Giáo án Hình học lớp 10 (nâng cao)

HÌNH HỌC Chương I : VECTƠ §1: CÁC ĐỊNH NGHĨA TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng . + Vectơ có điểm đầu (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được kí hiệu là ( đọc là vectơ AB). A B + Một vectơ xác định còn được kí hiệu là (Chú ý: ) + Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ): Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơ-không, kí hiệu Ví dụ: ,.... + Giá của vectơ : Mỗi vectơ ≠ , đường thẳng AB gọi là giá của vectơ . Còn vectơ -không thì mọi đường thẳng qua A đều là giá của nó. + Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ. + Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau. Chú ý: + Độ dài của vectơ: đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài kí hiệu là ||, · Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài Nếu bằng thì ta viết =. = , ||= 0. Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìm a) Tất các vectơ khác ; b) Các vectơ cùng phương; c) Các vectơ bằng nhau. Các kí hiệu thường gặp cùng phương kí hiệu: // cùng hướng kí hiệu: ­­ ngược hướng kí hiệu: ­¯ CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng 1. Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ là Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó. Giải Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, {D,E}. Do đó có 20 vectơ khác Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ khác . Tìm điểm M sao cho: D m cùng phương Giải Gọi D là giá của Nếu cùng phương thì đường thẳng AM// D Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và // D Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì cùng phương Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau Ta có thể dùng một trong các cách sau: + Sử dụng định nghĩa: + Sử dụng tính chất của các hình . Nếu ABCD là hình bình hành thì , (hoặc viết ngược lại) + Nếu Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh: Giải Cách 1: EF là đường trung bình của D ABC nên EF//CD, EF=BC=CDÞ EF=CDÞ (1) cùng hướng (2) Từ (1),(2) Þ Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành EF=BC=CD và EF//CDÞ EFDC là hình bình hànhÞ Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN. Chứng minh: Giải Ta có MC//AN và MC=ANÞMACN là hình bình hành Þ Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm của MDÞ =. Tứ giá IMKN là hình bình hành, suy ra =Þ Ví dụ 3: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có chung điểm cuối (hoặc điểm đầu). Giải Giả sử . Khi đó AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thuôc nửa đường thẳng góc AÞ BºC. (trường hợp điểm cuối trùng nhau chứng minh tương tự) Ví dụ 4: Cho điểm A và vectơ . Dựng điểm M sao cho: a) =; b) cùng phương và có độ dài bằng ||. Giải Giả sử D là giá của . Vẽ đường thẳng d đi qua A và d// D D d A (nếu A thuộc D thì d trùng D). Khi đó có hai điểm M1 và M2 thuộc d sao cho: AM1=AM2=|| Khi đó ta có: a) = b) = cùng phương với Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua O. Chứng minh: . Giải BÀI TẬP §1 Bài 1: Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh tam giác? Bài 2: Cho hai vectơ không cùng phươngvà . Có hay không một véctơ cùng phương với cả hai véctơ đó. Bài 3: Cho ba vectơ cùng phương và đểu khác véctơ không. Chứng minh rằng co ít nhất là hai véctơ trong chúng có cùng hướng Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai véctơ và cùng hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng. Bài 5: Cho tam gác ABC. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA. Hãy vẽ hình và tìm trên hình vẽ các véctơ bằng ,,. Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Tìm các vectơ cùng phương với ; Tìm các vectơ cùng hướng với ; Tìm các vectơ ngược hướng với ; Tìm các vectơ bằng với , bằng với . Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O a) Tìm các vectơ khác và cùng phương ; b) Tìm các vectơ bằng vectơ ; c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ và có: + Các điểm đầu là B, F, C + Các điểm cuối là F, D, C Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O bằng vectơ ; Có độ dài bằng ê ê Bài 9: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu thì Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Chứng minh : Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau: a) và cùng hướng, ||>||; b) và ngược hướng; c) và cùng phương; Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng . Chứng minh . HD §1 Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ. Bài 2: có, đó là vectơ-không Bài 3: nếu ngược hướng và ngược hướng thì cùng hướng Bài 4: Cùng hướng khi A không nằm giữa B, C; ngược hướng khi A nằm giữa B, C. Bài 5: Bài 6: Bài 7: a) b) c)+ Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB khi đó * là vectơ cần tìm * Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB Do CC’//AB Þ + tương tự Bài 8: a) , b) Bài 9: Chứng minh chiều : * ABCD là hình bình hành * Chứng minh chiều : * = , cùng hướng và * và cùng hướng AB // CD (1) * AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành Bài 10: Þ AB=DC, AB//CDÞABCD là hình bình hành Þ Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng AC Và đều //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành Þ đpcm Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau: a) và cùng hướng, ||>||; b) và ngược hướng; c) và cùng phương; HD: a) và cùng hướng, ||>|| khi C nằm giữa A và B b) và ngược hướng, khiA nằm giữa B và C c) Cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng + cùng hướng: nếu ||>|| thì theo a); nếu ||<| thì B nằm giữa A và C. + Ngược hướng thì theo b) Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng . Chứng minh . HD: Ta có Þ AM=NP và AM//NPÞ AMNP là hình bình hành (1) Tương tự QMNP cũng là hình bính hành (2) Từ (1)&(2)Þ AºQÞ BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ Cho DABC. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác 2. Cho tứ giác ABCD a/ Có bao nhiêu vectơ khác b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. CMR : = Cho DABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA. a/ Xác định các vectơ cùng phương với b/ Xác định các vectơ bằng Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ và bằng CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ = . CMR : a/ I là trung điểm AB và = b/ = = Cho DABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng = và = a/ CMR : = b/ Hình tính tứ giác AKBN c/ CMR : = §2+3. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ Tóm tắt lý thuyết 1. Tổng các vectơ · Định nghĩa: Cho 2 véc tơ và. Lấy 1 điểm A tùy ý, dựng =,=. Khi đó += Phép lấy tổng của 2 véctơ đ gọi là phép cộng véctơ . · Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : + = · Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì + = A B C D 2. Vectơ đối + Cho vectơ . Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng được gọi là vectơ đối của vectơ , kí hiệu là - Þ +(-)= + Mọi vectơ đều có vectơ đối, ví dụ có vectơ đối là nghĩa là = - + vectơ đối của là . 3. Hiệu các vectơ (phép trừ) Định nghĩa: -= +(-) · Quy tắc về hiệu vec tơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có: (hoặc )hay 4. Tính chất : với bất kì ta có: + Giao hoán : = + Kết hợp () + = +) + +=+= + +(-)=-+= + |+| ≤ ||+||, dấu “=” xảy ra khi , cùng hướng. + ­¯ và || ≥ || Þ |+|=||-|| + = Û+=+ + += Û =-, =- + -(+)=--; -(-)=-+ Ghi chú: + Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB Û + Điểm G là trọng tâm tam giác ABC Û CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. a) Tìm tổng b) Chứng minh : Giải: a) + Vì nên ta có = == +Vì nên ta có = == +Vì nên ta có = =, E là đỉnh của hình bình hành AMED. b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên Vậy Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Chứng minh: Giải Vì O là tâm của lục giác đều nên: Þ đpcm Bài 3: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. a) Chứng minh rằng vectơ đều cùng phương