un gọi là sh thứ n hay số hạng tổng quát KH: dãy số (un) VD 1: a) Dãy các số tự nhiên lẻ: 1, 3, 5, ..., 2n -1,.... b) Dãy các số chính phương: 1, 4, 9,..., n2, ... Chú ý: Về dãy số hữu hạn Cho tập M= u: gọi là một dãy số hữu hạn. + số gạng đầu: + số hạng thứ m hay số hạng cuối VD2: Về dãy số hưu hạn - YC Ghi chép nắm bắt kiến thức - Đọc số hạng đầu, SH tổng quát. Lấy ví dụ khác. - Yc hs ghi chép lĩnh hội kiến thức HĐ 3: Các cách cho một dãy số Hoạt động của học sinh Hoạt động của GV 2.Các cách cho một dãy số Cách 1: Cho dãy số bởi công thức số hạng TQ VD 3: 1) Cho ds (un) với un = 2) Cho dãy số (un) với un = Cách 2: Cho dã số bởi hệ thức truy hồi + Cho một vài số hạng đầu + Cho hệ thức truy hồi VD4: cho ds (un) xác định bởi: u1=1, un=2un-1+1 với n Vậy có 5 số hạng đầu là: 1, 3, 7, 15, 31 VD5: Cho ds (un) với u1=-1, u2=2 và với mọi n ta có: . Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xđ mỗi sh của ds VD6: cho dãy số (un) với un là độ dài dây cung AMn trong hình vẽ bên Chú ý: mỗi dãy số có thể cho bằng nhiều cách.VD dãy số ở VD2 có thể cho bởi CT số hạng TQ sau: - Tìm các số hạng thứ 1, 2,10 của ds vừa nêu trên? VD3,1: Tìm 5 số hạng đầu của dãy số? VD3,2: Tim 5 số hạng đầu của dãy? Trong các dãy ở VD4, VD 5 có thể tìm được ngay số hạng thứ 100 không? để tìm số hạng thứ 100 cần phảI tìm các số hạng nào trước? HĐ 4: Dãy số tăng dãy số giảm Hoạt động của học sinh Hoạt động của GV 3. Dãy số tăng, dãy số giảm ĐN2: đc gọi là ds tăng nếu với mọi n ta có đc gọi là ds giảm nếu với mọi n ta có Vây dãy số tăng: dãy số giảm: VD7: a) Dãy số là dãy số tăng vì: b) Dãy số là dãy số giảm vì. Cách C/m dãy số tăng dãy số giảm: Tính hiệu: và rút gọn + Nếu => dãy số tăng + Nếu => dãy số giảm HS đọc ĐN dãy số tăng, dãy số giảm? GV nêu ĐN vắn tắt - Dãy số là dãy số tăng hay giảm? vì sao? - Dãy số là dãy số tăng hay giảm?vì sao? - Lấy VD về DS tăng, dãy số giảm, dãy số không tăng không giảm? Dãy số không tăng không giảm un = Tiết 51 HĐ 5: Dãy số bị chặn Hoạt động của học sinh Hoạt động của GV 4.Dãy số bị chặn ĐN 3: a) đc gọi là ds b/c trên nếu tồn tại một số M: b) đc gọi là ds b/c dưới nếu tồn tại một số m: c) đc gọi là ds b/c nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới tức là tồn tại số m, M: VD8: a) Dãy số Bị chặn dưới vì , nhưng không bị chăn trên b) Dãy số là dãy số bị chăn vì YC học sinh ghi chép ghi nhớ ĐN -YC học sinh xét xem các dãy số ở VD 8 có bị chăn trên, chặn dưới hay không? Hỏi: Chon khẳng định đúng a) Mỗi HS là một dãy số b) Mỗi dãy số là một hàm số c) Mỗi dãy số tăng là một dãy số bị chặn dưới d) Mỗi dãy số giảmlà một dãy số bị chặn trên e) (un) là một dãy số hữu hạn thì tồn tại m, M (sao cho tất cả các số hạng của dãy (un) đều thuộc HĐ 6: Bài tập Hoạt động của học sinh Hoạt động của GV Bài tập 1: Tìm 5 số hạng đàu của dãy số sau a) Dãy số (với b) Dãy số (, c) Dãy số (, - Gọi HS lên bảng làm bài - Các HS còn lại làm bài vào vở (giấy nháp) ĐS: a) -1, 5/2, 5, 29/4, 47/5 b) 0, 1/2, 3/2, -1/2, 1. c) -2, 4, -8, 16, -32 Bài tập 2: Tìm số hạng thứ 3 và thứ 5 của dãy số: a) Dãy (với b) Dãy (với - Học sinh tính u2, YC học sinh tính theo thứ tự và đọc KQ Bài tập 3: Cho dãy số (XĐ bởi: Bằng PP quy nạp CMR với mọi nTa có (1) Giải CT thức (1) đúng với n = 1 G/s (1) đúng với n = k (k tức là ta có: Ta PCM: Tật vậy theo giả thiết: ĐPCM KL: - YC hs đọc kỹ đề bài - Bài toán cho gì, PCM điều gì? - Kiểm tra CT (1) xem u1 có bằng 1 hay không? - CT thức (1) đúng với n =k tức là ta có điều gì? - Phải CM CT (1) đúng với n = k+1 - CM: Bài tập 4: Xét tính tăng giảm của dãy số a) Dãy (với b) Dãy (với c) Dãy (với Giải: a) Dãy số tăng b) Dãy số giảm c) Dãy số giảm YC học sinh - Xét hiệu và rút gọn - Hiệu mang dấu âm hay dấu dương ĐS: Dãy số tăng b) HD HS cách xét tính tăng giảm đối với dãy số dương - YC xét tỉ số - Tỉ số đó lớn hơn 1 hay bé hơn 1 ĐS: Dãy số giảm c) Nhân và chia với biểu thức liên hợp Bài tập 5: CM dãy số (un) với là một dãy số giẩm và bị chặn. Giải Học sinh tự CM dãy số đã cho là dãy giảm => (un) bị chặn trên Ta CM dãy đã cho bị chặn dưới. Dễ thấy Vậy dãy số đã cho là bị chăn - Gọi hs lên bảng CM dãy số giảm - (un) là dãy số giảm nên để CM nó bị chặn ta cần CM điều gì? 3. Củng cố kiến thức và bài tập a) Củng cố: + ĐN dãy số + Dãy số tăng dãy số giảm, dãy số bị chăn, + Cách xét tính tăng giảm của một dãy số + Quan hệ giữa dãy tăng, giảm và dãy bị chặn trên chặn dưới. b) Bài tập cho VN: Bài 11 (SGK) 37, 38 40 (SBT)