Giáo án Đại số lớp 11 - Bài 2: Fãy số có giới hạn hữu hạn

Bài 2: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN A . Mục tiêu Kiến thức: Giúp học sinh - Nắm được định nghĩa dãy số có giới hạn là một cố thực L và các định lý về giới hạn hữu hạn của dãy số; - Hiểu cách lập công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn. Kỹ năng : Giúp học sinh - Biết vận dụng định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số để tìm giới hạn của một số dãy số ; - Biết vận dụng một cÁch linh hoạt cÁc định lý về giới hạn hữu hạn của dãy số để từ một số giới hạn đó biết tìm giới hạn của các dãy số khác; - Biết tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn và giải một số bài tập đơn giản liên quan đến cấp số nhân lùi vô hạn. Thái độ : Tích cực xây dựng bài học, tiếp thu và vận dụng kiến thức sáng tạo. Tư duy : Phát triển tư duy logic toán học , suy luận và sáng tạo. B . Chuẩn bị : Sách giáo khoa , sách bài tập C . Tiến trình bài dạy: Ổn định lớp : Kiểm tra bài cũ: (8’) Cho hai dãy số (un) = ; (vn) = . Chứng minh rằng un- 2 và (vn+ 2)có giới hạn bằng 0. Dạy bài mới: Câu dẫn vào bài: >. T G HOẠT ĐỘNG GV HOẠT ĐỘNG HS LƯU BẢNG 1 5’ Yêu cầu học sinh nhìn lại hai bài toán trên và nêu nhận xét về giới hạn của dãy (un) và (vn) thuộc tập số nào? Vậy dựa vào bài toán trên em nào có thể phát biểu được định nghĩa của dãy có giới hạn hữu hạn? Cho học sinh viết định nghĩa từ sách giáo khoa vào tập. Chú ý: để chứng minh lim(un) = L. Ta xét:lim (un – L) xem có bằng 0 hay không. Nếu có thì ta suy ra lim(un) = L. Chia lớp thành 5 nhóm hoạt động. Nhóm lẻ làm H1a; nhóm chẵn làm H1b vào phiếu học tập. Ưu tiên cho một nhóm chẵn và một nhóm lẻ đầu tiên. Cho các nhóm nhận xét chéo, sau đó giáo viên hoàn chỉnh bài giải. Dãy (un) với un = thì lim un = ? Hãy suy ra các giá trị từ u1 đến u5. Và nhận xét giá trị nào gần với lim un nhất ? Em nào tiếp tục cho cô biết khi n càng lớn thì giá trị của un như thế nào so với lim(un)? (càng gần hay càng xa lim(un)). Vậy cô có nhận xét thứ nhất. Dựa vào ví dụ 1, em nào cho cô nhận xét về giới hạn của một dãy không đổi với un = const. Thuộc tập số thực Là dãy số có giới hạn là các số thực. HS chép bài. Nhóm lẻ: Nhóm chẵn: lim(un) = 0 và u1 = u2 = u5 = u5 gần với giá trị lim(un) nhất. Càng gần so với lim(un) lim(un) = limc = c. Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn: Định nghĩa: dãy un cóGHHH lim (un – L ) = 0 lim (un) = L. KH: (SGK). Chú ý: để chứng minh lim un = L thì ta xét lim(un – L) (*). Nếu (*) bằng 0 thì ta suy ra điều phải chứng minh. VD: (lấy H1 làm ví dụ). Nhận xét: + n càng lớn thì giá trị của un càng gần so với lim(un). + Nếu un = c (c = const) thì lim(un) = c. + Khộng phải mọi dãy đều có giới hạn hữu hạn. + Giới hạn hữu hạn của một dãy nếu có là duy nhất. + Nếu un = L + vn với: L=const limvn=0 Thì lim(un) = L. Câu dẫn chuyển ý: >. TG HOẠT ĐỘNG GV HOẠT ĐỘNG HS LƯU BẢNG 10’ Cho học sinh chép định lý 1 và định lý 2 vào tập. Chia