b) Chứng minh và cùng phương. Giải a) Gọi d là đường thẳng chứa ODÞ d là trục đối xứng của ngũ giác đều. Ta có , trong đó M là đỉnh hình thoi AMBO và M thuộc d. Tương tự , N Î d. Vậy và cùng phương vì cùng giá d. b) AB và EC cùng vuông góc d Þ AB//EC Þ // Bài 4: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. a) Tìm . b) Phân tích theo hai vectơ . Giải a)= ==(Vì ) == == b) B A C D Bài 5: Cho hình thoi ABCD có =600 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Tính Giải Vì ABCD là hình thoi cạnh a và =600 nên AC= và BD=a. Khi đó ta có : Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo. Tính Giải Ta có AC=BD=; Do đó (vì ) Ta có Þ ||=BD= * Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau 1) Biến đổi vế này thành vế kia. 2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng. 3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh. Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì. Chứng minh rằng: (theo 3 cách) Giải Cách 1: (sử dụng qui tắc tổng) biến đổi vế trái Cách 2: (sử dụng hiệu) Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh: Giải VT = = = (vì )=VPÞ đpcm Bài 9: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng: Giải Ta có nên VT = = ==VPÞ đpcm Bài 10: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Chứng minh rằng với điểm O bất kì ta có: Giải VT = = = Mà Þ= Þ VT==VPÞ đpcm BÀI TẬP PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC VECTƠ Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : + = + Cho 5 điểm A, B, C, D, E. CMR : + + = + Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H. CMR : + + + = + + + Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR : a/ + = b/ + = c/ + + + = d/ + = + (với M là 1 điểm tùy ý) Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB. CMR : + = + Cho DABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý , , CMR : + + = + + . Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính úç theo a Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a. a/ Tính ½ç b/ Dựng = . Tính ú½ Cho DABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a a/ Dựng = . b/ Tính ú½. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ có độ dài bằng nhau và = 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : - = + Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : a/ + - - + - = b/ - - = - - c/ - - = - + Cho DABC. Hãy xác định điểm M sao cho : a/ - + = b/ - + = c/ - + = d/ - - = e/ + - + = Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a. a/ Tính ½- ç b/ Dựng = - . Tính ½ç Cho DABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC. a/ Tính ½ç b/ Tính ½- ç Cho DABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính½ç BÀI TẬP THÊM Bài 1 : Cho A,B,C,D tìm các véctơ sau: a) b) c) . d) Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt = ; = Tính ; ; ; theo và Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính ê + ê ; ê - ê theo a. Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm . Tìm tập hợp điểm M , N thỏa a) ê - ê= êê b) ê - ê= êê Bài 5: Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng : a) + + = + b) + + = + + c) + + + = + + d) - + - + - = Bài 6 : Cho tam giác OAB. Giả sử . Khi nào điểm M nằm trên đường phân giác trong của góc AOB? Khi nào N nằm trên đường phân giác ngoài của góc AOB ? Bài 7 : Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh : Bài 8 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta có: Bài 9: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR : a) +++++= b) ++ = c) ++ = d) ++ = ++ ( M tùy ý ) Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD Chứng minh rằng + = Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng + + = Bài 11: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng : ê + ê = ê - ê PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ 1) Định nghĩa: Cho ≠, 0≠k Î ta có =k (gọi là phép một số thực với 1 vectơ). Khi đó: + cùng phương + cùng hướng khi k>0 + ngược hướng khi k<0 + ||=| k|=|k|.