Giáo án Hình học khối 11 - Chương I: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Chương I Đường thẳng và Mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song Đ1. đại cương về đường thẳng và mặt phẳng 1. Mở đầu về hình học không gian Trong chương trình hình học lớp 10 và chương I của hình học lớp 11, ta chỉ xét các hình trong mặt phẳng như : tam giác, đường tròn, vectơ,Chúng được gọi là những hình phẳng. Xung quanh chúng ta, còn có các hình không nằm trong mặt phẳng như : cái bút chì, quyển sách, quả bóng, ngôi nhà,. Nghiên cứu tính chất của các hình có thể không cùng nằm trong một mặt phẳng là nội dung của môn học gọi là Hình không gian. Ngoài điểm, đường thẳng, hình không gian có khái niệm mới là mặt phẳng. ã Mặt phẳng là hình như thế nào? Trang giấy, mặt bảng đen, mặt tường lớp học, mặt bàn, tấm gương, mặt hồ nước khi lặng gió, cho ta hình ảnh về một phần mặt phẳng. Cũng như “điểm”, “đường thẳng” người ta không định nghĩa “mặt phẳng”. * Vậy làm thế nào để hiểu và sử dụng mặt phẳng ? -Trước tiên, mỗi mặt phẳng được quy ước biểu diễn bằng một hình bình hành và dùng chữ in hoa đặt trong dấu ( ) để đặt tên cho mặt phẳng ấy (h.11). Thí dụ : mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q) hoặc viết tắt mp(P), mp(Q) hoặc (P), (Q). P ã A Hình 11 d F E Nếu điểm A thuộc mặt phẳng (P) thì viết Aẻ(P) hoặc Aẻmp(P) Nếu điểm A không thuộc mặt phẳng (P) thì viết Aẽ(P) hoặc Aẽmp(P). Nếu đường thẳng d thuộc mặt phẳng (P) thì viết dẻ(P) hoặc dẻmp(P) Nếu đường thẳng d không thuộc mặt phẳng (P) thì viết dẽ(P) hoặc dẽmp(P) - Ta hiểu và sử dụng mặt phẳng thông qua các tính chất thừa nhận của hình học không gian. 2. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian Tính chất 1 Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước (h12). Tính chất 2 Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng (h.13). Tính chất 3 Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng (h.14). Tính chất 4 Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì nó có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng ấy (h.15). Đường thẳng chung của hai mặp phẳng phân biệt được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng ấy. Tính chất 5 Trên mỗi mặt phẳng các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. P ã A Hình 13 B ã ã C F ã ã A B d Hình 12 G Hình 14 P A ã B ã ã C ã D F , P ã A Hình 15 a Q F Giao tuyến ã Định lý Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó (h.14). 3. Điều kiện xác định mặt phẳng Mặt phẳng được xác định bằng một trong ba cách sau đây: ã Mặt phẳng xác định khi biết ba điểm không thẳng hàng thuộc nó (h.16a). (suy từ tính chất 2) ã Mặt phẳng xác định khi biết nó đi qua một đường thẳng một điểm không không nằm trên đường thẳng ấy (h.16b). (suy từ tính chất 2 và 1) ã Mặt phẳng xác định khi biết nó đi qua hai đường thẳng cắt nhau (h.16c). P Hình 16.c P ã A Hình 16b d P ã A Hình 16.a B ã ã C a b E F F H (suy từ tính chất 2 và 1) 4. Hình chóp và tứ diện Định nghĩa 1 Cho đa giác A1A2An và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P) chứa đa giác. Nối S với các đỉnh A1, A2, , An tạo ra n tam giác : SA1A2, SA2A3, SAn-1An. ã Hình gồm n tam giác đó và đa giác A1A2An gọi là hình chóp và được ký hiệu là S. A1A2An + Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp + Hình đa giác A1A2An gọi là mặt đáy của hình chóp. + Các cạnh của mặt đấy gọi là cạnh đáy của hình chóp. + Các đoạn thẳng SA1, SA2, , SAn gọi là các cạnh bên của hình chóp. + Các hình tam giác SA1A2, SA2A3, SAn-1An. gọi là các mặt bên của hình chóp. * Nếu đáy của hình chóp là