lớp thành 5 nhóm hoạt động. Nhóm chẵn làm H2; nhóm lẻ làm H3 (ưu tiên cho 1 nhóm chẵn và 1 nhóm lẻ đầu tiên). Cho các nhóm còn lại nhận xét bài của hai nhóm được dán trên bảng. Sau đó giáo viên hoàn chỉnh bài làm của các nhóm. HS chép bài. Các nhóm hoạt động. Đại diện của nhóm đứng lên hận xét. Một số định lý: a) Định lý 1: limun=L ⇒ limun= L lim2kun= 2kLlim2k+1un= 2k+1L với k ≥1 b) Định lý 2: Cho lim un = L; lim vn = M; c = const. Khi đó: limun. vn= L.M. Suy ra: limun vn= LM với M≠0 limc. un= c.limun=c.L Ví dụ: (lấy H2; H3 làm ví dụ). Dán phiếu học tập của hai nhóm đầu tiên. Câu dẫn chuyển ý: > TG HOẠT ĐỘNG GV HOẠT ĐỘNG HS LƯU BẢNG 8’ Mời HS nhắc lại công thức tính tổng của một cấp số nhân với công bội q ≠ 1. Khi q<1 thì dãy (un) đgl dãy CSN lùi vô hạn lần. Nếu cô đặt S = lim Sn thì em nào cho cô biết công thức tính S dựa vào Sn. (mời HS). Nếu HS chưa tính được thì GV hướng dẫn thêm. Gọi HS nêu hướng làm H4 và yêu cầu về nhà hoàn thiện H4. Cho HS hoạt động cá nhân ở H5. Ưu tiên cho 1 quyển tập đầu tiên. Sau 1 phút gọi 2 HS lên bảng. Mời các em còn lại nhận xét bài làm trên bảng. Cho điểm. TL: TL: Sn=u11-q-u1. qn1-q Suy ra: HS trả lời. HS làm theo yêu cầu của GV. Tổng CSN lùi vô hạn lần: Định nghĩa: un:CSNlùi vô hạn lần ⟺ un:CSNq<1 Công thức tính tổng: S=u11-q Bài tập áp dụng: (lấy H5 làm bài tập áp dụng). D . Củng cố: (3’) Tóm tắt : + Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn . + Một số định lý. + Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. E . Bài tập về nhà: Các bài 5, 6, 7, 9 trang 134 - 135. (1’) Chữ ký GVHD Nguyễn Thị Thanh Hằng Bài 7: MỘT VÀI QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC Mục tiêu: 1. Kiến thức Giúp học sinh nắm được các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm và tại vô cực. 2. Kỹ năng: Giúp học sinh biết vận dụng các qui tắc đó để từ các giới hạn đơn giản tìm các giới hạn vô cực của các hàm số khác. 3. Thái độ: Tích cực xây dựng bài học, tiếp thu và vận dụng kến thức. 4. Tư duy: Phát triển tư duy logic toán học, suy luận. Phương pháp dạy học: Gợi mở, vấn đáp. Hoạt động nhóm: chia 5 nhóm. Chuẩn bị: Sách giáo khoa, bài tập, bảng phụ, phiếu học tập. CÁC BƯỚC LÊN LỚP: Kiểm tra bài cũ: (5’) Cho hàm số fx= x2-x+m nếu x≤1x2x-1 nếu x>1. Tìm m để f(x) có giới hạn khi x→1? Giảng bài mới: Câu dẫn vào bài: > TG HOẠT ĐỘNG GV HOẠT ĐỘNG HS GHI BẢNG 3’ Trong bài 4, các định lý về giới hạn chỉ đúng đối với các giới hạn hữu hạn. Trong bài hôm nay chúng ta sẽ được biết thêm một định lý nữa liên quan tới giới hạn vô cực. Để thực hiện các phép toán trên những bài toán có giới hạn vô cực thì chúng ta cần nắm được những quy tắc của nó. Học sinh lắng nghe và ghi chép Định lý: 12’ Gọi học sinh nhắc lại các quy tắc về dấu của hai số thực. Yêu cầu học sinh hoàn thiện bảng phụ. Đặt câu hỏi gợi mở để học sinh tự nhận ra quy tắc về hiệu của hàm số có giới hạn vô cực. Yêu cầu học sinh hoàn thiện bảng phụ. Đặt câu hỏi gợi mở để học sinh tự nhận