| | Quy ước: 0=; k= 2) Tính chất: Cho , bất kì và k,h Î , khi đó + k(+)= k+k + (k+h) = k+h + k(h)= (kh) + 1. =; (-1) =- * Tính chất trung điểm: Nếu I là trung điểm đoạn AB, vớii mọi M ta có: * Tính chất trọng tâm tam giác: G là trọng tâm DABC, với mọi M ta có: 3) Điều kiện để hai vectơ cùng phương " ,; cùng phương ≠Û $ 0≠k Î : =k (" ,; cùng phương ≠Û $ 0≠k Î : =k) 4) Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng Û cùng phương Û$ 0≠k Î : 5) Phân tích (biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai , khác và không cùng phương. Khi đó " bao giờ cũng tìm được hai số m, n sao cho: = m+n. Nếu G là trọng tâm AG=AI; GI=AI AG=2GI CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN 1. Xác định vectơ k PP: Dựa vào định nghĩa vectơ k và các tính chất 1) Cho và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho : O M N Giải Vẽ d đi qua O và // với giá của (nếu O Î giá của thì d là giá của ) - Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| |, và cùng hướng khi đó . - Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4||, và ngược hướng nên 2) Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM=AB. Tìm k trong các đẳng thức sau: Giải a) , vì Þ k= b) k= - c) k= - 3) a) Chứng minh:vectơ đối của 5 là (-5) b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2+3 , -2 Giải a) -5=(-1)(5)=((-1)5) = -(-5) b) -(2+3)= (-1)( 2+3)= (-1) 2+(-1)3=(-2)+(-3) =-2-3 c) Tương tự 2. Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương A 1) Cho D ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt . Hãy phân tích các vectơ theo hai vectơ . Giải Ta có 2) Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ theo hai vectơ . Giải Ta có mà Þ 3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng + A, B, C thẳng hàng Û cùng phương Û$ 0≠k Î : + Nếu và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD. 1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK=AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. Giải Ta có Ta có Từ (1)&(2)Þ Þ B, I, K thẳng hàng. 2) Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức: , . Chứng minh MN//AC Giải . Theo giả thiết Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành Þ M không thuộc ACÞ MN//AC 4. Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số 1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh: Giải 2) Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: . Giải Áp dụng qi tắc hình bình hành ta có Þ VT=(đpcm) 3) Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì . Giải 5. Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ + + Cho điểm A và . Có duy nhất M sao cho : + 1) Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết . D Giải Þ A,G,D thẳng hàng. AG=2GD gà G nằm giữa A và D. Vậy G là trọng tâm tam giác ABC. 2) Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho: . HD hay IA=2IB , . Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB=AB 3) Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho: Giải Ta có , trong đó I là trung điểm AB Tương tự , K là trung điểm CD Þ G là trung điểm IK BÀI TẬP Bài 1: Cho DABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý. a/ CMR : + + = b/ CMR : + + = + + Bài 2: Cho DABC có trọng tâm G. Gọi MÎBC sao cho = 2 a/ CMR : + 2 = 3 b/ CMR : + + = 3 Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF. a/ CMR : + = 2 b/ CMR : + + + = c/ CMR : + + + = 4 (với M tùy ý) d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho½ + ++½ nhỏ nhất Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý. a/ CMR : + + + = b/ CMR : +++ = +++ c/ CMR : + = 4 (với G là trung điểm FH) Bài 5: Cho hai DABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H. CMR : + + = 3 Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR : a/ + + + = b/ + + 2 = 3 c/ + 2+ 4= Bài 7: Cho DABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho = . Gọi K là trung điểm của MN. a/ CMR : = + b/ CMR : = + Bài 8: Cho DABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho = 2 , = 3. Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR : a/ = + b/ = + Bài 9: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a a) Phân tích theo và b) Tinh theo a Bài 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM (M là trung điểm BC). Phân tích theo và Bài 11: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm trên AC sao cho NA=2NC. Gọi K là trung điểm của MN. Phân tích theo và . Bài 15: Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. a) Tính b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính theo và Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2 + 3 = 5. CMR : B, C, D thẳng hàng. Bài 17: Cho DABC, lấy M, N, P sao cho = 3;+3= và + = a/ Tính , theo và b/ CMR : M, N, P thẳng hàng. Bài 18: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm. Bài 19: Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC Bài 20: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau : a/ . b/ c/ | d/ e/ | §4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 1.Trục tọa độ Ä Trục tọa độ (trục, trục số) là đường thẳng trên đó xác định điểm O và một vectơ có độ dài bằng 1. Ký hiệu trục (O; ) hoặc x’Ox O gọi là gốc tọa độ; vectơ đơn vị của trục tọa độ. Ä Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục + Cho điểm M nằm trên trục (O; ). Khi đó có duy nhất một số m sao cho . Số m gọi là tọa độ của m đối với trục (O; ) (nó cũng là tọa độ của ). + Cho vectơ trên trục (O; ). Khi đó có duy nhất số x sao cho . Số x gọi là tọa độ của vectơ đối với trục (O; ). Ä Độ dài đại số của vectơ trên trục Cho A,B nằm trên trục (O; ). Khi đó có duy nhất số a sao cho = a. Ta gọi số a là độ dài đại số của đối với trục đã cho. Kí hiệu: a=. Như vậy = *Nhận xét: + Nếu thì = AB + Nếu thì = -AB + Nếu hai điểm A và B trên trục (O; ) có tọa độ lần lượt là a và b thì = b-a Ø Tính chất: + + (hệ thức Sa-lơ) 2. Hệ trục tọa độ Ä Hệ trục tọa độ Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục tọa độ Ox và Oy vuông góc nhau. Vectơ đơn vị trên Ox là , vectơ đơn vị trên Oy là . Ký hiệu Oxy hoặc (O; ;). + Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung. + Khi một mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ. Ä Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ Đối với hệ trục (O; ;), nếu =x +y thì cặp số (x;y) là toạ độ của . Ký hiệu = (x ; y) hoặc (x ; y) Nhận xét: (hai vectơ bằng nhau) Cho = (x ; y), = (x’;y’) = Ä Một số tính chất: Cho = (x ; y), = (x’;y’). Khi đó: 1) ± = (x ± x’; y ± y’) 2) k=(kx ; ky) với " kÎ 3) m+ n=(mx+nx’ ; my+ny’) 4) //¹ Û có số k thỏa =k Û Û Ø Tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ được gọi là tọa độ của điểm M. Như vậy, cặp số (x ; y) là tọa độ của M Û =(x ; y) Khi đó, ta viết M(x ; y) hoặc M(x ; y) + x gọi là hoành độ điểm M, y gọi là tung độ điểm M + M(x ; y)Û Û=(x;y) x=; y= + Gốc tọa độ là O(0;0) « Tọa độ vectơ khi biết tọa độ hai điểm M, N Cho M(xM ; yM) và N(xN ; yN) ta có : = (xM – xN ; yM – yN) « Tọa độ trung điểm: Nếu P() là trung điểm của đoạn thẳng MN thì: = ; = « Tọa độ trọng tâm tan giác ABC: Nếu A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC). Khi đó tọa độ trọng tâm G(xG;yG) được tính theo công thức: xG = ; yG = 1) | | = với = (x;y) 2) | | = với A(xA ; yA) , B(xB ; yB) 3) Cho hai ñieåm A=(xA ; yA),B=(xB ; yB) . Neáu ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo tæ soá k 1 thì M(xM ; yM) coù toaï ñoä laø: ; (nếu k= -1 thì M là trung điểm AB) 4) Ba điểm A(xA ; yA) , B(xB ; yB), C(xC ; yC) thẳng hàng ÛÛÞ ba điểm A, B, C không thẳng hàng khi BÀI TẬP CƠ BẢN 1) Biểu diễn vectơ dưới dạng a) =(1;-1) b) =(5;0) c) =(0;-2) d) =(0;0) 2) Xác định tọa độ vectơ , biết: a) =3-4 b) =-2+ c) = -3 d) = 3) Xác định tọa độ của vectơ , biết: a) =+3; với (2;-1), (3;4). Tính độ dài của b) =2-5; với (-1;2), (-2;-3) Đáp án: a) =(11;11), ||=11 b) =(8;19) 4) Cho =(2;4);=(-3;1);=(5;-2). Tìm vectơ: a) b) . Đáp án: a) = (-30;21) b) =(118;68) 5) Cho hai điểm A(-1;1), B(1;3) a) Xác định tọa độ các vectơ . b) Tìm tọa độ điểm M sao cho . c) Tìm tọa độ điểm N sao cho . Đáp án: a) b) M(4;3) c) N(-2;0) 6) Cho hình vuông ABCD có cạnh là a=5. Chọn hệ trục tọa độ (A;), trong đó và cùng hướng, và cùng hướng. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, giao điểm I của hai đường chéo, trung điển N của BC và trung điểm M của CD. Đáp án: A(0;0), B(0;5), C(5;5), D(5;0) 7) Cho hình bình hành ABCD có AD= 4 và chiều cao ứng với cạnh AD bằng 3, góc . Chọn hệ trục tọa độ (A;), trong đó và cùng hướng. Tìm tọa độ các véctơ Đáp án: Kẻ BH^AD, ta có BH=3Þ AB=2 (vì DHAB vuông và ) Þ AH=. Do đó;A(0;0), B(;3), C(4+;0), D=(4;0) 8) Cho tam giác ABC. Các điểm M(1;0), N(2;2) và P(-1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB. Tìm tọa độ các đỉnh tam giác. Đáp án: A(0;5), B(-2;1), C(4;-1) 9) Cho hình bình hành ABCD có A(-1;3), B(2;4), C(0;1). Tìm tọa độ đỉnh D. Đáp án: D(-3;0) 10) Cho hai điểm A(1;3);B(13;8) a) Xác định tọa độ của .Tính AB. b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB. c) Tìm tọa độ điểm C biết rằng A là trung điểm BC. d) A’ là điểm đối xứng của A qua B. Tìm tọa độ A’. Đáp án: a) =(12;5) b) I(7;11/2) c) 11) Cho A(-3;6); B(1;-2); C(6;3). a) Tìm tọa độ trọng tâm G. b) Tính chu vi tam giác ABC. Đáp án: a) b) 12) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là trung điểm BC. Với A(1;-1); B(4;2); C(1;5). Tính tọa độ các véc tơ . Tính chu vi tam giác ABC. Đáp án: 13) Cho A(1;3); B(0;2) ; C(4;5) . Xác định tọa độ ba điểm E,F biết rằng: b) . Đáp án: 14) Cho A(2;t2); B(t;-4); C(2t;4t); D(t2;-1). Xaùc ñònh t ñeå =. Đáp án: t=1 15) Cho biết các véctơ sau cùng phương hay không cùng phương a) = (1;2) và = (3;6) b) =(= -1) và = (-2;). c) = (-1;4) và = (3;7) d) = (-1;-3) và =(1;2). 16) Tìm x để các cặp véctơ sau cùng phương a) =(2;3), =(4;x) b) =(0;5), =(x;7) c) =(2;3), =(1;x) d) =( t+1;2) =(3;4-t). Đáp án: a) x= 6 b) x= 0 c) x= d) t=1; t=2 17) Biểu diễn véctơ theo hai véctơ và a) = (-4;7) ; = (2;-1) ;= (-3;4) b) = (-1;3) ; = (1;1) ;= (2;-3) c) = (0;5) ; = (-4;3) ;= (-2;-1). HD: Tìm các số m, n sao cho = m+ ngiải hệ Đáp án: a) =+2 b) =- c) =-2 18) Cho bốn điểm A(1;1), B(2;-1), C(4;3) và D(16;3). Hãy biểu diễn theo . Đáp án: =3+4 19) Cho ba điểm A(-1;1), B(1;3), C(-2;0). Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng. HD: 20) Cho A(3;4), B(2;5). Tìm x để điểm C(-7;x) thuộc đường thẳng AB. Đáp án: A, B, C thẳng hàngÞ Þx=14 21) Cho bốn điểm A(0;1), B(1;3), C(2;7), D(0;3). Chứng minh đường thẳng AB//CD. Đáp án: ta có Þ AB và CD song song hoặc trùng nhau Ta Þ không cùng phương Þ C không thuộc AB Þ CD//AB 22) Cho tam giác ABC có A(1;-1), B(5;-3) đỉnh C trên Oy và trọng tâm G trên Ox. Tìm tọa độ đỉnh C. Đáp án: C(0;4) 23) Cho A(-2;1), B(4;5). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB và tọa độ diểm C sao cho tứ giác OABC là hình bình hành, O là gốc tọa độ. Đáp án: I(1;3), C(2;6) 24) Cho ba điểm A(0;-4), B(-5;6), C(3;2) a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC. HD: a) Cần chứng minh không cùng phương b) G(-1;4) 25) Cho tam giác ABC đều cạnh a. Chọn hệ tọa độ (O;), trong đó O là trung điểm BC, , . a) Tính tọa độ các đỉnh tam giác ABC. b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC. c) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đáp án: a) b) c) Tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm G. 26) Cho lục giác đều ABCDEF. Chọn hệ tọa độ (O;), trong đó O là tâm của lục giác đều, , . Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều biết độ dài cạnh lục giác là 6. Đáp án: A(-6;0), D(6;0) 27) Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0). Tìm tọa độ điểm D nếu biết: – 2 + 3 = – 2 = 2 + ABCD hình bình hành ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD 28) Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan bằng nhau AI = IJ = JB Tìm tọa độ của A, B Tìm tọa độ của điểm I’ đối xứng với I qua