tam giác, tứ giác, ngũ giác, ... thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác, ( Hình chóp chỉ có một đỉnh và một mặt đáy). Định nghĩa 2 Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. ã Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện. + Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh của hình tứ diện + Các đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, CD, DB gọi là các cạnh của hình tứ diện + Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi hai cạnh đối diện . + Các tam giác ABC, ACD, ADB, BCD gọi là các mặt của hình tứ diện. + Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện của mặt đó. (Hình tứ diện có thể xem là hình chóp tam giác. Khi đó mỗi đỉnh của hình tứ diện đều có thể xem là một đỉnh của hình chóp tương ứng) 5. Các thí dụ và bài toán cơ bản Thí dụ 1 Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm I, đường thẳng c cắt đường thẳng a tại điểm A (ẠI), cắt đường thẳng b tại điểm B (BạI). Chứng tỏ ba đường thẳng a, b, c cùng nằm trong một mặt phẳng. Lời giải Gọi (P) là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b (h.17). Như vậy ị . Đường thẳng c đi qua hai điểm A và B của P ã Hình 17 ã ã I B A a b c P ã Hình 18 I a b c H mặt phẳng (P), theo định lý trên suy ra cẻ(P) Vậy a, b, c cùng nằm trong một mặt phẳng (P). (đpcm) Lời bình Từ Thí dụ trên ta suy ra : 1) Nếu ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng mà đôi một cắt nhau thì chúng đồng quy tại một điểm (h.18). Thật vậy : Giả sử I=aầb, A=cầa; B=cầb. Gọi (P)=(a, b). Nếu ẠI kết hợp với cạa suy ra BạI . Theo Theo thí dụ trên cẻ(P) ị cả a, b, c đều thuộc (P). Mâu thuẫn. Vậy a, b, c phải đồng qui (đpcm). a b c P Q R I Hình 19 E 2) Cho ba mặt phẳng phân biệt (P), (Q), (R) đôi một cắt nhau : a=(P)ầ(Q), b=(P)ầ(R), c=(Q)ầ(R). Nếu có hai trong ba giao tuyến ấy cắt nhau thì cả ba giao tuyến ấy đồng quy (h.19). Thật vậy, theo giả thiết: (P)=(a, b), (Q)=(a, c), R=(b, c). Do (P), (Q), (R) là ba mặt phẳng phân biệt ị a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng. Nếu a cắt b tại điểm I thì theo Thí dụ trên ị a, b, c phải đồng qui tại I (đpcm). Thí dụ 2 Cho hai tam giác ABC và A’ B’ C’ không đồng phẳng sao cho đường thẳng AB cắt A’B’ tại g, đường thẳng BC cắt B’C’ tại a, đường thẳng CA cắt C’A’ tại b. Chứng minh rằng nếu AA’ cắt BB’ tại O thì CC’ cũng đi qua O. C a B’ C’’ b Hình 20 g O A’’ B E Lời giải Gọi (P)=(AB, BB’), (Q)=(BC, B’C’), (R)=(AC, A’C’). (h.20) Đó là ba mặt phẳng phân biệt. Rõ ràng A (P)ầ(Q)=BB’, (P)ầ(R)=AA’, (R)ầ(Q)=CC’. Theo lời bình sau Thí dụ 2 ở trên thì AA’, BB’, CC’ đồng quy hay CC’ đi qua O (đpcm). Bài toán1. Xác định giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ã Để tìm giao điểm của đường thẳng (D) với mặt phẳng (P), ta tìm giao điểm của (D) với một đường thẳng (d) thuộc (P). Khi đó (D)ầ(d) cũng chính là giao điểm giữa (D)ầ(P). ã Để tìm giao điểm của hai mặt phẳng, một cách có thể là chỉ ra hai điểm chung giữa chúng. Thí dụ 3 Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (a) có hai cạnh AD và BC không song song. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (a) và K(KạS, KạB) là điểm trên đoạn thẳng SB. 1) Tìm giao điểm đường thẳng BC với mặt phẳng (SAD). 2) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) với mặt phẳng (SBD). 3) Tìm giao điểm đường thẳng SC với mặt phẳng (ALD). Lời giải 1) -Dựng E=ADầBC (Do AD và BC không song song điểm E tồn tại).(h.21) Bởi ADẻ(SAD) ị Điểm E là giao của đường thẳng BC với mặt phẳng (SAD). 