ra quy tắc về thương của hàm số có giới hạn vô cực. Tích của hai số dương hoặc hai số âm là mộ số âm. Tích của một số dương và một số âm là một số âm. Học sinh làm theo yêu cầu của giáo viên. Các quy tắc về giới hạn vô cực: Quy tắc1:(quy tắc về dấu):giống với các quy tắc về dấu của số thực. Quy tắc 2:(tổng của hàm số có giới hạn vô cực). Bảng phụ 1 Chú ý: quy tắc về hiệu của hàm số có giới hạn vô cực được suy ra từ quy tắc 2. Quy tắc 3:(tích của hàm số có giới hạn vô cực). Bảng phụ 2 Chú ý: quy tắc về thương của hàm số có giới hạn vô cực được suy ra từ quy tắc 3 theo phép biến đổi : 2’ Các em có nhận xét gì khi cô thay giới hạn của bằng các giới hạn x→x0+ ; x→x0− . (các định lý và quy tắc trên có có thay đổi không?). Các định lý và quy tắc trên vẫn không thay đổi. Chú ý: các định lý và quy tắc trên vẫn đúng cho mọi trường hợp: x→x0+ ; x→x0− ; 18’ Dựa vào những quy tắc và định lý trên, yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động nhóm. Lớp chia ra làm 5 nhóm; nhóm lẻ thực hiện H1; nhóm chẵn thực hiện H2 vào phiếu học tập do giáo viên phát. Ưu tiên cho một nhóm chẵn và một nhóm lẻ đầu tiên. Gọi các nhóm còn lại nhận xét. Sau dó giáo viên sữa chữa chính xác bài toán và yêu cầu học sinh ghi bài vào tập. Hướng dẫn học sinh cách làm ví dụ 5 trong sách . Yêu cầu học sinh về nhà hoàn thiện ví dụ vào tập. Lớp hoạt động theo nhóm. Học sinh làm theo yêu cầu của giáo viên. Học sinh lắng nghe. Các ví dụ: Dán phiếu học tập của 2 nhóm đầu tiên lên bảng. Ví dụ 1: Tìm Giải: Ta có: với mọi x > 0. Vì và < 0 Nên Ví dụ 2: Tìm Giải: Vì và x-2 < 0 với mọi x < 2 nên Củng cố: Nhắc lại hai quy tắc tính giới hạn vô cực (5’) Dặn dò: Làm bài tập 34, 35, 36, 37 trang 163 Bảng phụ 1 + +∞ −∞ L (∈ R) +∞ +∞ +∞ − ∞ (VĐ) +∞ −∞ Bảng phụ 2 x +∞ −∞ L > 0 L < 0 0 +∞ −∞ +∞.0(VĐ) −∞ Chữ ký GVHD Nguyễn Thị Thanh Hằng Bài 7: CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH Mục tiêu: 1. Kiến thức: Giúp học sinh nhận biết được dạng vô định khi giải các bài toán tìm giới hạn và nắm được các kỹ năng giải các bài toán đó 2. Kỹ năng: Rèn luyện các cách khử dạng vô định. 3. Thái độ: Tích cực xây dựng bài học, tiếp thu và vận dụng kến thức. 4. Tư duy: Phát triển tư duy logic toán học, suy luận. phương pháp dạy học: Gợi mở, vấn đáp. Hoạt động nhóm: chia 5 nhóm. Chuẩn bị: Sách giáo khoa, bài tập, bảng phụ, phiếu học tập. Tiến trình bài dạy: Ổn định lớp: Kiểm tra bài cũ: (5’) Nhắc lại định lý về giới hạn hàm số. Nhắc lại quy tắc tìm giới hạn vô cực. Tính Dạy bài mới: TG HOẠT ĐỘNG GV HOẠT ĐỘNG HS LƯU BẢNG 3’ Yêu cầu HS nhận xét dạng của (1). Và cho biết đó có phải là giới hạn của hàm số cần tìm chưa? (Nếu học sinh trả lời đó là giới hạn của hàm số thì giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại định nghĩa về GHHS). Đó là một trong các dạng vô định của hàm số. Biểu thức (1) có dạng: hoặc Chưa phải là GHHS Các dạng vô định của hàm số: ∞∞; 00;0.