Giáo án Giải tích lớp 11 - Tiết 54, 55, 56, 57: Giới hạn của dãy số

Tiết:54 – 57 Tuần: Bài: I/ Mục đích yêu cầu: 1. Kiến thức: Nắm vững định nghĩa giới hạn của dãy số Nắm vững các định lý về giới hạn hữn hạn và vô tận của dãy số Công thức tính tổng của 1 CSN vô hạn và công bội q với < 1 và giới thiệu số e = 2. Kỹ năng : Tìm được giới hạn của dãy số bằng định nghĩa Tìm được giới hạn của dãy số bằng cách vâïn dụng các định lý II/ Chuẩn bị: Giáo viên: Học sinh: III/ Tiến trình bài dạy: Ổn định lớp: Kiểm tra học sinh vắng Kiểm tra bài cũ: Bài mới: T/gian Nội dung bài ghi Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh 1. Định nghĩa giới hạn của dãy số: Ví dụ : Cho dãy số Biểu diễn hình học của dãy số này trên trục số Ta thấy khi n càng lớn thì khoảng cách từ điểm un đến () càng nhỏ, nó có thể nhỏ bao nhiêu tùy ý miễn là chọn n đủ lớn. Tổng quát, muốn 0 cho trước, nhỏ tùy ý ) ta chỉ việc lâùy hay n>. Gọi N là số tự nhiên sao cho N thì chỉ việc lấy n> N Ta nói dãy số đã cho có giới hạn là khi n dần ra vô cực Định nghĩa : Ta nói rằng dãy số ( un ) có giới hạn là a nếu với mọi số dương cho trước ( nhỏ bao nhiêu tùy ý ) , tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N thì Ta viết : un = a hay thường viết tắt lim un = a. Như vậy , trong ví dụ trên ta có lim Dựa vào định nghĩa , c/m được rằng : lim= 0. Suy ra lim= 0 lim C = C ( C là hằng số ) lim 2. Một số định lý về giới hạn của dãy số: Định lý 1: (Điều kiện cần để dãy số có giới hạn) Nếu một dãy số có giới hạn thì nó bị chặn Định lý 2: (Tính duy nhất của giới hạn ) Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất Định lý 3: (Điều kiện đủ để dãy số có giới hạn ) Nếu một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn. Nếu một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn Định lý 4: (Giới hạn của một dãy số kẹp giữa hai dãy số dần tới cùng một giới hạn ) Cho 3 dãy số (un) , (vn), (wn) Nếu nN*, ta có vn un wn và lim vn =lim wn = A thì lim un =A Định lý 5: (Các phép tóan trên các giới hạn của dãy số ) Nếu hai dãy số (un ) và (vn ) có giới hạn thì ta có lim (un + vn ) = lim un + lim wn lim (un - vn ) = lim un - lim wn lim (un . wn) = lim un . limwn lim (nếu lim vn 0 ) Nếu dãy số (un) có giới hạn thì Định lý 6: Nếu <1 thì lim q n = 0 Ví dụ: Tính các giới hạn sau: = 3. Tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q với <1: Cho u1 , u2 , , un , với < 1. Khi đó: S = Ví dụ: Tính: 1+ (-)++()+(-)n-1+ 1+++++ + 4. Số e: Xét dãy số (un) với Người ta chứng minh được dãy này tăng và bị chặn trên. Vậy dãy này có giới hạn và giới hạn đó được gọi là số e2.71828 Ta có: lim = e 5. Dãy số dần tới vô cực: Ví dụ: Xét dãy số (un) vói un = (-1)n .3n Khi n càng lớn thì càng lớn, nó có thể lớn bao nhiêu tùy ý, miễn là n đủ lớn Ta nói dãy số đã cho dần tới vô cực Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực nếu với mọi số dương M (lớn bao nhiêu tùy ý), tồn tại số tự nhiên N sao cho, với mọi n > N thì > Ta viết lim un = hay Chú ý: Khi dãy số (un) dần tới vô cực thì nó không bị chặn, do đó theo định lý 1, nó không có giới hạn , song để cho tiện người ta vẫn dùng ký hiệu lim un = Tuy nhiên, vì trường hợp này (un) không có giới hạn nên không được phép áp dụng các định lý về giới hạn của dãy số Ví dụ: Dùng định nghĩa giới hạn, cm: Định lý : Nếu lim un= 0 (un0, ) thì lim và ngược lại nếu lim un= thì lim Ví dụ: Tính các giới hạn sau: Bài tập: 1,8/116 – SGK KT 15 phút