2) -Dựng O=ACầBD Ta có A B C D S L I K O E G F H Hình 21 ị O là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). (1) - Lại có S là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). (2) Từ (1), (2) suy ra của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO. 3) - Trong mặt phẳng (SBD), nối KD, lấy I=KDầSO. - Trong mặt phẳng (SAC) kẻ đường thẳng AL. - Lấy L=SCầAL. Rõ ràng ị L là giao điểm của đường thẳng SC với mặt phẳng (AKD). Lời bình Bài toán tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng là bài toán dựng hình. Nhưng lời giải không phải trình bày chứng minh. Bài toán 2. Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Chứng minh ba đường thẳng dồng quy. ã Các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt là một đường thẳng. Bởi thế, một cách để chứng minh ba điểm thẳng hàng là chứng minh mỗi điểm trong chúng đều là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt. ã Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, bạn có thể làm theo hai cách sau: Cách 1: Chứng minh chúng là giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt Cách 2: Chứng minh một đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường còn lại. Thí dụ 4. Cho mặt phẳng (P) ba điểm A, B, C không thẳng hàng và không nằm trên (P). Chứng minh rằng nếu các đường thẳng AB, BC, CA đếu cắt mặt phẳng (P) thì ba giao điểm ấy thẳng hàng. Lời giải Gọi a, b, g theo thứ tự lần lượt là giao điểm của các đường thẳng BC, CA, AB với mặt phẳng (P). (h. 22) Gọi (Q) là mặt phẳng xác định bởi ba điểm không thẳng hàng A, B, C. P Hình 22 Q A B C a b g Ta có điểm a thuộc đường thẳng BC ị aẻ(Q). Lại có aẻ(P), nên a là điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (Q) ị (P) và (D) (Q) cắt nhau. Gọi (D)=(P)ầ(Q) ta có aẻ(D) (1) Tương tực bẻ(D), gẻ(D) cũng là các điểm thuộc (D). (2) Từ (1), (2) suy ra cả ba điểm a, b, g thẳng hàng (đpcm). Thí dụ 5 Cho hình bình hành ABCD và điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABCD). Gọi B’, C’, D’ theo thứ tự là ba điểm thuộc SB, SC, SD sao cho ,, 1) Xác định a, b theo thứ tự là giao điểm của mặt phẳng (B’C’D’) lần lượt với các đường thẳng BC, CD. 2) Xác định A’theo thứ tự là giao điểm của mặt phẳng (B’C’D’) với đường thẳng SA. 3) Xác định giao điểm I của đường thẳng B’C’ với mặt phẳng (SAC). 4) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Chứng minh S, I, O thẳng hàng. 5) Chứng minh các đường thẳng ab, AD và B’C’ đồng quy. S A D g B C a A’ B’ D’ I O C’ b Hình 23 J Lời giải 1) (h.23) -Trong mặt phẳng (SAC), kéo dài B’C’ và BC cho chúng cắt nhau tại a. Do , ị nên a tồn tại. Do B’C’ẻ(B’C’D’) ị a là giao điểm của mặt phẳng (B’C’D’) với đường thẳng BC. -Tương tự b=C’D’ầCD là giao điểm của mặt phẳng (B’C’D’) với đường thẳng CD. 2) Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ đường thẳng (D) đi qua hai điểm a và b. Kéo dài AC cắt (D) tại J. Trong mặt phẳng (SAC) kẻ đường thẳng JC’ cắt SA tại A’. Điểm A’chính là giao của đường thẳng SA với mặt phẳng (B’C’D’) mà ta phải tìm. 3) Lấy I=B’C’ầA’C’ ta có I chính là giao của đường thẳng B’C’ với mặt phẳng (SAC) mà ta phải tìm. 4) Thấy rằng S, I, O là những điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) nên chúng thẳng hàng (đpcm) 5) Ta có ab=(ABCD)ầ(B’C’D’), AD’=(SAD)ầ(B’C’D’), AD=(B’C’D’)ầ(ABCD). Đường thẳng (D) cắt đường thẳng BC, mà BC//AD nên (D) cắt đường thẳng AD. Bởi thế theo lời bình sau Thí dụ 1 thì ab, AD và B’C’ đồng quy (đpcm). Thí dụ 6 Cho tứ diện ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác BCD, ACD, ADB, ABC. Chứng minh các đường thẳng AA’, BB’, CC’, DD’ đồng quy. Lời giải Gọi I là trung điểm CD. Nối IB, IAị IB, IA theo thứ tự là các trung tuyến của tam giác BCD và ACD (h.24) Bởi thế A’ là trọng tâm DBCD Û A’ẻIB và (1) A B A’ I B’ G C D ã Hình 24 G Tương tự B’ là trọng tâm DACD Û B’ẻIA và (2) Từ (1), (2) suy ra A’B’//BA. ã Bởi vậy, gọi G=AA’ầBB’ ta có (3) ã Tương tự, gọi G1= AA’ầDD’ ta có cũng có (4) Từ (3), (4) suy ra G1ºG hay DD’ cũng đi qua G. Tương tự ta cũng có CC’ cũng đi qua G hay các đường thẳng AA’, BB’, CC’, DD’ đồng quy (đpcm) Chú ý : Điểm G nói trên được gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD.Đường thẳng nối mỗi đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện gọi là đường trọng tuyến của tứ diện. Thí dụ trên cho thấy: các đường trọng trong một tứ diện tuyến đồng quy tại một điểm. Bài toán 3. Dựng thiết diện-Phương pháp giao tuyến gốc Trong Hình 23 ở trên, tứ giác A’B’C’D’ được gọi là thiết diện của hình chóp SABCD tạo bởi mặt phẳng (B’C’D’) Trong Hình 24 ở trên, tam giác ABI được gọi là thiết diện của tứ diện ABCD tạo bởi mặt phẳng (ABI). ã Tập hợp các giao điểm của các cạnh của một hình không gian (H) với mặt phẳng (P) lập thành các đỉnh của một đa giác. Đa giác tạo thành như thế gọi là thiết diện (hay còn gọi là mặt cắt) của hình không gian (H) tạo bởi mặt phẳng (P). ã Bài toán dựng thiết diện là bài toán dựng hình nhưng không phải trình bày chứng minh. Thí dụ 7 Cho tứ diện ABCD và các điểm MẻAB, NẻAcsao cho không có điểm nào trùng với các đỉnh của tứ diện và MN không song song với BC. Gọi K là một điểm thuộc miền trong của tam giácBCD. Dựng thiết diện của tứ diện tạo bởi mặt phẳng (MNK). Lời giải A B D C T M N E F K ã F Hình 25 ã E - Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng MN cắt BC tại T (do MN không song song với BC nên luôn có điểm T) (h.25) - Trong mặt phẳng (BCD) kẻ đường thẳng TK cắt CD tại E, cắt BD tại F. - Nối M- N- E- F- M. Thiết diện là tứ giác MNEF. Lời bình ã Bài toán dựng thiết diện thực chất là bài toán xác định giao tuyến của của mặt cắt với các mặt của hình (H), trong đó mấu chốt là xác định giao điểm của các cạnh với mặt phẳng (P). Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng cần phải biết hai điểm. Trong Thí dụ trên, bài toán đã cho giao tuyến của mặt phẳng (MNK) với mặt (ABC) của tứ diện là MN. Trong các mặt còn lại chỉ mới biết một điểm. Để xác giao tuyến với các mặt ấy, trong mỗi mặt ta cần phải tìm một điểm thứ hai khác nữa. Điểm T-điểm thứ hai của giao tuyến với (BCD) được tìm thấy nhờ sự khai thông T=MNầBC. Rõ ràng T là một “nút điểm” để giải bài toán và đường thẳng MN là sứ giả khai thông bí mật ấy. Bởi thế nên đường thẳng MN được gọi là giao tuyến gốc. ã Phát triển từ giao tuyến gốc, chúng ta tìm được các giao tuyến còn lại của thiết diện. Cách dựng thiết diện như vậy gọi là “phương pháp giao tuyến gốc”. ã Trong Thí dụ trên, giao tuyến gốc đã cho lộ thiên. Trong nhiều bài bài toán khác không có sự “may mắn” ấy.Trong trường hợp đó, ta phải làm xuất hiện giao tuyến gốc. Các bạn theo dõi tiếp thí dụ dưới đây. Thí dụ 8 Cho hành chóp SABCD. Gọi N là một điểm thuộc cạnh BC (IạB, IạC) và K, L theo thứ tự là các điểm thuộc miền trong của các mặt bên SAB, SCD. Dựng thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (NKL). Lời giải - Trong mặt phẳng (SAB) kẻ đường thẳng SK cắt AB tại K’. - Trong mặt phẳng (SCD) kẻ đường thẳng SL cắt CD tại L’. - Trong mặt phẳng (SKL) kẻ các đường thẳng KL, K’L’ và lấy T1=KLầ K’L’ - Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đường thẳng T1N cắt CD tại M, cắt AB tại T2. F T1 Hình 26 A B C D S L’ L K K’ T2 M N X Y Z ã ã ã G F a - Trong mặt phẳng (SAB) kẻ đường thẳng T2K cắt SB tại X, cắt SA