∞; ∞-∞ 2’ Để giải các bài toán này ta phải khử dạng vô định. Sau đây cô sẽ đưa ra một số phương pháp chung để tìm giới hạn các dạng vô định của hàm số. HS lắng nghe và ghi chép. Phương pháp tìm giới hạn các dạng vô định: B1. Xác định đúng dạng vô định. B2. Khử các dạng vô định. B3. Sử dụng các định lý, quy tắc đã học ở bài 4 và bài 6 để tính giới hạn. B4. Kết luận. 1 7’ Cho học sinh nhận dạng VD1, VD2 trong SGK và nêu cách khử. (gọi 2 học sinh phát biểu). Cho các nhóm thời gian 2 phút để tìm ra cách khử của H1 và H2. Dựa vào cách khử của VD1 và H1; VD2 và H2 em cho cô biết cách khử tồng quát của hai dạng trên. (gọi 2 HS). Cho các nhóm hoạt động. Nhóm lẻ làm H1; nhóm chẵn làm H2 vào phiếu học tập. Mỗi hoạt động ưu tiên cho một nhóm đầu tiên, và nếu có bài giải chính xác thì cả nhóm sẽ được điểm cộng. Nhận xét, sửa chữa bài làm của hai nhóm và lấy bài toán đó làm ví dụ. Nhìn vào VD vừa giải các em nhận thấy ta cần chú ý điều gì? Gọi HS khai căn của biểu thức2nx2n và 2n+1x2n+1 Dựa vào cách giải các bài toán trên em nào có thể cho cô biết các phương pháp khử hai dạng vô đinh trên được không? VD1: Nhân – chia biểu thức liên hợp VD2: Chia tử và mẫu cho x3. Hai HS đại diện cho hai nhóm trả lời. Học sinh hoạt động theo nhóm. Lớp chú ý bài giải và ghi vào tập. Chú ý về dấu khi khai căn của biểu thúc 2nx2n= x nếu x ≥0-x nếu x<0 2n+1x2n+1= x (∀x∈R) Học sinh lắng nghe và sửa vào tập. HS lắng nghe, trả lời và chép vào Một số phương pháp thường dùng để khử các dạng vô định a).Dạng 00 và ∞∞ VD1:Tìm VD2:Tìm * Chú ý:cần chú ý về dấu khi khai căn của một biểu thức. Chẳng hạn: 2nx2n= x nếu x ≥0-x nếu x<0 2n+1x2n+1= x (∀x∈R) Phương pháp khử: Dạng : Biến đổi phân thức, thông thường là xác định rồi chia tử và mẫu cho xp (với p là số mũ cao nhất của tử và mẫu trong phân thức). Dạng : Phân tích tử, mẫu của phân thức thành nhân tử. Triệt tiêu nhân tử chung của tử, mẫu. 8’ Chia nhóm hoạt động. (Nhóm chẵn xem VD4, nhóm lẻ xem VD3 và nêu cách khử của từng VD). Cho các nhóm còn lại nhận xét. Gọi hai HS lên bảng làm ví dụ. Trao đổi, thảo luận và đưa ra cách khử. Hai HS lên bảng làm bài. Các em còn lại làm vào tập. Dạng 0.∞ và +∞ - ∞: Thông thường ta sẽ biến đổi về dạng . Củng cố: Treo bảng phụ tóm tắt phần nội dung của buổi học. (4’) PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ KHỬ MỘT SỐ DẠNG VÔ ĐỊNH ∞∞ 00 ∞-∞ 0.∞ Chia tử và mẫu cho xp Phân tích tử, mẫu thành nhân tử. Triệt tiêu nhân tử chung của tử và mẫu. +Nhân & chia biểu thức liên hợp + Biến đổi về dạng Chú ý: Cẩn thận trọng khi khai căn của một biểu thức Bài tập về nhà: Từ bài 38 đến bài 40 trang 166. Chuẩn bị trước phần luyện tập ở nhà. Chữ ký GVHD Nguyễn Thị Thanh Hằng §2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I. Mục tiêu: 1. Kiến thức: - Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng. - Hai đường thẳng vuông góc trong không gian. 2. Kỹ năng: - Biết xác định và tính góc giữa 2 đt bằng 2 cách. 3. Thái độ: - Tích cực, hứng thú học tập. II Chuẩn bị: 1.Gv: Câu hỏi trắc nghiệm trong phần củng cố. 2.Hs: Đã được học góc giữa hai đường thẳng trong mp. III. Tiến trình: 1.Kiểm tra bài cũ: (5 phút) - Khái niệm góc giữa hai đường thẳng trong mp? - Khái niệm vtcp của đường thẳng? 