tại Y. - Trong mặt phẳng (SCD) kẻ đường thẳng ML cắt SD tại Z. - Nối M-N-X-Y-Z-M. Thiết diện là ngũ giác MNXYZ. Lời bình 1 - ý nghĩa của kẻ các đường thẳng SK, SL là tạo ra một mặt phẳng phụ (a) bất kì miễn rằng nó chứa hai trong ba điểm đã cho (điểm K và L) và (a) có cắt mặt phẳng chứa điểm còn lại (điểm I). Bạn nhớ điều này để vận dụng khi gặp các hình khác. - Trong mặt phẳng (a), ta dễ dàng tìm được “nút điểm” T1, từ đó khai thông các giao tuyến còn lại. - Bằng mặt phẳng phụ (a), ta đã cắt hình chóp SABC thành hai hình. Mỗi hình mới tạo ra đều đã “lộ thiên” giao tuyến gốc (đường thẳng KL). Đó là điều cắt nghĩa bản chất của việc dựng mặt phẳng phụ. Lời bình 2 Để suôn sẻ, lời giải trên cố lãng quên rằng “nút điểm” T1 có thể không tồn tại. Nếu sự thật này xảy ra, cách dựng trên bị đỗ vỡ, ta có tìm được thiết diện không? Xét ba mặt phẳng (ABCD), (KMN) và (a). Ta có (a)ầ(KMN)=SK, (a)ầ(ABCD)=S’K’. Gọi Nt là giao tuyến của (a) và (ABCD). Nếu Nt cắt S’K’ tại U, theo lời bình sau Thí dụ 1 trang 20, ta suy ra SK, S’K’ và Nt đồng quy tại Uị SK cắt (ABCD) tại U. Điều này mâu thuẫn với “nút điểm” T1 không tồn tại. Vậy Nt//S’K’. Bởi thế, trong lời giải của bài toán, thay vì kẻ đường thẳng T1N, ta kẻ đường thẳng Nt//S’K’ cắt CD tại M, cắt AB tại T2. Các bước tiếp theo của lời giải vẫn như trên. Bài tập Bài 1. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai? 1) Hai mặt phẳng có một điểm chung duy nhất. 2) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng. 3) Ba đường thẳng cắt nhau thì cùng nằm trong một mặt phẳng. 4) Có đúng hai mặt phẳng cắt nhau theo một đường thẳng cho trước. Bài 2. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai? 1) Hai mặt phẳng cùng chứa hai cạnh của một tam giác thì trùng nhau. 2) Mặt phẳng là hình bình hành. 3) Hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng phân biệt chỉ có thể cắt nhau tại một điểm trên giao tuyến của hai mặt phẳng ấy. 4) Có hai mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt. Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là trung điểm các cạnh AC, AD và G là trọng tâm tam giác BCD. 1) Xác định giao điểm của đường thẳng EF với mặt phẳng (ABG). 2) Xác định giao điểm của đường thẳng AG với mặt phẳng (BEF). 3) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ABG) và (BEF). Bài 4. Cho hình chóp SABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. I là một điểm trên SO. 1) Dựng thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (ABI) 2) Xác định giao điểm của mặt phẳng đường thẳng CD với mặt phẳng (ABI). Bài 5. Cho mặt phẳng (P), điểm Iẻ(P). Gọi a, b là hai đường thẳng thuộc mặt phẳng (P) và cắt nhau tại điểm O, C là đường thẳng cắt mặt phẳng (P) tại điểm I (IạO). Gọi M là một điểm trên đường thẳng c. Chứng minh khi M thay đổi, giao tuyến của hai mặt phẳng (M, a) và (M, b) nằm trong một mặt phẳng cố định. Bài 6. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AD và SC. Xác định Thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (MNP). Bài 7. Cho hai hình thang ABCD và BBEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng. 1) Xác định giao tuyến của từng cặp mặt phẳng sau đây: (AEC) và (BFD); (BCE) và (ADF) 2) Lấy một điểm M trên đoạn DF. Xác định giao điểm của đường thẳng AM với mặt phẳng (BCE) 3) Chứng minh hai đường thẳng AC và BF là hai đường thẳng không cắt nhau. Bài 8. Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và SC. 1) Xác định các giao điểm I, K của mặt phẳng (SBD) với các đường thẳng AN và MN. 2) Tính tỉ số . 3) Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng và tính tỉ số .