2. Bài mới: HĐ1:(góc giữa hai đường thẳng trong không gian). T G HOẠT ĐỘNG GV HOẠT ĐỘNG HS GHI BẢNG 8’ -Trong kg, cho 2 đt a & b bất kỳ. Muốn xác định góc giữa hai đường thẳng này ta phải làm gì? Nêu đn 1 - Nếu lấy Oa hoặc Ob thì góc giữa a & b được xđ như thế nào? - Góc giữa hai đt a & b không vượt qua bao nhiêu độ? Vì sao? - Nếu lần lượt là hai vectơ chỉ phương của a & b và thì ta có thể xđ góc giữa a & b thông qua không? - Cho hs hđ theo nhóm ở bảng phụ 1. - Lấy 1 điểm O tuỳ ý. Dựng a’ // a, b’// b. Khi đó góc giữa a và b là góc giữa a’ và b’. -Kẻ b’// b ( hoặc a’// a) qua O. Khi đó góc giữa a & b chính là góc giữa hai đt a & b’( hoặc a’ và b ) - Hs trả lời -Xđ được góc giữa a & b bằng nếu 900 v bằng 1800- nếu > 900. I. Góc giữa hai đường thẳng: (trong không gian) 1.ĐN1: ( sgk trang 92) 2.NX: (sgk trang 92) HĐ2 :khắc sâu kiến thức về góc giữa hai đt trong kg (10’) T G HOẠT ĐỘNG GV HOẠT ĐỘNG HS GHI BẢNG 1 0’ - Cho ví dụ 1(sgk trang 92 ) - Hướng dẫn hs gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SA, SB, AC. - Sau khi hs giải theo cách hai, gv gợi ý hs giải theo cách 1 trong sgk và chỉ ra ưu thế của cách tính thông qua 2 vectơ - Hs đọc kỹ và phân tích đề - Hs giải theo cách 2 sgk - Hs giải theo c cáh 1 sgk. 3. VD1: (SGK trang 92) Cách 1: ( cách 2 sgk ) Cách 2: ( cách 1 sgk ) HĐ3: ( Hai đt vuông góc ). T G HOẠT DỘNG GV HOẠT ĐỘNG HS GHI BẢNG 7’ - Nếu góc giữa hai đt a & b ll2 900 thì ta có thể kl gì về vị trí tương đối của a & b? - Nếu lần lượt l 2 vtcp của a & b thì ? - Giả sử: a // b v ca. ta kl gì về b & c ? - Hai đt vuông góc trong kg có thể cho nhau hai không? -Yêu cầu hs tìm những hình ảnh trong thực tế để minh hoạ cho góc giữa hai đt và hai đt vuông góc trong kg. - Hs trả lời -ab 0 - Nếu : a // b và ca thì cb. - Hai đt vuông góc trong kg có thể cắt nhau hoặc cho nhau. ( Dựa vào ĐN1) - Hs tìm. II. Hai đường thẳng vuông góc ĐN 2: (sgk) 2. NX: HĐ4: (củng cố ĐN2). (10’) TG HOẠT ĐỘNG GV HOẠT ĐỘNG HS GHI BẢNG 10’ Cho vd2 sgk trang 94 - Gợi ý: chứng minh A’B’C’D’ là hình vuông. Hs đọc kỹ đề - Ta có: A’B’C’D’lhình bình hành. Mặt khác: Vậy CB’CD nn A’B’CD là hình vuông.Suy ra diện tích hình vuông bằng a2. VD2: ( sgk ) Củng cố: ( 5’): Nhắc lại 2 ĐN, sau đó cho hs trả lời 3 câu hỏi. (bảng phụ 2) Bài tập: 9, 10, 11 trang 96. Bảng phụ 1: cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’. Tính góc giữa hai đườngthẳng AB và B’C’; A’C’ và B’C. Bảng phụ 2: Câu 1: Trong không gian cho hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c. Hỏi a và b có song song với nhau không? Câu 2: Cho a và b là hai đường thẳng vuông góc với nhau. Gọi c là đường thẳng vuông góc với a. Câu 3: Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a có vuông góc với c không? Chữ ký GVHD Nguyễn Thị Thanh Hằng